(完整word版)现代控制理论试题(详细答案)

1、现代控制理论试题B卷及答案、1 系统2x ：u,y0 11x能控的状态变量个数是CVCVX ,能观测的状态变量个数是cvcvx。2试从高阶微分方程y 3y 8 5u求得系统的状态方程和输出方程(4分/个)解1 .能控的状态变量个数是2,能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。.(4分)2.选取状态变量xy，可得（1 分） 二 X2*2 二 X3*3 二-8X1y p-3x3 5u.（1分）写成二、1（3 分）01-3.（1 分）0 0 x：(1 分)给出线性定常系统x(k1) = Ax(k) Bu(k), y(k)=Cx(k)能控的定义。2已知系统X二00一3x, y = 1-01 1 l

2、x，判定该系统是否完全能观？ (5分)控。.(3分)2.2CA = 0 11 】000【0-3-0 2 -31(1 分)CA2U。_20 2-3】0卫C 1 一0CAQA2.000-3=0 4 9 .(1 分)1-39.(1 分)rankU =2 ： n ,所以该系统不完全能观.(2分)三、已知系统1、2的传递函数分别为g1(s)=s2 -12s 3s 2g2(s)=s 1s2 -3s 2g(s) 7(s)g1(s)二S2 -4解1 .答：若存在控制向量序列u(k),u(k 1),朴|,u(k N _1),时系统从第 k步的状态x(k)开始，在第N步达到零状态，即x(N)=O，其中N是大于 0

3、的有限数，那么就称此系统在第k步上是能控的。若对每一个k，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能求两系统串联后系统的最小实现。(8分)(s-1)(s 1) s 1(s 1)(s 2) (s-1)(s-2)(5 分)最小实现为10 x 0 u, y - 11 0 x 一1pj?2_11A=PAP_IITO们 .5（1 分）（1 分）（1 分）（1 分）（1分）（3分）四、将下列状态方程X=x + fu化为能控标准形。（8分）? 4解Uc =b Ab】=一1 . .（1 分）J 7 一7匸（Uc）=| 81.1.（1 分）8 8 一_1 口& = Pb = | 88-44 一x

4、= 0 U u ILTO 5|1 .（1分） 五、利用李亚普诺夫第一方法判定系统x=i;彳的稳定性。（8分）_34181- -nJ-nJ1 1 1_1_P17474 3838 5858- - - - - -（1 分）P11P12P 二_P12P2274 刼 % J分）呵dt%萤P22厂%64（1 分）P正定，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的（1 分） .（3分）ATP PA _ -I .（1 分）（1 分）（3 分）均具有负实部，系统在原点附近一致渐近稳定 .（2 分）六、利用李雅普诺夫第二方法判断系统 * = 11 x是否为大范围2-3 一渐近稳定：（8分）解P= P11 P2|I_PI2

5、 P222 p114p12 = -1 P11 -4% +2P22 =02 P12 - 6 P22 = 1-2k +2冷 34det1(2 分)七、已知系统传递函数阵为G(s)=2s 1(s-1)(s+2)2s 1.s(s + 1)(s-2)s3s2 1巳=1 01，巳-10 11-(2 分)E= 1_0011非奇异，可实现解耦控制。(2-1X = 0_1-3-110 u,1_1y - 10 101x设计一个具有特征值为-1-1，-1的全维状态观测器。(8 分)解: 方法13-1丸+1判断该系统能否用状态反馈和输入变换实现解耦控制。（6分）解：d0 d2 =0 -分）P = P11亦P12P22

6、2 E11E2E3=c 2 2 1)E2 3 3 2 3 1 3 3 3E22 巳 E3， E332= ：；(E2 3)(2E2 E3 6V 6 E3 4E2 E11(2 分)-2分1分0又因为列方程6 E3 4E2 E1 =12E2 E3 6=3E2 亠 3 3E1 =-2,k? = 0, E3 = -3观测器为-3 一们-1ly-1J J3方法2观测器为:. 1-1-1 ;:1*32f ( ) = 3 亠3;；i，1E1 = -5,Q _ |CTE2 - -3,E3 = 0ATCT (AT)2CTa1ai111E1 2,k2 =0,E3 二31 分1分0-10311-210-115? +0

7、u +00一1 一I i1 一I i_3_iy九解A二00, A 二1,0、2、（1 分）Ate 二0eA2t分）（Si -A2）s-1-1s -1.（1 分）ls2s1eA2t =Lsi _A2二_e02t eAtx（t）二 e x（O）（2 分）f t e00 x=0t e02tt2t0e -eeJ2t eteAtsi _A 4.（2 分）/ te00e21 -e002te丿f t 、e02t1_1一-一1 一2-J_-1D =TAT = I01因此，：0-2从而,解法2。拉普拉斯方法 由于11s(A)-1s 31 adj(sl _ A)1 s 3 1det(sl - A)s(s 3) 2

8、 |L - 2 ss + 311-2111(s+1)(s+2)(s+1)(s + 2)s + 1s + 2 s + 1s + 2-2s-22-12+(s+1)(s+2)(s+1)(s+ 2)_i i_s + 1s + 2s + 1s + 22e2-2e2 2e2et解法3。凯莱-哈密尔顿方法将状态转移矩阵写成ai(t)A统矩阵的特征-1 和-2， 故解以上线性方程组，可得a(t) =2e-2t-eat) =e_e因此,-2ee(t)=e = ao(t)1 + a1 (t)A = | 2e+ 2e2t_2t丄-2t -e -e丄c -2te + 2et_2te二a(t) at)e二 a(t) -

9、2a1(t)四、(15分)已知对象的状态空间模型x = AxBu,观的，请画出观测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设 计方法。解观测器设计的框图:观测器方程: = A Bu L(y _Cx)= (A-LC) Bu Ly：(t)二eAt= Lt(sl - A)=e-et-e1ATP PAI其中的未知对称矩阵P=P11ILP12p12p22其中：是观测器的维状态，L是一个n x p维的待定观测器增益矩阵观测器设计方法：由于det| _(A LC) =det| (A LC)T =det| (AT CTLT)因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵L,使得ATCTLT具有给定的观测器极点。具体

10、的方法有：直接法、变换法、爱克曼公式。五、(15分)对于一个连续时间线性定常系统，试叙述 Lyapu nov稳定 性定理，并举一个二阶系统例子说明该定理的应用。解 连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理：线性时不变系统X二AX在平衡点Xe =0处渐近稳定的充分必要条件是： 对任意给定的对称正定矩阵 Q李雅普诺夫矩阵方程ATPPA二_Q有 惟一的对称正定解P。在具体问题分析中，可以选取 Q= I考虑二阶线性时不变系统：原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫矩阵方程将矩阵A和P的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得0 -1；pi1P12】+p11口2；001p22-_p12p22|_T1

11、_0-1 _进一步可得联立方程组- 2p12 = TP11 一 P12 一 P222p12 - 2p22 = 一1从上式解出P11Pl2和P22, 从而可得矩阵G(s)二10(s 1)(s 2)该闭环系统的特征方程是期望的闭环特征方程是通过可得从上式可解出因此，要设计的极点配置状态反馈控制器是p _ PM pi2 _ 3/2 1/2|（Pl2 P22_1/2 1根据塞尔维斯特方法，可得厶1=3 0 乙二detP=? 024故矩阵P是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。六、（10分）已知被控系统的传递函数是试设计一个状态反馈控制律，使得闭环系统的极点为-1 j。解 系统的状态

12、空间模型是010 xX uIL- 2 -3_1y = 10 0X将控制器u二k &X代入到所考虑系统的状态方程中，得到闭环系统状态方程-0 1 1x =x2 _ _ 3 _ 匕 _det( I -AcH 2(3 k)(2 k0)($、T 一 j)(儿 T j) =22- 22(3 k1r (2 k0 2223k 22&=2k - _1k00$2 一七、（10分）证明：等价的状态空间模型具有相同的能控性。证明对状态空间模型x = Ax Buy 二 Cx Du它的等价状态空间模型具有形式x 二 Ax Buy 二 CX D u其中：1 1A =TATB =TB C =CTD = DT是任意的非奇异变

13、换矩阵。利用以上的关系式，等价状态空间模型 的能控性矩阵是-cA,BHB ABAnB二TB TATTB（TAT）nTB二 TB AB AnB二cA,B由于矩阵T是非奇异的，故矩阵-cA,B，和:cA,B具有相同的秩，从 而等价的状态空间模型具有相同的能控性。八、（15分）在极点配置是控制系统设计中的一种有效方法，请问这 种方法能改善控制系统的哪些性能？对系统性能是否也可能产生不 利影响？如何解决？解：极点配置可以改善系统的动态性能，如调节时间、峰值时间、 振荡幅度。极点配置也有一些负面的影响，特别的，可能使得一个开环无静差的 系统通过极点配置后，其闭环系统产生稳态误差，从而使得系统的稳 态性能

14、变差。改善的方法：针对阶跃输入的系统，通过引进一个积分器来消除跟踪误差，其结构图是构建增广系统，通过极点配置方法来设计增广系统的状态反馈控制 器，从而使得闭环系统不仅保持期望的动态性能，而且避免了稳态误差的出现。现代控制理论复习题2一、(10分，每小题2分)试判断以下结论的正确性，若结论是正确 的，则在其左边的括号里打，反之打X。(X ) 1.对一个系统，只能选取一组状态变量；(“)2.由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵，进 而决定系统的动态特性；(X ) 3.若传递函数G(s)=c(sl AB存在零极相消，则对应的状 态空间模型描述的系统是不能控不能观的；(X ) 4.若一个系统是

15、李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任 意平衡状态处都是稳定的；(“)5.状态反馈不改变系统的能控性。二、(20分)已知系统的传递函数为2s+ 5G(s)-(s+3)(s+5)G(s)二2s 5s 5这相当于两个环节三和音串连它们的状态空间模型分别为:XiJi=-3x1 u二 X1和!X2=_5X2 uy = -5X2 U|(1)采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态 变量图；(2) 采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态 变量图答：(1)将G(s)写成以下形式:由于丸1,故可得给定传递函数的状态空间实现是:将其写成矩阵向量的形式，可得:_-3op/十rx2L _

16、1_51V0V = 12 - 51对应的状态变量图为:串连分解所得状态空间实现的状态变量图(2)将G( s)写成以下形式：、-0.52.5+s+35+5它可以看成是两个环节-0.5和2.5的并联，每一个环节的状态空间s +3 s + 5模型分别为：=S.T- 0.5/和乙=-5x, +2Vi ViSb *由此可得原传递函数的状态空间实现:A-! = -3A - 0.5H|x2 = -5X2 + 2.5uy =+ 2 =xi 一可进一步写成状态向量的形式，可得:-30 _亠 * 0_52.5对应的状态变量图为:并连分解所得状态空间实现的状态变量图三、（20分）试介绍求解线性定常系统状态转移矩阵的

17、方法，并以一种方法和一个数值例子为例，求解线性定常系统的状态转移矩阵；答：求解状态转移矩阵的方法有：10adj(sI-A)1s+1方法一直接计算法：根据状态转移矩阵的定义= jr-J-j-r十一丄占屮十来直接计算，只适合一些特殊矩阵A。方法二 通过线性变换计算状态转移矩阵，设法通过线性变换，将矩 阵A变换成对角矩阵或约当矩阵，进而利用方法得到要求的状态转移 矩阵。方法三 拉普拉斯变换法：e =L（sl -A）。方法四 凯莱-哈密尔顿方法根据凯莱-哈密尔顿定理和，可导出eAt具有以下形式：J =+ + a2 （f）A2 + 十盘 I其中的：0（t）, 2（t），： n（t）均是时间t的标量函数。

18、根据矩阵A有n个不同特征值和有重特征值的情况，可以分别确定这些系数。举例：利用拉普拉斯变换法计算由状态矩阵-1 0 A 0-1所确定的自治系统的状态转移矩阵。由于j + l01det(sZ 一月)J + 10cp(f) =嵌鼾=-1(5/-.4)-1_旷 0_ 0 /四、（10分）解释状态能观性的含义，给出能观性的判别条件，并举 例说明之。答：状态能观性的含义：状态能观性反映了通过系统的输出对系统状 态的识别能力，对一个零输入的系统，若它是能观的，贝何以通过一 段时间内的测量输出来估计之前某个时刻的系统状态。状态能观的判别方法: 对于n阶系统A =+ Blly = Cx1.若其能观性矩阵K=

19、CA列满秩，则系统完全能观.CA2.若系统的能观格拉姆矩阵叫（0）二/LcVw非奇异，则系统完全能观。举例：对于系统1 0_,1 +1 11v=0 lr其能观性矩阵 C飞1CA1 1的秩为2,即是列满秩的，故系统是能观的五、（20分）对一个由状态空间模型描述的系统，试回答：（1） 能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件是什么？（2） 简单叙述两种极点配置状态反馈控制器的设计方法；（3） 试通过数值例子说明极点配置状态反馈控制器的设计。答：（1）能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件：系统是能控 的。（2）极点配置状态反馈控制器的设计方法有直接法、变换法、爱克 曼公式法。直接法验证系统的能控性，

20、若系统能控，则进行以下设计。设状态反馈控制器u二Kx,相应的闭环矩阵是A BK闭环系统的特 征多项式为detAT-（A-BK）.由期望极点S，可得期望的闭环特征多项式“ -幻仇-人）=T + by + 4 + %通过让以上两个特征多项式相等，可以列出一组以控制器参数为变量 的线性方程组，由这组线性方程可以求出极点配置状态反馈的增益矩 阵K。变换法验证系统的能控性，若系统能控，则进行以下设计。将状态空间模型转化为能控标准型，相应的状态变换矩阵T = rcA.BrcA.B）-设期望的特征多项式为而能控标准型的特征多项式为久十口卄护1+ T斶所以，状态反馈控制器增益矩阵是K =瓦一口“ 一吗阳一丁（

21、3）采用直接法来说明极点配置状态反馈控制器的设计考虑以下系统设计一个状态反馈控制器，使闭环系统极点为该状态空间模型的能控性矩阵为rcJ. = r该能控性矩阵是行满秩的，所以系统能控。设状态反馈控制器u Kx - -血卜将其代入系统状态方程中，得到闭环系统状态方程 0 1A= ., X2 -亦 一3 -伉其特征多项式为211 0detp.I-U- BK) =，+ (3 + 2 + 屁由期望的闭环极点-2和-3,可得闭环特征多项式（2 + 2X兄 + 3）兰乂 + 5/1 + 6通过A2 -（3-）/1 - 2 -= A2 + 5/ - 6可得3 + =52 + 亿=6由此方程组得到& = 2因此

22、，要设计的极点配置状态反馈控制器it = Kx = -8 2x六、（20分）给定系统状态空间模型x二Ax（1） 试问如何判断该系统在李雅普诺夫意义下的稳定性？（2） 试通过一个例子说明您给出的方法；（3） 给出李雅普诺夫稳定性定理的物理解释。答：（1）给定的系统状态空间模型x二Ax是一个线性时不变系统，根据线 性时不变系统稳定性的李雅普诺夫定理，该系统渐近稳定的充分必要 条件是：对任意给定的对称正定矩阵 Q矩阵方程ATP P-Q有一个 对称正定解矩阵P。因此，通过求解矩阵方程ATP P-Q，若能得到 一个对称正定解矩阵P,则系统是稳定的；若得不到对称正定解矩阵P,原点是该系统的惟一平衡状态。求

23、解李雅普诺夫方程:AT P PA = _Q，则系统是不稳定的。一般的，可以选取 Q=I。(2)举例：考虑由以下状态方程描述的二阶线性时不变系统:其中的未知矩阵将矩阵A和P的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得为了计算简单，选取Q =21，则从以上矩阵方程可得:求解该线性方程组，可得：Pll= 1 * Pi，=0即r 1 oip=0 1判断可得矩阵P是正定的。因此该系统是渐近稳定的。(3)李雅普诺夫稳定性定理的物理意义：针对一个动态系统和确定 的平衡状态，通过分析该系统运动过程中能量的变化来判断系统的稳 定性。具体地说，就是构造一个反映系统运动过程中能量变化的虚拟 能量函数，沿系统的运动轨迹，通过该

24、能量函数关于时间导数的取值0L旳PL来判断系统能量在运动过程中是否减少，若该导数值都是小于零的， 则表明系统能量随着时间的增长是减少的，直至消耗殆尽，表明在系统运动上，就是系统运动逐步趋向平缓，直至在平衡状态处稳定下来， 这就是李雅普诺夫意义下的稳定性现代控制理论复习题3一、(10分，每小题2分)试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号里打，反之打X。(X ) 1.具有对角型状态矩阵的状态空间模型描述的系统可以看 成是由多个一阶环节串联组成的系统；(X ) 2.要使得观测器估计的状态尽可能快地逼近系统的实际状态，观测器的极点应该比系统极点快10倍以上；(X ) 3.若传递函数G

25、(S)二C(sl A)B存在零极相消，则对应状态空间模型描述的系统是不能控的；(“)4.若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则它是大范围渐近稳定的；(“)5.若线性二次型最优控制问题有解，则可以得到一个稳定 化状态反馈控制器。二、(20分)( 1)如何由一个传递函数来给出其对应的状态空间模 型，试简述其解决思路？(2)给出一个二阶传递函数G(s)旦& 的两种状态空间实现。(s +3)(s + 5)解：(1)单输入单输出线性时不变系统传递函数的一般形式是占屛+厲2小+如+如若0=0，则通过长除法，传递函数G(S)总可以转化成叶评门十+ CV + 5|詰=心)| d9叶1列T十+斫$ + 口0皿)

26、广 0i0 00001 00i =1 :-X 4-000 10一如_心1V =h q -3 b -血串联法其思想是将一个n阶的传递函数分解成若干低阶传递函数的 乘积，然后写出这些低阶传递函数的状态空间实现， 最后利用串联关 系，写出原来系统的状态空间模型。并联法其的思路是把一个复杂的传递函数分解成若干低阶传递函数 的和，然后对每个低阶传递函数确定其状态空间实现，最后根据并联 关系给出原来传递函数的状态空间实现。(2)方法一：将G(s)重新写成下述形式：G二2J-55 + 5将可得一个状态空间实现211-3 01 -1每一个环节的状态空间模型分别为:3Xi + it1 fu=1又因为yi=5，所

27、以因此，若采用串联分解方式，则系统的状态空间模型为:-5方法二：将G(s)重新写成下述形式:每一个环节的状态空间模型分别为:又由于Xj = 3X 0.5wAT 因此，若采用并联分解方式，则系统的状态空间模型为:一3 00 -5方法三：将G(s)重新写成下述形式:则系统的状态空间模型为:01X1-一 -15-S11评分标准：问题（1） 10分，由一个传递函数转换为状态空间模型思路清晰，方法正确10分；问题（2）10分，两种状态空间实现方法各5 分。三、（20分）（ 1）试问状态转移矩阵的意义是什么？（2） 状态转移矩阵是否包含了对应自治系统的全部信息？（3） 介绍两种求解线性定常系统状态转移矩阵

28、的方法；（4）计算系统x二0 1的状态转移矩阵。-2-3解：（1）状态转移矩阵的意义是决定状态沿着轨线从初始状态转移 到下一个状态的规律，即初始状态x0在状态转移矩阵（t,t 0）的作 用下，t0时刻的初始状态x0经过时间t- t0后转移到了时刻t的状态x（t）。（2） 状态转移矩阵包含了对应自治系统的全部信息；对于自治系统i = Av t t（0） = A（3） 拉普拉斯变换法、凯莱-哈密尔顿法、线性变换法、直接计算法。方法一直接计算法根据定义，G（J）=2吿“ -8-15我们已经知道上式中的矩阵级数总是收敛的，故可以通过计算该矩阵级数的和来得到所要求的状态转移矩阵。方法二线性变换法如果矩阵

29、A是一个可对角化的矩阵，即存在一个 非奇异矩阵T,使得oTAT=D=”则/ 0 _戒扣=Tl.TK0占方法三拉普拉斯变换法严=r1(sT-/r1方法四 凯莱-哈密尔顿法解一个线性方程组11矿厂 jw-i0(0 I114 :界 * A耳】(臥P其系数矩阵的行列式是著名的范德蒙行列式，当入1,入2,入n互 不相同时，行列式的值不为零，从而从方程组可得惟一解a 0(t), a1 ( t),01 +容易得到系统状态矩阵A的两个特征值是-1是不相同的，故系统的矩阵 A可以对角化。=-1, 2 - -2，匕们A对应与特征值1 = -1, 2二亠的特征向量是取变换矩阵丁 =Wi 厂-12 1-1-1_2因此

30、,从而,ef0严+2广方法二：拉普拉斯变换法，由于=%(f)F + 旳(r)A +旳(r)土 4+ %_()屮 1可得状态转移矩阵。(4)方法一：线性变换法,$ -12 亠3-11$ + 3($ + 3) + 2-25 + 3G + DG + 2)-2(s +1)(5 4- 2)_ 2 1-1 2-+ -5 + 1 S + 2呦=/=戸3_&-】方法二：凯莱-哈密尔顿法将状态转移矩阵写成?Jr = cr0(DZ-ffl(rM系统矩阵的特征值是-1和-2，故勺(r) 一 ax e2r = cz#) 2iG)解以上线性方程组，可得暫(/) = 2eT -e2t=一才-er因此,k =勺+ q（f）

31、硕y &s亠 1 & + 2-+-5+15+2二2八+0_（7 + 4）严_ 2宀八宀严：_-2严 k 2e2j-e4 20A1=l0AT = det1_ J_2 4 344/故矩阵P是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳 定的。评分标准：问题(1)完整叙述线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理5分；问题(2)稳定性判断方法和结果正确 5分。现代控制理论复习题4一、(10分，每小题1分)试判断以下结论的正确性，若结论是正确 的，则在其左边的括号里打，反之打X。(V ) 1.相比于经典控制理论，现代控制理论的一个显著优点是 可以用时域法直接进行系统的分析和设计。(V ) 2.传递函数

32、的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态 变量选取不唯一。(X ) 3.状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因 此都是具有物理意义。(X ) 4.输出变量是状态变量的部分信息，因此一个系统状态能 控意味着系统输出能控。(V ) 5.等价的状态空间模型具有相同的传递函数。(X ) 6.互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性。(X ) 7. 一个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李雅普诺 夫稳定性与系统受扰前所处的平衡位置无关。(“)8.若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统 的任意一个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡 状态。(X ) 9.反馈控制可改变系统的

33、稳定性、动态性能，但不改变系 统的能控性和能观性。(X ) 10.如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。二、(15分)建立一个合理的系统模型是进行系统分析和设计的基础已知一单输入单输出线性定常系统的微分方程为：y(t) 4y(t)3y(t) = u(t) 6u(t)8u(t)(1) 采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态 变量图；(7分+3分)(2) 归纳总结上述的实现过程，试简述由一个系统的n阶微分方程建 立系统状态空间模型的思路。(5分)解：(1)方法一：由微分方程可得G($)X+ J+2$ - 5厂 +4$ + 3犷一 4$-3令.x

34、 2$ + 512$ + 5每一个环节的状态空间模型分别为:/和0u30-u3li和方法二:由微分方程可得=土s +45 3 s +1 s - i每一个环节的状态空间模型分别为:又因为yl = u 1，所以.Xn 一3X + Uy必&0为性能指标可调参数。试回答（1） 当参数r固定时，求使得性能指标J最小化的最优状态反馈控制 器。（10分）（2） 当参数r增大时，分析闭环系统性能的变化。（5分）解：（1）系统性能指标J等价为/P + r + 角二 J2厂一 2广J厂+；-使得性能指标J最小化的最优状态反馈控制器为：(2)将上述最优控制律代入系统，得最优闭环系统状态矩阵=000A = A-BR1

35、BTP0 1一】01 o r 1厂0 1Pa则闭环系统特征多项式为，+卷兄一1+鱼可得最优闭环极点为/ _ 一 甩 土 站阳卩了 一 4 （1 一 百/ ） _ 吐2 斗 J22 + 2其中Z二r2 r /r。随着参数r的增大，闭环极点越来越靠近虚轴,从而系统的响应速度变慢。事实上，从性能指标也可以看出，参数r的增大表明控制能量约束的加权越来越大， 希望用较小的能量来实现 系统的控制，显然由此导致的结果就是系统速度变慢。现代控制理论1.经典-现代控制区别：经典控制理论中，对一个线性定常系统，可用常微分方程或传递函数 加以描述,可将某个单变量作为输出，直接和输入联系起来；现代控制 理论用状态空间

36、法分析系统，系统的动态特性用状态变量构成的一阶 微分方程组描述，不再局限于输入量，输出量,误差量,为提高系统性 能提供了有力的工具.可以应用于非线性，时变系统，多输入-多输出 系统以及随机过程.2.实现- 描述 由描述系统输入 - 输出动态关系的运动方程式或传递函数 ,建立系统 的状态空间表达式 ,这样问题叫实现问题 . 实现是非唯一的 .3.对偶原理系统二刀1(A1,B1,C1)和二刀2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统，则刀 1的能控性等价于刀2的能观性，刀1的能观性等价于刀2的能控性. 或者说,若刀1是状态完全能控的(完全能观的),则刀2是状态完全能 观的(完全能控的 ). 对偶系

37、统的传递函数矩阵互为转置4.对线性定常系统刀O=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不 能观子系统为渐近稳定第一章 控制系统的状态空间表达式1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组2.输出方程 : 在指定系统输出的情况下 , 该输出与状态变量间的函数 关系式3.状态空间表达式 : 状态方程和输出方程总合 , 构成对一个系统完整 动态描述4.友矩阵: 主对角线上方元素均为1 :最后一行元素可取任意值 ; 其余元素均为 05.非奇异变换 :x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du.T 为任意非 奇异阵(变换矩阵 ), 空间表达式非唯一6.同一系统 ,

38、经非奇异变换后 , 特征值不变 ; 特征多项式的系数为系统 的不变量第二章 控制系统状态空间表达式的解1状态转移矩阵：eAt，记作2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=(t)x(O)+ j t0(t- T )Bu( T )dT第三章 线性控制系统的能控能观性1.能控: 使系统由某一初始状态 x(t0), 转移到指定的任一终端状态 x(tf), 称此状态是能控的 . 若系统的所有状态都是能控的 , 称系统是 状态完全能控2.系统的能控性，取决于状态方程中系统矩阵 A和控制矩阵b3.一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为 0.

39、(2)T-1B 中 对于互异特征值部分 , 它的各行元素没有全为 0的4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下，系统能观的充要条件是 C中对 应每个约旦块开头的一列的元素不全为 05.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算 , 可控可观性分析方便 ; 状态 反馈则化为能控标准型 ; 状态观测器则化为能观标准型6.最小实现问题 : 根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式 , 其 解无穷多, 但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的 . 第五章 线性定常系统综合1.状态反馈 : 将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数 , 然后反 馈到输入端与参考输入相加形成控制律 , 作为受控系统的控制输入 .K 为

40、 r*n 维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵2.输出反馈：采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵3.从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC4.线性反馈 ： 不增加新状态变量 , 系统开环与闭环同维 , 反馈增益阵都 是常矩阵动态补偿器 : 引入一个动态子系统来改善系统性能5. (1) 状态反馈不改变受控系统的能控性(2) 输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性6.极点配置问题 : 通过选择反馈增益阵 , 将闭环系统的极点恰好配置 在根平面上所期望的位置 , 以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是刀0完全能控(2)对完全能控的单输入 -单输出系统 , 通过带

41、动态补偿器的输出反馈 实现极点任意配置的充要条件1刀0完全能控2动态补偿器的阶数 为 n-1(3)对系统用从输出到 x 线性反馈实现闭环极点任意配置充要条件是 完全能观7.传递函数没有零极点对消现象 , 能控能观8.对完全能控的单输入 -单输出系统 , 不能采用输出线性反馈来实现 闭环系统极点的任意配置9.系统镇定 : 保证稳定是控制系统正常工作的必要前提 , 对受控系统 通过反馈使其极点均具有负实部 , 保证系统渐近稳定(1) 对系统采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统渐近稳 定(2)对系统通过输出反馈能镇定的充要条件是其结构分解中的能控且 能观子系统是输出反馈能镇定的，其余子系统是

42、渐近稳定的(3)对系统采用输出到x反馈实现镇定充要条件是其不能观子系统为 渐近稳定10.解耦问题：寻求适当的控制规律，使输入输出相互关联的多变量系 统的实现每个输出仅受相应的一个输入所控制，每个输入也仅能控制 相应的一个输出11.系统解耦方法：前馈补偿器解耦和状态反馈解耦12.全维观测器：维数和受控系统维数相同的观测器现代控制理论试题1已知系统2/ 2 u 2u，试求其状态空间最小实现。(5分)_1 1 0 0 1 设系统的状态方程及输出方程为x=o 1 Ox+ I 1u0 - 1y - 0 0 1 lx试判定系统的能控性。(5分)2已知系统的状态空间表达式为试求当u=t; t_0时，系统的输出y(t)。 ( 10 分)3给定系统