2020年九年级数学中考三轮复习：《三角形综合训练》（解析版）

1、中考三轮复习：三角形综合训练1如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，0），C（2，7），连接AC，交y轴于D，且a，（）25（1）求点D的坐标（2）如图2，y轴上是否存在一点P，使得ACP的面积与ABC的面积相等？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由（3）如图3，若Q（m，n）是x轴上方一点，且QBC的面积为20，试说明：7m+3n是否为定值，若为定值，请求出其值，若不是，请说明理由解：（1）a，（）25，a5，b5，A（a，0），B（b，0），A（5，0），B（5，0），OAOB5如图1，连接OC，设ODx，C（2，7），SAOC5717.5，SAOCSAOD+SCOD

2、，5x17.5，x5，点D的坐标为（0，5）；（2）如图2，A（5，0），B（5，0），C（2，7），SABC（5+5）735，点P在y轴上，设点P的坐标为（0，y），SACPSADP+SCDP，D（0，5），5|5y|+2|5y|35，解得：y5或15，点P的坐标为（0，5）或（0，15）；（3）7m+3n是定值点Q在x轴的上方，分两种情况考虑，如图3，当点Q在直线BC的左侧时，过点Q作QHx轴，垂足为H，连接CH，SQBCSQHC+SHBCSQHB，且SQBC20，20，7m+3n5如图4，当点Q在直线BC的右侧时，过点Q作QHx轴，垂足为H，连接CH，SQBCSQHC+SHBCSQHB，

3、且SQBC20，20，7m+3n75，综上所述，7m+3n的值为5或752平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），a，b满足（2a+b+5）2+0，将线段AB平移得到CD，A，B的对应点分别为C，D，其中点C在y轴负半轴上（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，连AD交BC于点E，若点E在y轴正半轴上，求的值；（3）如图2，点F，G分别在CD，BD的延长线上，连结FG，BAC的角平分线与DFG的角平分线交于点H，求G与H之间的数量关系解：（1）（2a+b+5）20，0，且（2a+b+5）2+0，解得：，A（4，0），B（0，3）（2）设C（0，c），E（0，y），将线段AB平移得到CD，

4、A（4，0），B（0，3）由平移的性质得D（4，3+c），过D作DPx轴于P，AO4OP，DP3+c，OEy，OCc，SADPSAOE+S梯形OEDP，解得yBEOE（BOOE）OEBO2OE32cOC，1（3）G与H之间的数量关系为：G2H180如图，设AH与CD交于点Q，过H，G分别作DF的平行线MN，KJ，HD平分BAC，HF平分DFG，设BAHCAH，DFHGFH，AB平移得到CD，ABCD，BDAC，BAHAQCFQH，BAC+ACD180BDC+ACD，BACBDCFDG2，MNFQ，MHQFQH，NHFDFH，QHF180MHQNHF180（+），KJDF，DGKFDG2，DFG

5、FGJ2，DGF180DGKFGJ1802（+），DGF2QHF1803在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（m，n+1），B（m+2，n）（1）当m1，n2时如图1，连接AB、AO、BO直接写出ABO的面积为（2）如图2，若点A在第二象限、点B在第一象限，连接AB、AO、BO，AB交y轴于H，ABO的面积为2求点H的坐标（3）若点A、B在第一象限，在y轴正半轴上存在点C，使得CAB90，且CAAB，求m的值，及OC的长（用含n的式子表示）解：（1）A（1，3），B（3，2），SABC33132123故答案为（2）如图2中，SABOSAOH+SOBHOH（m+2m）2，OH2（3）如图3中，作

6、ADy轴于D，BEDA交D的延长线于EADCECAB90，DAC+EAB90，EAB+ABE90，DACABE，ACAB，DACEBA（AAS），ADBEm，CDAE2，OC+CDn+1，OCn1（n1），OC+CDn+mn+1，m14在ABC中，ABAC，点D在射线BC上，连接AD（1）如图1，当点D在线段BC上时，若AB5，BC8，CD2，求ABD的面积；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，过B作BEAC分别交AC于点E，交AD于点F，截取AC中点G，延长BG到点H，连接AH，使AHBACBABH，若ADB45，求证：AHDF解：（1）如图1中，作AHBC于HABAC5，AHBC，

7、BHCHBC4，在RtABH中，AH3，SABDBDAH639（2）如图2中，作FMBD于M，作ANBC于NABAC，ANBC，BNCN，BANCAN，ABCACB，BEAC，ANCANBBEC90，CN+ACB90，FBM+ACB90，FBMCANBAN，HACBABH，HABCABHHBC，AGGC，AGHCGB，AGHCGB（AAS），AHBC，AND90，D45，NADD45，BFAD+FBD，BAFDAN+BAN，BFABAF，BABF，ANBBMF90，ANBBMF（AAS），BNFM，DFFM，DFBN，DF2BNBAH，即AHDF5如图，等腰三角形ABC中，ABAC10cm，B

8、C12cm，AD为底边BC上的高，动点P从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，运动到A点停止，设运动时间为t（s），连接BP（0t8）（1）求AD的长；（2）设APB的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使得SAPB：SABC1：3，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由（4）是否存在某一时刻t，使得点P在线段AB的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由解：（1）ABAC，ADBC，BCDC6cm，在RtABD中，ADB90，AB10cm，BD6cm，AD8（cm）（2）ySAPBSABDSPBD686t3t+24y243t（0t8

9、）（3）SAPB：SABC1：3，（243t）：1281：3，解得t满足条件的t的值为（4）由题意点P在线段AB的垂直平分线上，PAPB，在RtPBD中，PB2PD2+BD2，t2（8t）2+62，解得t满足条件的t的值为6如图1，ABC是边长为8的等边三角形，ADBC下点D，DEAB于点E（1）求证：AE3EB；（2）若点F是AD的中点，点P是BC边上的动点，连接PE，PF，如图2所示，求PE+PF的最小值及此时BP的长；（3）在（2）的条件下，连接EF，若AD，当PE+PF取最小值时，PEF的面积是2（1）证明：如图1中，ABC是等边三角形，ABBCAC8，BBAC60ADBC，BDDC4

10、，DEAB，DEB90，BDE30，BEBD2，AEABBE826，AE3BE（2）解：如图2中，延长DF到H，使得DHDF，连接EF，连接EH交BC于点P，此时PE+PF的值最小AED90，AFFD，EFAFDF，DFDH，DEDFDH，FEH90，在RtABD中，ADB90，BD4，B60，ADBDtan604，BADBAC30，FEFA，FEAFAE30，EFH60，H30，FHAD4，EHFHcos306，PE+PF的最小值PE+PHEH6，PDDHsin302，BPBDPD2（3）解：如图2中，BEBP2，B60，BPE是等边三角形，PE2，PEF90，EFAFDF2，SPEFPEE

11、F2227在ABC中，ABC60（1）ABAC，PA5，PB3如图1，若点P是ABC内一点，且PC4，求BPC的度数如图2，若点P是ABC外一点，且APB60，求PC的长（2）如图3，ABAC，点P是ABC内一点，AB6，BC8，则PA+PB+PC的最小值是2解：（1）在ABC中，ABC60，ABAC，ABC是等边三角形，如图1，将ABP绕点B顺时针旋转60得到CBP，连接PP，BPBP，PBPABC60，BPP是等边三角形；PPPB，BPP60，由旋转的性质得，PCPA5，PP2+PC232+4225PC2，CPP是直角三角形，CPP90，BPCBPP+CPP60+90150；如图2中，以A

12、P为边向上作等边PAE，作EFBP交BP的延长线于FEAPBAC60，EABPAC，AEAP，ABAC，EABPAC（SAS），BEPC，APEAPB60，EPF1806060120，PEPA5，PFPEcos60，EFPEsin60，BFBP+PF3+，BE7，PCPE7（2）如图3中，将PBF绕点B逆时针旋转60得到BFE，作EHCB交CB的延长线于HABC60，PBF60，ABPEBF，EBF+BC60，EBC120，PBBF，PBF60，PBF是等边三角形，PBPF，PAEF，PA+PB+PCCP+PF+EF，根据两点之间线段最短可知，当E，F，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，

13、最小值EC的长，在RtEBH中，EBH60，EB6，BHBEcos603，EHEBsin603，CHBH+CB3+811，EC28全等三角形是研究图形性质的主要工具，以此为基础，我们又探索出一些轴对称图形的性质与判定通过寻找或构造轴对称图形，能运用其性质及判定为解题服务（1）如图，BEAC，CDAB，BDCE，BE与CD相交于点F求证：BECD；连接AF，求证：AF平分BAC（2）如图，在ABC中，ABAC，点D、E分别在AB、AC上，且BDCE请你只用无刻度的直尺画出BAC的平分线（不写画法，保留画图痕迹）（3）如图，在ABC中，仍然有条件“ABAC，点D，E分别在AB和AC上”若ADC+A

14、EB180，则CD与BE是否仍相等？为什么？（1）证明：BEAC，CDAB，BDFCEF90，在BDF和CEF中，BDFCEF（AAS），BFCF，DFEF，BF+EFCF+DF，即BECD；证明：由得：DFEF，BEAC，CDAB，AF平分BAC（2）解：连接BE、CD交于点O，作射线AO交BC于F，如图所示：AF即为所求；理由如下：ABAC，DBCECB，在BDC和CEB中，BDCCEB（SAS），BCDCBE，ABOACO，OBOC，同理：ABOACO（SAS），OABOAC，AF是BAC的平分线；（3）解：CDBE，理由如下：分别作CFAB于F，BGAC于G，如图所示：CFB90，BG

15、C90，ABAC，ABCACB，在FBC和GCB中，FBCGCB（AAS）CFBG，ADC+AEB180，又BEG+AEB180，ADCBEG，在CFD和BGE中，CFDBGE（AAS），CDBE9如图，ABC中，ACB90，AB10cm，BC6cm，若点P从点A出发，以每秒lcm的速度沿折线ACBA运动，设运动时间为t秒（t0）（1）当点P在AC上，且满足PAPB时，求出此时t的值；（2）当点P在BAC的角平分线上时，求出此时t的值；（3）当P在运动过程中，求出t为何值时，BCP为等腰三角形（直接写出结果）（4）若M为AC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M、N使得BM+MN的值最小？如果

16、有请求出最小值，如果没有请说明理由解：（1）ABC中，ACB90，AB10，BC6，由勾股定理得AC8，连接BP，如图所示：当PAPB时，PAPBt，PC8t，在RtPCB中，PC2+CB2PB2，即（8t）2+62t2，解得：t，当t秒时，PAPB；（2）如图1，过P作PEAB，又点P恰好在BAC的角平分线上，且C90，AB10，BC6，CPEP，在RtACP和RtAEP中，RtACPRtAEP（HL），ACAE8，BE2，设CPEPx，则BP6x，在RtBEP中，BE2+PE2BP2，即22+x2（6x）2，解得x，CP，CA+CP8+，t；当点P沿折线ACBA运动到点A时，点P也在BAC

17、的角平分线上，此时，t10+8+624；综上，若点P恰好在BAC的角平分线上，t的值为秒或24秒；（3）如图2，点P在CA上，当CPCB6时，BCP为等腰三角形，则t862；如图3，当BPBC6时，BCP为等腰三角形，AC+CB+BP8+6+620，t20；如图4，若点P在AB上，当CPCB6时，BCP为等腰三角形；作CDAB于D，则根据面积法求得：CD4.8，在RtBCD中，由勾股定理得，BD3.6，PB2BD7.2，CA+CB+BP8+6+7.221.2，此时t21.2；如图5，当PCPB时，BCP为等腰三角形，作PDBC于D，则D为BC的中点，PD为ABC的中位线，APBPAB5，AC+

18、CB+BP8+6+519，t19；综上所述，t为2s或20s或21.2s或19s时，BCP为等腰三角形（4）存在M、N使得BM+MN的值最小，理由如下：作点B关于AC的对称点B，过B作AB的垂线交AC于M，交AB于N，连接BM，如图6所示：则BCBC6，BMBM，BNB90，BM+MNBM+MNBN，BB2BC12，ACBBNB90，BBNABC，BBNABC，BNAC89.6，综上所述，存在M、N使得BM+MN的值最小，BM+MN的最小值为9.610如图1，在ABC中，ACB2B，BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线lAO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、

19、E、M（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BNCD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系（1）证明：连接ND，如图2所示：AO平分BAC，BADCAD，直线lAO于H，AHNAHE90，ANHAEH，ANAC，NHCH，AH是线段NC的中垂线，DNDC，DNHDCH，ANDACB，ANDB+BDN，ACB2B，BBDN，BNDN，BNDC；（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD2CE，理由如下：过点C作CNAO交AB于N，过点C作CGAB交直线l于点G，如图3所示：由（1）得：BNCD，ANA

20、C，ANAE，ANEAEN，NNCE，ANECGE，BBCG，CGEAEN，CGCE，M是BC中点，BMCM，在BNM和CGM中，BNMCGM（ASA），BNCG，BNCE，CDBNNN+BN2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CDBN+CE；理由如下：过点C作CNAO交AB于N，如图3所示：由（2）得：NNCE，CDBNBN+CE；当点M在BC的延长线上时，CDBNCE；理由如下：过点C作CNAO交AB于N，如图4所示：同（2）得：NNCE，CDBNBNCE；当点M在CB的延长线上时，CDCEBN；理由如下：过点C作CNAO交AB于N，如图5所示：同（2）

21、得：NNCE，CDBNCEBN11在平面直角坐标系中，直线AB交y轴于A（0，a），交x轴于B（b，0），且a，b满足（ab）2+|3a+5b88|0（1）求点A，B的坐标；（2）如图1，已知点D（2，5），求点D关于直线AB对称的点C的坐标（3）如图2，若P是OBA的角平分线上的一点，APO67.5，求的值解：（1）由题意得解得A（0，11），B（11，0）（2）如图一，延长FD交AB于点E，连结CE因为OBOA11所以三角形OAB是等腰直角三角形易得DEC，AFE都是等腰直角三角形所以FEAFOAOF1156CEDEEFFD624所以C的横坐标为6，纵坐标为5+49故C的坐标为（6，9）（

22、3）如上图，作PM垂直AB于点M，作PM垂直OB于点L，在L的左侧取一点N，使得NLAMPB是ABO的平分线所以PMPLAMPNLPNLPAPMAPNMPLABO45MPL135APN135又APO67.5NPOAPO67.5PNPA，POPOOPNOPAPONPOA45，NOAO11设NLa，则MAa，BLBMa+11BL22a22aa+11a11LO11（11）POLO11所以312以ABC的边AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，ABAE，ACAD，BAECAD90，M是BC中点，连接AM，DE（1）如图1，在ABC中，当BAC90时，求AM与DE的数量和位

23、置关系（2）如图2，当ABC为一般三角形时，（1）中的结论是否依然成立？说明理由（3）如图3，若以ABC的边AB，AC为直角边向内作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，其他条件不变（1）中的结论是否依然成立，并说明理由解：（1）AMDE，AMDE，理由如下：延长MA交DE于F，如图1所示：BAC90，M是BC中点，AMBC，BAECAD90，BAC90，EAD90，在ABC和AED中，ABCAED（SAS），DEBC，ABCAED，AMDE，BAE90，BAM+EAF90，AED+EAF90，AFE90，AMDE；（2）（1）中的结论成立，AMDE，AMDE，理由如下：延长AM至N，使

24、MNAM，连接BN、CN，延长MA交DE于F，如图2所示：M是BC中点，BMCM，四边形ABNC是平行四边形，BNACAD，BNAC，NBA+BAC180，BAECAD90，DAE+BAC180，NBADAE，在ABN和EAD中，ABNEAD（SAS），ANDE2AM，BANAED，AMDE，BAE90，BAN+EAF90，AED+EAF90，AFE90，AMDE；（3）（1）中的结论成立，理由如下：由（1）的结论，当BAC90，可得AMDE，AMDE，当BAC90时，延长CA到F，使AFAC，连接BF，延长AM交DE于G，如图3所示：则AFAXAD，M是BC中点，AM是BCF的中位线，AMB

25、F，AMBF，MACF，BAEDAC90，DAF90，BAEDAF，BAFEAD，在ABF和AED中，ABFAED（SAS），BFDE，FADE，AMDE，BACADE，MAC+DAMDAC90，ADE+DAM90，AGD90，AMDE；综上所述，（1）中的结论成立13在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4）（1）如图1，若点B的坐标为（3，0），ABC是等腰直角三角形，BABC，ABC90，求C点坐标（2）如图2，若点E是AB的中点，求证：AB2OE；（3）如图3，ABC是等腰直角三角形，BABC，ABC90，ACD是等边三角形，连接OD，若AOD30，求B点坐标（1）解：过点 C 作 C

26、Dx 轴于D，如图1所示：ABC90，ABO+CBD90，AOB90，ABO+BAO90，CBDBAO，CDx 轴，BDC90AOB，在BDC 和AOB 中，AOBBDC（AAS），OADB，OBDC，点 A （0，4），点 B （3，0），DB4，DC3，OD4+37，C 点坐标为（7，3）；（2）证明：延长 OE 至 F 点，使得 EOEF，连接 FB，如图2所示：点 E 为 AB 的中点，EAEB，在AOE 和BFE 中，AOEBFE（SAS），OAFB，AOEF，OABF，AOB+FBO180，AOB90，FBO90，AOBFBO，在AOB 和FBO 中，AOBFBO（SAS），ABO

27、F，EAEB，EOEF，OEAEEB，AB2OE；（3）解：过点D作DMy 轴于M，CNOD于N，CHy 轴于H，CGx 轴于G，如图3所示：则四边形OHCG是矩形，OHCG，AOD30，ODM903060，OD2DM，ADC 为等边三角形，ADCDAC，ADC60，ADM+ADO60，CDN+ADO60，ADMCDN，在DMA和DNC中，DMADNC（AAS），DMDN，OD2MD2DN，DNON，CDCOAC，HAHOCG2，由（1）得 CGOBOB2，B 点坐标为（2，0）14已知，ABC，ADBD于点D，AECE于点E，连接DE（1）如图1，若BD，CE分别为ABC的外角平分线，求证：

28、DE（AB+BC+AC）；（2）如图2，若BD，CE分别为ABC的内角平分线，（1）中的结论成立吗？若成立请说明理由；若不成立，请猜想出新的结论并证明；（3）如图3，若BD，CE分别为ABC的一个内角和一个外角的平分线，AB8，BC10，AC7，请直接写出DE的长为4.5（1）证明：如图1，分别延长AE、AD交BC于H、K，在BAD和BKD中，BADBKD（ASA），ADKD，ABKB，同理可证，AEHE，ACHC，DEHK，又HKBK+BC+CHAB+BC+AC，DE（AB+AC+BC）；（2）解：结论不成立DE（AB+ACBC）理由：如图2，分别延长AE、AD交BC于H、K，在BAD和BK

29、D中，BADBKD（ASA），ADKD，ABKB，同理可证，AEHE，ACHC，DEHK，又HKBKBHAB+ACBC，DE（AB+ACBC）；（3）解：分别延长AE、AD交BC或延长线于H、K，在BAD和BKD中，BADBKD（ASA），ADKD，ABKB同理可证，AEHE，ACHC，DEKH又KHBCBK+HCBC+ACABDE（BC+ACAB），AB8，BC10，AC7，DE（10+78）4.5，故答案为4.515在平面直角坐标系中，点A（a，0）、C（b，0）、B（0，），a、b满足：a2+2ab+2b24b+40，且ABAC（1）判断ABC的形状并证明；（2）如图1，点D为BA延长线

30、上一点，ADAB，E为x轴负半轴上一点，F为DE上一点，连接CF交AD于点G，EFC120，求的值；（3）如图2，R（3a，0）点P为线段BR上一动点，以AP为边作等腰APQ，PAPQ，且APQRAB，连接AQ当点P运动时，ABQ的面积是否变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围解：（1）结论：ABC是等边三角形理由：a2+2ab+2b24b+40，（a+b）2+（b2）20，（a+b）20，（b2）20，a2，b2，A（2，0），C（2，0），OAOC，BOAC，BABC，ABAC，ABACBC，ABC是等边三角形（2）如图1中，作BHDE交x轴于HDEABHA，DAEBAH，ADAB，D

31、AEBAH（AAS），AEAH，D+DGFEFH120，D+DEADAC120，DEADGFAGH，AGHBHC，GAHBCH120，AHBC，AHGCBH（AAS），AGCH，2（3）结论：ABQ的面积不变，SABQ4理由：如图2中，在x轴的正半轴上取一点M，使得PRPM，连接PM，QR由题意R（6，0），A（2，0），B（0，2），OR6，OB2，tanPQM，tanOABPRMPMR30，OAB60，RPM120，RPMAPQ120，APMRPQ，PRPM，PQPQ，PRQPMA（SAS），PRQAMP30，ARQ60OAB，ABQR，SABQSABR42416在平面直角坐标系中，点A（

32、0，m）和点B（n，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，满足（mn）2+|m+n8|0，连接线段AB，点C为AB上一动点（1）填空：m4，n4；（2）如图，连接OC并延长至点D，使得DCOC，连接AD若AOC的面积为2，求点D的坐标；（3）如图，BCOB，ABO的平分线交线段AO于点E，交线段OC于点F，连接EC求证：ACE为等腰直角三角形；BFEFOC解：（1）（mn）2+|m+n8|0，mn4，故答案为：4，4；（2）如图1，过点C作CHOA，CGOB，点A（0，4）和点B（4，0），OAOB4，SABO448，AOC的面积为2，AOCH4CH2，SBOC6OBCG4CG，CH1，CG3，点C

33、（1，3），DCOC，点D（2，6）（3）OAOB4，AOB90，OABOBA45，BE平分ABO，EBOEBC，且BEBE，OBOC，OBECBE（SAS）EOBECB90，ACE90，且OAB45，CAEAEC45，ACCE，且ACE90，ACE是等腰直角三角形；如图2，作OM平分AOB，交BE于点M，OM平分AOB，AOMBOM45，AOMBOMOABOBA，OBOC，BE平分ABO，ABO45，OBE22.5，BEOC，COBOCB67.5，AOC22.5COM，AOCBOM，且OBOA，OABOBM，ACOOMB（ASA）BMOC，EFOMFO90，OFOF，AOCCOM，EFOMF

34、O（ASA）EFFM，BFEFBFFMBMOC17【问题发现】（1）如图，数学课外资料全品P4页有一道题条件为：“D是等边三角形ABC的边BC上的一动点，以AD为边在AB上方作等边ADE，若AB10，AD8”，小明认为AD有最小值，条件AD8是错误的，他的想法得到了王老师的肯定，那么AD的最小值是5王老师又让小明研究了以下两个问题：【问题探究】（2）如图，在等腰直角ABC中，ACB90，ACBC2，点D在AB上，且AD1，以CD为直角边向右作等腰直角DCE，连接BE，求BDE的周长；【问题解决】（3）如图，ABC中，A45，ABC60，AB3+，点D是边AB上任意一点，以CD为边在AD的右侧作

35、等边DCE，连接BE，试求BDE面积的最大值【问题发现】解：（1）当ADBC时，AD的值最小，ABC是等边三角形，ADBC，BCAB10，BDBC5，AD5，故答案为：5；【问题探究】解：（2）作CMAB于M，如图所示：ACB90，ACBC2，AABC45，ABAC4，CMABAMBM2，DMAMAD1，BDBM+DM3，CD，DCE是等腰直角三角形，CDCE，DCE90ACB，DECD，ACDBCE，在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS），ADBE1，BDE的周长BD+BE+DE3+1+4+；【问题解决】解：（3）作CMAB于M，作ENAB于N，如图所示：A45，ABC60，ACM是等腰

36、直角三角形，BCM30，AMCM，CMBM，设BMx，则AMCMx，ABx+x3+，解得：x，BM，CMAM3，设ADy，则DM3y，BD3+y，CDE是等边三角形，DCE60CDCE，DCM+BCE30BCM，在MB上截取MHMD3y，连接CH，则CDCHCE，CMDH，DCMHCM，BCHBCE，在BCH和BCE中，BCHBCE（SAS），CBHCBE60，BHBE3+y2（3y）y+3，EBN60，ENAB，BEN30，BNBE，ENBNBE（y+3），BDE的面积BDEN（3+y）（y+3）（y2+6y6）（y3）2+，当y3，即AD3时，BDE面积的最大值为18等腰RtABC中，AB

37、C90，ABBC，F为AB上的一点，连接CF，过点B作BHCF交CF于G，交AC于H（1）如图1，延长BH到点E，连接AE，当EAB90，AE3，求BF的长；（2）如图2，若F为AB的中点，连接FH，求证：BH+FHCF；（3）如图3，在AB上取点K，使AKBF，连接HK并延长与CF的延长线交于点P，若G为CP的中点，PG2求AH+BH的值（直接写出答案）解：（1）BHCF，ABC90，ABE+CFBCFB+BCF90，ABEBCF，在ABE与BCF中，ABEBCF（ASA），BFAE3（2）证明：如图2中，过点A作ADAB交BH的延长线于点DBADCBF90，D+ABDCFB+ABD90，A

38、BDBCF，在ABD与BCF中，RtBADRtCBF（AAS），ADBF，BDCFF为AB的中点，AFBF，ADAF，在ADH与AFH中，AHDAHF（SAS），DHFHBDBH+DHBH+FH，BH+FHCF；（3）如图3中，过A作AMAB，交BH延长线于M，由（2）证得MABFBC，AMBFAK，AMBCFB，ABC是等腰直角三角形，CAB45，MAB90，MAH45，MAHCAB，在MAH与KAH中，MAHKAH（SAS），AMBAKH，AKHCFB，AKHPKF，CFBPFK，PKFPFK，FCBH，G是PC中点，CHPH，AHK2P，在PFK中，PKF90P，则90P+45+2P180，解得P30，在CH上取一点R，使RHBH，连接BR，RHB60，RHB是等边三角形，BHBRRH，CABACB45，AHB18060120，BRC18060120，ABHRBC，在ABH与CBR中，ABHCBR（ASA），AHCR，cos30，CHCGPG，RH+RCBH+AHPG，BH+AH19如图（1），AB8cm，ACAB，BDAB，ACBD