精品 导数的概念及运算

1、导数的概念及运算 一、重点难点分析： 1导数的定义、意义与性质：（1）函数的导数：对于函数f(x)，当自变量x在x0处有增量x，则函数y相应地有改变量y=f(x0+x)-f(x0)，这两个增量的比 叫做函数y=f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率，即 。如果当x0时， 有极限，我们说函数在x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在x0处的导数（或变化率）。记作f(x0)或 ，即 。（2）导函数：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处可导，这时，对于开区间(a,b)内的每一个值x0，都对应着一个确定的导数f(x0)，这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x

2、)在区间内的导函数，记作f(x)或y，即 。（3）可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续。 （4）导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即 。也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是f(x0)，切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0)。2求导数的方法：（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤： 求函数的增量y=f(x0+x)-f(x0) 求平均变化率 取极限，得导数 。（2）几种常见函数的导数公式： C=0(C为常数)； (xn)=nxn-1 (nQ)； (si

3、nx)=cosx； (cosx)=-sinx； (ex)=ex； (ax)=axlna ； （3）导数的四则运算法则： (uv)=uv (uv)=uv+uv （4）复合函数的导数复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。说明：1函数的导数实质是一个极限问题，不应理解为平均变化率，而是平均变化率的极限。2求函数的导数要熟练掌握求导公式，特别是复合函数的导数要学会合理地分析3搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线，加速度等问题打下理论基础。 二、典型例题：例1求下列函数的导数y=(2x-3)5 y=sin32x解析： 设u=2x-3，则y=(2x-3)5

4、分解为y=u5，u=2x-3由复合函数的求导法则得： y=f(u)u(x)=(u5)(2x-3)=5u42=10u410(2x-3)4 设u=3-x，则 可分解为 ， 。 y=3(sin2x)2(sin2x)=3sin22xcos2x(2x)=6sin22xcos2x例2已知曲线 ，问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点切线方程。 解析： ，令 ，即 ， 得x=4，代入 ，得y=5，曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直，切线方程为 ，即x-2y+6=0。例3已知曲线C：y=3x4-2x3-9x2+4。 求曲线C上横坐标为1的点的切线方程； 第小题中切线与曲线C

5、是否还有其它公共点。解析：把x=1代入C的方程，求得y=-4， 切点为(1,-4)，y=12x3-6x2-18x 切线斜率为k=12-6-18=-12， 切线方程为y=-12x+8。由 得3x4-2x3-9x2+12x-4=0，即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0， 。公共点为(1,-4)（切点）， ，除切点外，还有两个交点 。评析：举例说明曲线与直线相切并不说明只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确。*例4设 ，求f(x)。解析：当x0时， ，当x0 B.x 09设f(x)=esinx，则f()为 （ ） A、1B、-

6、1C、2D、-210设y=f(e-x)可导，则y等于（ ）。 A、f(e-x)B、e-xf(e-x)C、-e-xf(e-x)D、-f(e-x)答案与解析 答案：1. C 2. B 3. C 4. B 5. C 6. D 7. C 8. A 9. B 10. C解析：略。专题辅导例谈导数在解高考试题中的应用 导数是研究函数性质中强有力的工具，特别在研究函数的单调性、最值方面有着独特的作用。本文将依托近几年的高考试题，例谈导数在解高考试题中的应用。一、导数在解高考选择题中的应用例1（1993理第14题）如果圆柱轴截面的周长l为定值，那么体积的最大值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 解：设圆柱的底

7、面半径为r，高为h，体积为V，则4r+2h=l, ， V=lr-6r2, 令V=0，得r=0或 ，而r0, 是其唯一的极值点。当 时，V取得最大值，最大值为 。 应选A。例2（1995年理第11题）已知函数y=loga(2-ax)在0，1上是x的减函数，则a的取值范围为（ ）A、（0，1）B、（1，2）C、（0，2）D、2，+）解： ，由题意可知：y0， ，即 ，或 在0，1上恒成立。当 时，由logae0得a1.由2-ax0得： 在0，1上恒成立，而 在0，1上的最小值为2，所以只需a2。由上讨论可知1a2。注：作为选择题即可选出答案B，可以用同样的方法得出另外一种情况不成立。例3（1996

8、年理第14题）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角等于（）。 A、 B、 C、 D、 解：设母线与底面夹角为，则底面半径r=cos，h=sin， , , ,令V=0, 得 ，而 ， ，而它是唯一的极值点。 当 时，V取得最大值，此时 ，此时侧面展开图圆心角 ，应选D。评：上述几个选择题是当年高考中难度最大，得分率最低的选择题，但用导数求解，可以大大降低试题的难度。二、导数在解高考解答题中的应用例1（1991年理第24题）根据函数单调性的定义，证明：f(x)=-x3+1在（-，+）上为减函数。分析：如果去掉证明的要求，本题就成为一个“口答题”即f(x)=-3x2 0, f(x)=-x3

9、+1在（-，+）上为减函数。例2（1997年理22题）甲，乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知：汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a。（I）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（II）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？解：（I）（略解） 。（II） ，令y=0，得 。当 时， 是该函数唯一的极值点。 当 时，y取得最小值，即全程的运输成本最小。 当 时，而v(0,c，所以 ，此时y0或f(x)0时，即 在R上恒成立， 而当x时， ，所以这样的a不存在。（2）当f(x)1时f(x)为单调函数。例4（2001年理第20题）设计一幅宣传画，要求画面的面积为4840cm2，画面的宽与高的比为(0，所以 ，在 时为增函数。 当 时，能使宣传画所用的纸张面积最小。三、反思以前我们研究函数的单调性时，时常要用到复合函数的单调性的判断，而这种方法不是教材中所要求的；