离散控制系统及Z变换(补充)

1、v 离散控制系统的理论基础离散控制系统的理论基础(basic theory)(basic theory)v Z Z变换及变换及Z Z反变换反变换(Z transform & Z inverse (Z transform & Z inverse transform)transform)v 差分方程差分方程(difference equation)(difference equation)v 脉冲传递函数（脉冲传递函数（pulse transfer functionpulse transfer function）v 离散系统稳定性判据离散系统稳定性判据(stability criterion)(s

2、tability criterion)第四章第四章 离散控制系统及离散控制系统及Z Z变换变换discrete control system and Z transformdiscrete control system and Z transform）4.1 离散控制系统的理论基础离散控制系统的理论基础一、 信号的基本形式信号的基本形式(basic form of signal)1)连续信号连续信号 (continuous ) 2）采样信号）采样信号sampling3）采样保持信号）采样保持信号(sampling holding)因此，一个计算机控制系统包括四种信号：连因此，一个计算机控制系统

3、包括四种信号：连续信号、采样信号、采样保持信号、数字信号。续信号、采样信号、采样保持信号、数字信号。4 4）数字信号）数字信号(digital)(digital)：用量化单位：用量化单位q q来度量采来度量采样信号幅值后所得的信号。如图样信号幅值后所得的信号。如图d d量化图d整个计算机控制系统信号变换过程如下：整个计算机控制系统信号变换过程如下：模拟信号采样信号数字信号采样采样保持信号模拟信号)(ty)(zD)(sGp- - + +DA/AD/)(* ty)(kTy)(kTu)(tu)(kTr模拟信号 采样信号数字信号数字信号模拟信号量化、保持功能由量化、保持功能由A/DA/D转换器完成，采

4、样开关为软开关，由程转换器完成，采样开关为软开关，由程序的脉冲序列完成，故整个计算机控制系统信号变换过程等效序的脉冲序列完成，故整个计算机控制系统信号变换过程等效如下：如下：经A/D转换器量化经采样开关经保持经D/A转换二、信号的数学表示二、信号的数学表示(math form of signal )(math form of signal )1 1、理想采样开关的数学表示、理想采样开关的数学表示)(t单位脉冲函数是一个幅值为单位脉冲函数是一个幅值为1 1，宽度为宽度为0 0的脉冲量，图形表示的脉冲量，图形表示如右，如右，其数学表达式为其数学表达式为000, 1)(tttt01由于理想采样开关的

5、闭合时间很短，由于理想采样开关的闭合时间很短，所以图中其波形看作是一个有强度、所以图中其波形看作是一个有强度、无宽度的脉冲序列，其数学表达式无宽度的脉冲序列，其数学表达式为为t01TT2T3T40)()(nTnTtt), 2 , 1 , 0(0, 1)(nnTtnTtnTt其中其中0)()(nTnTttt01TT2T3T42 2、采样信号的数学表示、采样信号的数学表示连续信号用连续信号用 表示，采样信号用表示，采样信号用 表示。表示。)(tf)(*tfKTf(t)f*(t)()()()()()()(00*nnTnTtnTfnTttfttftf由采样过程知，连续信号与采样信号分别是采样开关由采样

6、过程知，连续信号与采样信号分别是采样开关的输入的输入/ /输出信号，则有输出信号，则有KTf(t)f*(t)3 3、零阶保持器的数学表示、零阶保持器的数学表示(zero-order holder)(zero-order holder)保持器有零阶保持器、一阶保持器、二阶保持器等。保持器有零阶保持器、一阶保持器、二阶保持器等。实际中，用的最多的是零阶保持器。其图如下实际中，用的最多的是零阶保持器。其图如下由图得，零阶保持器的数学表示为：由图得，零阶保持器的数学表示为：)( 1)( 1)(0TttthT0t1三、 数字控制系统中采样周期数字控制系统中采样周期T T的确定的确定1 1、理论依据、理论

7、依据香农采样定理：为了使采样信号能不失真的反映连续香农采样定理：为了使采样信号能不失真的反映连续信号信号 的变化规律，采样频率的变化规律，采样频率 至少应该是至少应该是 频谱频谱的最高频率的最高频率 的两倍的两倍, ,即即)(tff)(tfmaxfmax2 ff 采样定理给出了采样周期的采样定理给出了采样周期的上限值上限值：2 2、实际过程中、实际过程中T T的选择因素的选择因素2maxTT ( (采样周期采样周期:sampling period):sampling period)理论上，采样周期越小，离散信号复现连续信号的理论上，采样周期越小，离散信号复现连续信号的精度越高，但在实际操作中，

8、采样周期不应小于设精度越高，但在实际操作中，采样周期不应小于设备输入备输入/ /输出及计算机执行程序消耗的时间输出及计算机执行程序消耗的时间 ，即即 T T太小：增加计算机的计算负担；同时，采样间太小：增加计算机的计算负担；同时，采样间隔太短，偏差变化不大且调节过于频繁，使得执行隔太短，偏差变化不大且调节过于频繁，使得执行机构不能及时响应。机构不能及时响应。 T T太大：调节时间隔长，干扰输入得不到及时调太大：调节时间隔长，干扰输入得不到及时调节，系统动态品质变坏，对某些系统，过大的采样节，系统动态品质变坏，对某些系统，过大的采样周期可能导致系统不稳定。周期可能导致系统不稳定。 因此，因此，

9、实际操作中，选择采样周期时，要综合实际操作中，选择采样周期时，要综合考虑系统的下列因素。考虑系统的下列因素。minTmaxminTTT 系统动态指标（系统动态指标（dynamic criteriondynamic criterion） 一般取一般取 (settling time)(settling time)为过渡时间（调节时间）为过渡时间（调节时间）: :被被控量进入偏离稳态值的误差为控量进入偏离稳态值的误差为5 5( (或或2 2) )的的范围并且不再越出这个范围所需的时间。范围并且不再越出这个范围所需的时间。2 2、系统的动态特性（、系统的动态特性（dynamic characterdy

10、namic character）若对象为若对象为 ，一般取，一般取 若对象为若对象为 ， stT)41151(st01 . 0 TT 1)(0sTKsGp1)(0sTKesGsp011 ,)22. 035. 0(11 . 0 ,)35. 02 . 1 (00TTTT3 3、给定值的变化频率（、给定值的变化频率（variety frequencyvariety frequency） 若加到被控对象上的给定值变化频率越高，采若加到被控对象上的给定值变化频率越高，采样频率也应越高以使给定值的改变得到快速反样频率也应越高以使给定值的改变得到快速反映。映。4 4、执行机构的类型、执行机构的类型( (ac

11、tuator typeactuator type) ) 若执行机构动作惯性大，则采样周期可相应大若执行机构动作惯性大，则采样周期可相应大一些，反之则可小些。一些，反之则可小些。5 5、计算机的运算速度、计算机的运算速度( (operation speedoperation speed) ) 采样周期必须保证计算机执行控制算法的足够时采样周期必须保证计算机执行控制算法的足够时间。各回路可选择不同的采样周期。间。各回路可选择不同的采样周期。 6 6、被控量的性质、被控量的性质( (quality of objectquality of object) )如温度对象，热惯性较大，反映较慢，调节不宜过

12、如温度对象，热惯性较大，反映较慢，调节不宜过于频繁，可选择较大的采样周期，而对于流量对象，于频繁，可选择较大的采样周期，而对于流量对象，变化迅速，反映快，则选择较小的采样周期。变化迅速，反映快，则选择较小的采样周期。常见被控对象的采样周期经验值如下表：常见被控对象的采样周期经验值如下表：被控量流量压力液位温度位置电流环速度环采样周期15s310s68s1020s1050 ms15 ms 520 ms研究一个实际的物理系统，首先要解决它的数学模型和分析工研究一个实际的物理系统，首先要解决它的数学模型和分析工具问题，计算机控制系统是一种采样控制系统，即离散系具问题，计算机控制系统是一种采样控制系统

13、，即离散系统。统。离散系统的研究方法有很多是与连续系统相对应的离散系统的研究方法有很多是与连续系统相对应的。线性连续控制系统线性连续控制系统线性离散控制系统线性离散控制系统微分方程差分方程拉普拉斯变换Z变换传递函数脉冲传递函数状态方程离散状态方程4.2 Z变换及变换及Z反变换反变换 (Z transform & Z inverse transform)(Z transform & Z inverse transform)4.2.1 Z变换变换(Z transform(Z transform）一、定义一、定义（definition）由前面得，采样信号得数学表达式为：由前面得，采样信号得数学表达式

14、为：)()()(0*nnTtnTftf对上式两边取拉氏变换，令对上式两边取拉氏变换，令 则则)()(*tfLsFnTsnnnenTfnTtLnTftfLsF000*)()()()()(令令 ，解得，解得 ，则，则TsezzTsln1定义定义：几点说明几点说明：1 1、Z Z变换定义是关于变换定义是关于z z的幂级数。只有当级数的幂级数。只有当级数收敛时，才称为采样函数的收敛时，才称为采样函数的Z Z变换。变换。2 2、Z Z变换是针对采样函数变换是针对采样函数 而言。即是说而言。即是说Z Z变变换由采样函数决定，它只对采样点有意义，反换由采样函数决定，它只对采样点有意义，反映的是采样时刻的信息

15、，对非采样时刻不关心。映的是采样时刻的信息，对非采样时刻不关心。nnzTsznTfsFzF0ln1)()()(0ln1)()(*)(*)(nnzTsznTftfLtfZzF)(*tf故故Z Z变换与采样函数是变换与采样函数是一一一一对应的对应的。上述关系说明：一个采样函数上述关系说明：一个采样函数 对应一个对应一个Z Z变换，变换，一个一个Z Z变换对应一个采样函数变换对应一个采样函数, , 但是由于一个采样函但是由于一个采样函数数 可对应无穷多的连续函数可对应无穷多的连续函数 , ,因为采样函数只是因为采样函数只是考查得一些离散点的值。如下图所示：考查得一些离散点的值。如下图所示：)(*tf

16、)()(*tgtf)()(zGzF)()(tgtf)(*tf)(tf)(tg)(tf)(tg0TT2T3t 3 3、Z Z变换的物理意义表现在延迟性上。变换的物理意义表现在延迟性上。nnnznTfzTfzTfzfznTfzF)()2 ()() 0 ()()(2100上式中，通项上式中，通项 ，由，由 决定幅值，决定幅值， 决决定时刻，称定时刻，称 为位移为位移( (延迟延迟) )算子算子,n,n为位移量。为位移量。nznTf)()(nTfnz1z二、二、Z Z变换的性质变换的性质(character)1 1、线性性质、线性性质)()()()()()(21*2*1*21*1zbFzaFtfbZt

17、faZtfbtafZ2 2、延迟性质、延迟性质nkknzkTfzFznTtfZ1*)()()(3 3、超前性质、超前性质10*)()()(nkknzkTfzFznTtfZ4 4、初值定理、初值定理(initial value theorem)(lim)(lim)(lim) 0(0*0zFnTftffznt5 5、终值定理、终值定理( (finial value theorem)() 1(lim)()1 (lim)(lim)(lim)(111*zFzzFznTftffzznt常见函数的常见函数的Z Z变换表如下变换表如下)(tf)(sF)(zF)(t)(1 tt221tateate1)(/ Tt

18、kaa11s11zz21s2)1(zTz31s32)1(2)1(zzzTaTsln)/1(1azzas 1aTezz)(1ass)(1()1(aTaTezzze三、三、Z Z变换的求法变换的求法(Z transform methods )(Z transform methods )1 1、级数求和法、级数求和法( (series summing) )(1)(1)展开采样函数展开采样函数( (expanding) )()()2()2()()()() 0 ()()()(0*nTtnTfTtTfTtTftfnTtnTftfnnTsTsTsenTfeTfeTffsF)()2()() 0()(2(2)(

19、2)求拉氏变换求拉氏变换( (transforming) )nznTfzTfzTffzF)()2()() 0()(21(4)(4)然后按级数的性质写出级数的和函数然后按级数的性质写出级数的和函数Tsez(3)(3)令令例例1 1 求单位阶跃函数求单位阶跃函数 的的Z Z变换变换)( 1)(ttf1)(nTf解：因解：因)()()()(00*nnnTtnTtnTftf故故) 1(1111)(121zzzzzzzzFn当例例2 2 求求 的的Z Z变换变换atetf)()()2()()(nTtTtTttnTsTsTseeesF21)(求拉氏变换得求拉氏变换得令令 TseznnaTaTaTzezez

20、ezF2211)(Tsez令令anTenTf)(解：因解：因)()2()()()()()()(200*nTteTteTtetnTtenTtnTftfanTaTaTnanTnnTsnaTTsaTTsaTeeeeeesF221)() 1(11)(11zeezzzezFaTaTaT当2 2、部分分式法、部分分式法(partial fraction decomposition)方法：已知方法：已知 的表达式，将其化成部分分式之的表达式，将其化成部分分式之和，再查拉氏变换表和，再查拉氏变换表)(sF例例1 1 已知已知 ， 求求)()(assasF)(zF解：解：assassasF11)()()(1()

21、1 (1)(aTaTaTezzezezzzzzF11zzsZaTezzasZ1查表得查表得得得用部分分式法求用部分分式法求Z Z变换时，系数求法一般采用以下两变换时，系数求法一般采用以下两种方法：种方法：1 1、凑（适用于展开项数不多的场合）、凑（适用于展开项数不多的场合）2 2、留数法（适用于任何场合）、留数法（适用于任何场合）设传递函数的一般表达式为：设传递函数的一般表达式为：0p重根系数的求法重根系数的求法)()()()()(111qpssssBsF)()()()()()(11111111121111qqpppscscscscscsF), 2 , 1()()()!1(11111111pj

22、sFsdsdjcspjjj单根系数求法单根系数求法), 2 , 1()()(qisFscisii当当 时时 也即特征方程有重根也即特征方程有重根) 1(10)(2sssF例：求例：求的的Z Z变换变换4.2.2 Z Z反变换反变换( (Z inverse transform)Z inverse transform)一、定义一、定义(definition)(definition)根据根据 求采样函数求采样函数 或离散函数或离散函数 的过的过程称为程称为Z Z反变换。记为反变换。记为)(zF)(*tf)(kTf)()(1zFZkf也可利用也可利用MATLABMATLAB中的命令中的命令residu

23、eresidue进行部分分进行部分分式展开，命令格式为：式展开，命令格式为：r,p,k=residue(num,den)r,p,k=residue(num,den)二、求法二、求法(methods)(methods) 求求Z Z反变换的方法有长除法和部分分式法反变换的方法有长除法和部分分式法 1 1、长除法（、长除法（幂级数展开法幂级数展开法series expansionseries expansion) ) 方法：将方法：将 展开成如下形式展开成如下形式)(zFnnnznTfzTfzfznTfzF)()() 0 ()()(100式中以式中以 的升幂顺序排列，然后求出对应的的升幂顺序排列，然

24、后求出对应的 即可。即可。1z)(nTf先将分子分母分别按先将分子分母分别按 的升幂排列，然后通过的升幂排列，然后通过分子除以分母得到其幂级数的展开式。分子除以分母得到其幂级数的展开式。)()(110110nmzbzbbzazaazFnnmm15 . 011)(zzF)()(*kTftf或若若 为两个有理多项式之比表示为两个有理多项式之比表示, ,即即)(zF1z例例1 1 设设求求解：分子除以分母得解：分子除以分母得kkkzzzzzzF043215.00625.0125.025.05.01)(1)1 ()(1()1 ()(111zzezezzezzF例例2 2 求求 的的Z Z反变换反变换写

25、出前五项写出前五项)3(125. 0)2(25. 0)(5 . 0)(*TtTtTttf分子分母同除以分子分母同除以 得得368. 0104. 1736. 1632. 0)(232zzzzzF解：按要求整理得解：按要求整理得3z3211368. 0104. 1736. 11632. 0)(zzzzzF)5(010. 1)4(117. 1)3(207. 1)2(097. 1)(632. 0)(*TtTtTtTtTttf), 2 , 1(010. 1117. 1207. 1097. 1632. 0)(kkf长除后得长除后得54321010. 1117. 1207. 1097. 1632. 0)(z

26、zzzzzF则则特点：此种方法在实际中应用较为方便，只需要计算有特点：此种方法在实际中应用较为方便，只需要计算有限项就够了，缺点是得到限项就够了，缺点是得到 的一般表达式较难。的一般表达式较难。)(*tf)(zf2 2、部分分式法、部分分式法(partial fraction decomposition)方法：将方法：将 展开成部分分式之和的形式，然后通过查展开成部分分式之和的形式，然后通过查表求出各部分分式的表求出各部分分式的Z Z反变换。反变换。需要指出的是：参照需要指出的是：参照z z变换表可以看到，所有变换表可以看到，所有z z变换函数变换函数在其分子上都有因子在其分子上都有因子z z

27、。因此，先把。因此，先把 除以除以z z，将，将作为一个整体进行部分分式展开，然后将所得结果每项作为一个整体进行部分分式展开，然后将所得结果每项乘以乘以z z得得 的部分分式。最后查表即可。的部分分式。最后查表即可。下面按照下面按照f(z)f(z)的特征方程无重根和有重根两种情况举例的特征方程无重根和有重根两种情况举例说明。说明。)(zF)(zFzzF)()()()()()(111qpzzzzNzF若其一般表达式如下：若其一般表达式如下：则按部分分式展开，得则按部分分式展开，得)()()()()()(11111111121111qqpppzczczczczczzF2115 . 05 . 115

28、 . 0)(zzzzF系数系数c c的求法：的求法：（1 1）当）当 时，也即时，也即f(z)f(z)无重根时。无重根时。0p例例1 1 求求 的的Z Z反变换反变换解：将上式变形得解：将上式变形得5 . 05 . 15 . 0)(2zzzzF5 . 05 . 15 . 0)(2zzzzF从而有从而有05 . 05 . 12zz特征方程特征方程 的解为的解为1, 5 . 021zz5 . 01) 5 . 0)(1(5 . 0)(zBzAzzzzF则有则有1) 1)(5 . 0(5 . 0) 1(1zzzzA解得解得1) 5 . 0)(1(5 . 0) 5 . 0(5 . 0zzzzB所以所以5

29、 . 0111)(zzzzF故有故有5 . 01)(zzzzzF查表得查表得所以所以111zzZtzzZ5 . 05 . 01)3(875. 0)2(75. 0)(5 . 0)(5 . 0)()(00*TtTtTtnTtnTttfnnn)2 , 1 , 0(5 . 01)()(kkfkTfk或0)(1 *nnTt0*)(5 . 05 . 0nntnTt所以所以ttf5 .01)(（2 2）当当 时时 也即特征方程有重根也即特征方程有重根0p重根系数的求法重根系数的求法)()()()()(111qpzzzzNzF)()()()()()(11111111121111qqpppzczczczczcz

30、zF), 2 , 1()()()!1(11111111pjzFzdzdjczpjjj单根系数求法单根系数求法), 2 , 1()()(qizFzcizii令分母为令分母为0 0得得025423zzz分解因式分解因式0) 2() 1() 2)(1)(1() 23)(1() 14)(1() 1)(1() 154 () 1(22223zzzzzzzzzzzzzzzz得重根得重根; 2, 111p单根单根; 1, 11 q21) 1() 2() 1()()(1122112zczczczzzzzFzG则则例例3 3 求求 的的Z Z反变换反变换 254)(232zzzzzF12) 2() 1() 1()

31、() 1(11221211zzzzzzzzzzGzc则则2) 2(22)() 1( )!12 (11211212zzzzzzdzdzGzdzdc2) 1() 2() 1() 2()() 2(222221zzzzzzzzzzGzc2212) 1(1)()(2zzzzzFzG故故2212) 1()(2zzzzzzzF查表得查表得), 2 , 1 , 0(22222)(1kkkkfkktttf222)(4.3 用用Z Z变换求线性常系数差分方程的解变换求线性常系数差分方程的解一、定义一、定义1.1.差分差分: :相邻两个采样值的差相邻两个采样值的差( (一阶差分一阶差分).).后向差分后向差分: :

32、本次采样值与前一次采样值的差本次采样值与前一次采样值的差. .基于现在和过去值基于现在和过去值前向差分前向差分: :本次采样值与后一次采样值的差本次采样值与后一次采样值的差. .基于现在和未来值基于现在和未来值二阶差分二阶差分: :对一阶差分再取一次差分对一阶差分再取一次差分. . 差分在离散系统中的作用与差分在离散系统中的作用与( )( )在连续系统中的作用相同，当两个采在连续系统中的作用相同，当两个采样点无限接近时，差分即为（样点无限接近时，差分即为（ ）。）。2.2.差商差商一阶差商：一阶差分除以采样周期的商一阶差商：一阶差分除以采样周期的商 TTkfkTfkTf) 1()()(Tkfk

33、TfkTf) 1()()()() 1()(kTfTkfkTf)() 1() 1()()() 1() 1()(011011kTuTkuTmkuTmkukTyTkyTnkyTnkymmn二、思想二、思想用用z z变换求解差分方程与连续系统用拉氏变换求解微分变换求解差分方程与连续系统用拉氏变换求解微分方程类似。方程类似。其思想是：首先通过其思想是：首先通过Z Z变换，将离散时域问题转化到变换，将离散时域问题转化到z z 域中考虑，将差分运算转换为代数运算，然后通过域中考虑，将差分运算转换为代数运算，然后通过Z Z反变换求得离散解反变换求得离散解3.3.差分方程差分方程(difference equa

34、tion)(difference equation) 反映各反映各采样时刻采样时刻输出与输入之间的关系的方程。如：输出与输入之间的关系的方程。如：差商在离散系统中的作用与（差商在离散系统中的作用与（ ）在连续系统中的作用相同，当两个）在连续系统中的作用相同，当两个采样点无限接近时，差商即为（采样点无限接近时，差商即为（ ）。）。步骤：先对差分方程进行步骤：先对差分方程进行Z Z变换，然后写出变换，然后写出 最后求最后求 的的Z Z反变换反变换)(kf)(zF)(zF例例 用用Z Z变换求变换求 的解，已知的解，已知初始条件为初始条件为0)(2) 1(3) 2(kckckc1) 1 (, 0)

35、0(cc)()()(10niinzifzFznkfZ)()()(1niinzifzFznkfZ超前性质超前性质延迟性质延迟性质0)()0 ()(3)1 () 0 ()(12zzCCzCzCzCzCz23) 1 ()0()3()(22zzzCCzzzC将初始条件代入得将初始条件代入得) 2)(1(23)(2zzzzzzzC解：对上述差分方程两边解：对上述差分方程两边Z Z变换，利用超前性质变换，利用超前性质)()()(10niinzifzFznkfZ得得0)(2) 1(3) 2(kckckcZ查表得查表得21)(2111)(zzzzzCzzzzC), 2 , 1 , 0() 2() 1()(kk

36、ckk总结：总结：关于关于Z Z变换以及变换以及Z Z反变换的求法重点掌握部分分式法反变换的求法重点掌握部分分式法和差分方程求解法。和差分方程求解法。1 1 求求 的的Z Z变换变换) 5(5)(2sssF)(zF习题：习题：223) 1)(2(61511)(zzzzzzF2 2 求求 的的Z Z反变换反变换3 用用Z Z变换求变换求 的解，已的解，已知初始条件为知初始条件为 0)(5 . 0) 1(5 . 1) 2(kykyky75. 0)2(, 5 . 0)(TyTy4.4 脉冲传递函数脉冲传递函数(pulse transfer function)(pulse transfer funct

37、ion)一、定义一、定义连续系统的对象描述方式有：微分方程、结构方连续系统的对象描述方式有：微分方程、结构方框图、传递函数等。框图、传递函数等。离散系统对象描述方式：差分方程、结构方框图离散系统对象描述方式：差分方程、结构方框图及脉冲传递函数。及脉冲传递函数。（在零初始条件下）变换输入采样函数的变换输出采样函数的ZZzG)(0二二 开环系统的开环系统的z z传递函数传递函数)(zR)(zG)(zC三、串连环节的三、串连环节的z z传递函数传递函数离散系统串连时其离散系统串连时其z z传递函数的求法与采样位置传递函数的求法与采样位置有关。有关。)()()(zRzCzG)(2zG)(zG)(zR)

38、(1zG)(zC)()()(21zGzGzG)(2sG)(zG)(zR)(1sG)(zC)()()(21sGsGZzG)(2sG)(zG)(zR)(1sG)(zC)()()(21sGZsGZzG结论：结论：（1 1）当开环系统由多个线性环节串连而环节之间无采）当开环系统由多个线性环节串连而环节之间无采样开关隔开时，开环系统的样开关隔开时，开环系统的z z传递函数等于各个环传递函数等于各个环节传递函数乘积的节传递函数乘积的z z变换。变换。（2 2）当开环系统由多个线性环节串连而环节之间有采）当开环系统由多个线性环节串连而环节之间有采样开关时，开环系统的样开关时，开环系统的z z传递函数等于各个

39、环节传递函数等于各个环节z z传传递函数之乘积递函数之乘积四、并联环节四、并联环节z z传递函数传递函数 )(2zG)(zG)(zR)(1zG)(zC)(2sG)(zG)(zR)(1sG)(zC)(2sG)(zG)(sR)(1sG)(zC)()()(21zGzGzG)()()()()(2121zGzGsGsGZzG)()()(21sGZsGZzG五、闭环五、闭环z z传递函数传递函数 )(sH)(zG)(sR)(sG)(sC)(11)(zGHze)(1)()(zGHzGz)(sH)(sR)(sG)(sC)()(11)(zHzGze)()(1)()(zHzGzGz)(sr)(zD- -+ +)(

40、zE)(zU)(syseTs1)(0sG)(teTT)(ky)(sG举例：一个计算机控制系统结构如下所示，求其脉冲举例：一个计算机控制系统结构如下所示，求其脉冲闭环传递函数闭环传递函数 )(1)()()(00sGseZsGsGZzGTsh)()(1)()()(zGzDzGzDz利用利用Z Z变换线性性质及延迟性质得变换线性性质及延迟性质得 )()(1)(1)(000sGseZsGsZsGseZzGTsTs)(1)1 ()(1)(101010sGsZzsGsZzsGsZ总结：以后可以直接将广义传递函数中的总结：以后可以直接将广义传递函数中的 项项移到移到Z Z变换符号之外变成变换符号之外变成 ,

41、 ,其余部分按照前其余部分按照前面的面的Z Z变换方法求得。变换方法求得。)1 (Tse)1 (1 z4.5 离散控制系统的稳定性离散控制系统的稳定性一、一、s s域到域到z z域的变换域的变换根据根据Z Z变换的定义有变换的定义有 , ,Tsez js)sin(cos)(TjTeeeezTjTTjT当当01Tezs s平面上虚轴上的所有点对应在平面上虚轴上的所有点对应在z z平面的单位圆平面的单位圆上上当当01Tezs s平面的左半平面上的所有点对应在平面的左半平面上的所有点对应在z z平面的单位圆平面的单位圆内内01Tezs s平面的右半平面上的所有点对应在平面的右半平面上的所有点对应在z

42、 z平面的单位圆平面的单位圆外外当当二、二、离散系统的稳定性及稳定条件离散系统的稳定性及稳定条件连续系统稳定判据（劳斯判据）：系统的闭环极点全连续系统稳定判据（劳斯判据）：系统的闭环极点全部在部在s s平面的左半平面内即平面的左半平面内即0)Re(is小结小结：s s平面的左右平面上的点对应平面的左右平面上的点对应z z平面的单位圆内外。平面的单位圆内外。注意：从注意：从s s平面到平面到z z平面的映射是唯一的，但从平面的映射是唯一的，但从z z平面平面到到s s平面的映射是多值的。平面的映射是多值的。根据根据s s平面与平面与z z平面的映射关系平面的映射关系: :连续系统稳定条件连续系统

43、稳定条件s s平平面左半平面上的所有点对应离散系统在面左半平面上的所有点对应离散系统在z z平面的单位平面的单位圆圆内。内。结论：离散系统稳定的条件，即：系统的所有闭环极结论：离散系统稳定的条件，即：系统的所有闭环极点都在点都在z z平面的单位圆内。平面的单位圆内。三、离散系统的劳斯稳定判据三、离散系统的劳斯稳定判据判据：离散系统的闭环特征方程经过双线性变换判据：离散系统的闭环特征方程经过双线性变换 后，若特征方程的根全部具有负实部，则系统稳定。后，若特征方程的根全部具有负实部，则系统稳定。证明：令证明：令22) 1() 1() 1(11yxjyxjyxjyxjyxwjyxzjw1111zzw

44、wwz由由11wwz步骤如下步骤如下：222222) 1(2) 1(1yxyjyxyx当当时即1012222yxzyx0z z平面单位圆平面单位圆上上所有点映射到所有点映射到w w平面的虚轴上平面的虚轴上当当时即1012222yxzyx0z z平面单位圆平面单位圆内内所有点映射到所有点映射到w w平面的左半平面内平面的左半平面内当当时即1012222yxzyx0z z平面单位圆平面单位圆外外所有点映射到所有点映射到w w平面的右半平面内平面的右半平面内举例举例 系统结构如右所示系统结构如右所示先求出闭环特征方程先求出闭环特征方程 ; ; 再做双线性变换再做双线性变换, ,即将即将 代入代入 中

45、中, ,得得到到 ；最后用劳斯判据判定最后用劳斯判据判定 的根是否全部在左半平的根是否全部在左半平面内。面内。已知已知11wwz)(1)()()()(zGzGzRzYz)(sR)(sG- -)(sYsTssksG25. 0,) 4()(求使闭环系统稳定的求使闭环系统稳定的K K的范围。的范围。解：系统闭环脉冲传递函数解：系统闭环脉冲传递函数 TezzzzksskZzG4*14)4()(0)(zD0)(zD0)(wP0)(wP将将 代入特征方程整理得代入特征方程整理得sTwwz25. 0,11特征方程特征方程0)1 (4)(1(141)(1444zekezzezzzzkzGTTT0)(1zG0158. 0736. 2264. 1158. 02kwkw3 .1700158. 0736. 20158. 0kkk三、参数对稳定性的影响三、参数对稳定性的影响1.1.开环增益对系统稳定性的影响开环增益对系统稳定性的影响由上面例子可以看出，开环增益由上面例