曲线曲面积分

1、 第九章 曲线、曲面积分曲线、曲面积分是将积分概念推广到一段曲线弧或一片曲面的情形，在求变力沿曲线做功，求引力，环流量等许多实际问题中应用广泛，是场论的基础。这一章的基本思想是用参数化方法解决曲线、曲面积分的计算，利用格林公式、斯托克斯公式、高斯公式解决一些较复杂的应用问题。在研究生入学考试中，本章是高等数学一和高等数学二的考试内容。通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求：1 明确两类曲线积分和两类曲面积分的背景，熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的定义。2 熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的参数化、投影计算法。3 具备对一些常见实际问题的分析能力，正确使用格林公式、斯托克斯公式、高斯公式

2、解决一些较复杂的应用问题。一、知识网络图二、典型错误分析例1 错误结论设是分段光滑可求长的平面曲线段，函数是定义在上的有界函数，则分析 从第一类曲线积分的定义知，该积分是该弧段上点的函数值与小弧段长的乘积的和式的极限，故这个极限与曲线段的方向无关，因此不能照搬定积分的有关性质。正确结论 设是分段光滑可求长的平面曲线段，函数是定义在上的有界函数，则例2 错误结论重积分、曲线积分、曲面积分的定义都可统一到定积分的定义形式。分析 从重积分、曲线积分、曲面积分的物理背景可知重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的定义可统一到定积分的定义形式：设是可度量的几何形体，在上有界，将任意分成个部分，既表示第个

3、部分又表示其度，在上任取一点，若存在，则称在上可积，记为对于第二类曲线积分、第二类曲面积分由其物理背景可知，其定义不能简单地统一到这种形式。正确结论 重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的定义都可统一到定积分的定义形式。例3求圆周上曲线段的弧长，其中 .错解 分析 由于曲线从A到C时,自增加到, 再由减少到, 在以上计算中统一将用表示不能保证而第一类曲线积分中,由定义可知应大于零,因此此题应分段进行计算.正确解 例4. 计算 其中为以点为顶点的正方形。错解 正方形方程为 即 ，. 所以分析 本题是计算第二类曲线积分, 因此用参数化法化为定积分求解。但应注意的是此时定积分的下（上）限应对应始（

4、终）点的参数值。在以上解法中被积表达式是正确的，但积分上下限有的颠倒了，导致了结果错误。正确解 正方形方程为 即 ，. 所以例5. 错误结论 格林公式对单一型的积分不成立。分析 以上结论是错误的。事实上，其中，因此只要在以L为边界正向的闭区域上满足格林公式的条件即可使用格林公式。 正确结论 当在以L为边界正向的闭区域上满足格林公式条件时：类似地，对单一型的积分，当在以L为边界正向的闭区域上满足格林公式的条件时，有例6. 求曲线积分，其中曲线的方程.错解 由于在所围的区域上满足格林公式的条件，于是分析 在以上解法中，将第二类曲线积分利用格林公式转化为二重积分来考虑这个思路是常用的，错误在于将利用

5、的方程，用9来代换。事实上二重积分中的积分变量应在所围的积分区域上取值，而不能仅在上取值。正确解 利用对称性例7. 求曲线积分，其中曲线的方程。错解 由于积分曲线关于轴对称，被积函数是的奇函数，利用对称性，得 分析 在定积分、重积分中，常利用积分区域的对称性配合被积函数的奇偶性法则来简化计算。由于第二类曲线积分、第二类曲面积分的定义与定积分、重积分的定义形式不同（参见例2），因此不能直接照搬此性质。正确解利用参数法， 例8. 求曲面积分，其中为曲面的外侧。错解 分析 上面解法的错误在于对第二类曲面积分直接利用重积分的对称性求解，这是没有根据的。对第二类曲面积分，首先应将它化为重积分，才能考虑是

6、否可用对称性简化计算。正确解一 利用高斯公式正确解二以上积分也可用常规的方法，分片积分。将分为上半球面：下半球面：于是 +例9. 试问是否某个函数的全微分？若是，求函数错解 设因为 所以对一切，原式是某个函数的全微分。取为起点，以折线为积分路径，其中于是 分析以上解法是在根据推得“一切，原式是某个函数的全微分”的基础上进行的，但是这里忽略了函数当时没有定义，因此，只有在时，才成立，因此不能任取一点为起点，所选择的路径必须将直线中排除在外。正确解 设因为 所以在直线以外的区域内，原式是某个函数的全微分。取为起点，以折线为积分路径，其中于是 例10. 把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，其路径

7、为沿上半圆周从点到错解 由方程得因此圆周的切线向量为方向余弦为 于是分析 在以上解法中，所运用的两类曲线积分之间的关系式是正确的，但没有按“切线向量的方向与有向曲线的方向必须保持一致”去求出切线向量，造成结论错误。 正确解 曲线的方程为 以为参数，则曲线的切线向量为 由得因此切向量为由于沿上半圆周从点到，故切线方向余弦 于是三、综合题型分析例11计算其中为球面与平面相交的圆周。分析一 所求积分为第二类曲线积分，可用常规方法即参数化法进行如下计算。解一 先求出曲线的参数方程。由方程组 得 （1）由旋转坐标轴，有，于是(1)为 设得所求圆周的参数方程为于是得所以分析二利用对称性进行计算，这儿不仅要

8、求所沿的积分曲线要对称，且定义在此曲线上的函数也要求对称。解二 由对称性知考虑到大圆的周长为易得 于是 方法小结对于计算第一类曲线积分，参数化法是一种常规方法，因此应熟练掌握，但针对题目的特点，有时其它方法更简便，本题利用对称性求解更简便。例12. 计算曲线积分其中从沿摆线 到分析一 由于被积函数在全平面上满足，故 +必为某个函数的全微分，以下用求原函数的方法求此积分值。解一 因为 +所以分析二 设 因于是积分与路径无关，所以可任意选择一条路径进行积分。解二 根据以上分析，可选择折线为路径进行积分，其中为已知，为 +方法小结 对于第二类曲线积分一般可考虑采用参数化法，求原函数法，利用积分与路径

9、无关等方法求解。在采用求原函数法，改变路径积分等方法时，首先应验证被积函数和积分区域是否满足条件。在改变路径积分时，往往选用分段与坐标轴平行的折线为路径。例13计算曲线积分其中是圆上原点到的一段弧。分析 以下用四种方法求解此第二类曲线积分，用不同的方法，其难易程度相差较大。解一 的参数方程为，由 则由 解二 的极坐标方程为因此参数方程为 由 由 解三 因为 所以积分与路径无关。解四 因为 利用全微分方法小结 比较以上四中解法，前面两种都属于直接计算法，后面两种是利用积分与路径无关、求原函数进行求解的。不难看出，对坐标的曲线积分，若满足，解法三、四是较简便的。当且积分曲线不封闭时，也可先用“补路

10、封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但必须在补路后的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。例14设曲线积分与路径无关，其中具有连续偏导数，且 则-。（A）2; （B）; （C）; （D）1.分析 要求出积分, 首先应利用条件求出由曲线积分与路径无关的充要条件可知:于是 由条件 得再由条件积分与路径无关, 取积分路线,则得因此选择（B）.(这里若取折线,也易得)方法小结分析要求的积分式子,易知必须利用条件先求出未知函数,因此有了以上的解法。从所求结果出发进行分析，往往是解决问题的一种有效途径。例15计算，其中为下半球面的上侧，为大于零的常数。分析一 曲面积分是沿着曲面的积分，可用曲面方程代入被积

11、表达式化简，对本题而言特别重要。因代入被积表达式后将分母中的化为提出去了，使得余下的被积表达式能够用高斯公式计算（否则高斯公式所要求的连续可微性条件不满足）。解一 由于高斯公式要求积分曲面为封闭曲面，所以必须将原曲面补上一块有向曲面 其法向量与轴正向相反，从而得到原式 其中为围成的空间区域，为上的平面区域.于是原式分析二 本题也可直接用统一投影法，化为平面的某区域上的二重积分进行计算。解二 由于所以 记 则原式=（在第一项中令分析三 由题意，可将所求曲面积分分两项，分别用投影法化为两个坐标平面的某区域上的二重积分进行计算。解三 原式=， 其中为平面上的半圆：利用极坐标计算，得其中为平面上的圆域

12、：因此原式方法小结 第二类曲面积分有多种计算方法，用曲面方程代入被积表达式化简积分是常用的手段。另外，投影法的应用也是灵活的（祥见解二和解三），可根据题目来选用某种投影法。例16计算曲线积分，其中圆周，的方向为逆时针方向。分析一 这个曲线积分若直接用参数化法求解是困难的，以下考虑用格林公式求解。解一解：由于时，被积函数无意义，故所包围的区域不满足格林公式的条件，作一小圆挖去原点，作逆时针方向的圆周：，使全部被所包围，在和为边界的区域内，根据格林公式，有 ，故上式为零。方法小结 用格林公式求解第二类曲线积分往往是有效的，但必须要考虑曲线所包围的区域是不是满足格林公式的条件，本题利用挖去一个小圆，

13、使考虑的区域满足条件。本题采用的挖去一个小圆的方法是常用的。例17计算，其中为圆柱面介于和之间的部分。分析一本题是对面积的曲面积分，在直角坐标下，它化为二重积分计算，有三个公式可考虑用于计算，其中之一为 (1)这里是曲面的方程，是在平面上的投影区域，且是上的单值可微函数。但在本题中，不能用公式(1)计算，这是因为曲面不能写成的单值函数，且这时在平面上的投影是一条曲线（圆曲线），其面积为零，从而 因此本题只能考虑用另外两个公式计算。解一利用向面投影的方法来计算，此时分曲面为两个半柱面，。由于与关于面对称，被积函数在与上也对称，故所求积分为在上积分的两倍，其中的方程为 在上的投影区域为， 于是类似

14、地，本题也可利用向面投影的方法来计算。分析二考虑到在圆柱面方程中的对称性，故利用此特性求解。解二由于的方程中对称，所以，从而方法小结 对第二类曲面积分，在直角坐标下采用投影法化为二重积分计算时，对曲面方程是有要求的，应引起充分注意。同时从解二看到，利用具体题目的特性求解往往较简捷，对称性是常被应用的特性。例18计算曲面积分，其中是长方体的整个表面的外侧，.分析一 所求积分为第二类曲线积分，由于被积函数且积分区域均比较简单，可用以下常规的投影法求解。解一把有向曲面分成以下六个部分： ：()的上侧； ：()的下侧； ：()的前侧； ：()的后侧； ：()的右侧； ：()的左侧。其中、在面上的投影为

15、零，因此 所以分析二由于是长方体的整个表面的外侧，易知是分片光滑的，又被积函数在上具有一阶连续的偏导数，于是用高斯公式求解。解二因为长方体的整个表面的外侧，由高斯公式且， 原式 方法小结 在考虑第二类曲面积分时，投影法和使用高斯公式求解都是常用的方法。但在用高斯公式时应验证积分区域和被积函数是否满足条件，否则很容易出错。例19 证明：对于曲线积分的估计式为 式中为积分曲线段长度， 利用这个不定积分估计： 并证明分析一由于所求不等式的右边是曲线段的长度和的乘积，因此可利用第二类曲线积分的定义以及两向量的向量积，估计不等式。对，一般可利用参数进行计算。证一 因为 这里所以 设 于是 在曲线上， 因

16、此 于是分析二 在估计曲线积分值时，结合已知的不等式常常会带来方便，以下用此法估计.证二 因为由不等式（见证一），易得于是方法小结 在估计第二类曲线积分值时，利用向量的计算和一些已知不等式，往往是有效的。例20 计算 其中为曲线 其方向是从轴正向看去为逆时针方向。分析 为一条空间曲线，本题若采用将其方程参数化进行求解是比较麻烦的，以下用斯托克斯公式来计算。解答 设上圆的内部区域为 法向量取向上。由斯托克斯公式： 易知指定侧的单位法向量为所以 其中为的方向角。由第一、二类曲面积分的联系，得其中为圆的面积。易知的半径 从而 因此 方法小结 在计算空间曲线积分时，将其方程参数化后进行求解是一种基本方

17、法，但一般来说，计算比较麻烦。而用斯托克斯公式来计算往往较简捷，但应注意斯托克斯公式关于符号的规定。四、考研试题分析例21(2003年高数一)已知平面区域为的正向边界，试证.分析一 等式的两边均为第二类曲线积分，可分别对两边直接积分，比较积分值，得结果。 证一 左边 右边 于是.分析二 对于第二类曲线积分，常考虑用格林公式转化为二重积分求解，由于被积函数在全平面上都有连续的偏导数，故可利用格林公式进行求证。证二由格林公式，由于关于对称，故于是.例22(1993年高数一、二)设曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数，且则等于.（A） （B） （C） （D）.答案 (B)分析 本题的关键在于由条

18、件“曲线积分与路径无关”导出所满足的微分方程, 由此求出求的表达式。解答 设 由于 在全平面上具有连续的偏导数，曲线积分与路径无关，因此即满足方程 （1）由初始条件，得（1）的特解例23(2000年高数一)设为在第一卦限中的部分，则有.（A） （B）， （C）， （D）.答案 (C)分析一 本题可采用排除法进行判别。由于(A), (B)两个式子在形式上只是将换成了由和的表达式知，的地位完全相当，因此(A), (B)两式或全对或全错，由于这里只有一个对的答案，故(A), (B) 全错。又(D)式左端的被积函数在区域上的符号不同，因此积分值应有所抵消，而右端的被积函数在上非负，故(D)式左端的值不

19、可能是在第一象限上积分的四倍，即(D)不可能成立。由此只能选择(C)。分析二 本题也可通过计算进行选择，但这样比较烦琐。例24(1989年高数一、二)设平面曲线为下半圆周 则曲线积分分析一只要准确地写出曲线的参数方程，即可求出该积分。解一 的参数方程为故因此分析二本题若注意到在上变化时满足 则立即可得结果。 解二 例25(2005年高数一)设是由锥面与半球面围绕的空间区域，是的整个边界的外侧，则 答案 分析一 对第二类曲面积分，用高斯公式求解往往较为简捷，由于易知本题的积分区域以及被积函数满足用高斯公式求解的条件，于是首先考虑采用高斯公式求解。解一因为是的整个边界的外侧，根据高斯公式可得： 令

20、可得交线在平面上的投影区域为： 于是 故 分析二 计算第二类曲面积分，在直角坐标下采用投影法化为二重积分进行计算是常用的基本方法，本题也可用此法计算，但计算量比较大。（解略）例26(1996年高数一、二)计算曲面积分其中是有向曲面 其法向量与轴正向的夹角为锐角。分析一由于被积函数在空间任意光滑封闭曲面所围区域上满足高斯公式条件，故采用添加有向曲面，利用高斯公式计算。这里应注意在高斯公式中，曲面积分是沿着封闭曲面外侧进行的，因此本题沿着封闭曲面内侧的积分应加负号。解一 记为法向量指向轴的负向的有向平面，为在平面上的投影区域，则 设为所围成的空间区域，则由高斯公式知因此原式 分析二 对此第二类曲面

21、积分，可用“一投、二代、三投影”步骤求解。应注意按照投影法确定符号。解二设 为在平面上的投影区域，则其中令则上式又所以例27(2003年高数一)设函数在内具有一阶连续偏导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线，起点为 终点为 记（1） 证明曲线积分与路径无关；（2） 当时，求的值。分析一 由题设，第一问可利用平面上曲线积分与路径无关的充要条件给予证明。在第一问的基础上，通过求原函数，并求原函数的改变量，求得的值。解一 （1）记，则，于是满足：在时，且 所以曲线积分与路径无关。(2) 曲线积分与路径无关，故存在原函数使得且：由于连续，所以存在，使得 于是所以原函数为取 得 于是分析二 在第一问的基础上，第二问的值，可通过如下取积分路径为折线路径，分段化为定积分求得。解二 （2）由于曲线积分与路径无关，取为从到的折线段，于是例28(2004年高数一)计算曲