春季第4次课勾股定理及应用

1、人教版八年级（下）第十八章人教版八年级（下）第十八章 勾股定理（勾股定理（1）ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2（1）观察图）观察图2-1 正方形正方形A中含有中含有 个个小方格，即小方格，即A的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。 正方形正方形B的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。正方形正方形C的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。99918你是怎样得到上面的结你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流交流。果的？与同伴交流交流。ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图

2、2-2（2）在图）在图2-2中，正中，正方形方形A，B，C中各含中各含有多少个小方格？它有多少个小方格？它们的面积各是多少？们的面积各是多少？（3）你能发现图）你能发现图2-1中中三个正方形三个正方形A，B，C的面积之间有什么的面积之间有什么关系吗？关系吗？ SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积斜边上的正方形的面积A AB BC Ca ac cb bS Sa a+S+Sb b=S=Sc c 观察所得到的各组数据，你有什么发现？观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想猜想:两直角边两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系

3、？之间的关系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 观察所得到的各组数据，你有什么发现？观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想两直角边猜想两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系？之间的关系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2S Sa a+S+Sb b=S=Sc ca a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方. .勾勾股股弦弦 勾股定理勾股定理( (毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理) ) 两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，

4、因此斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，

5、国家之一。早在三千多年前国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，尺折成一个直角，如果勾等于

6、三，股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被记，它被记载于我国古代著名的数学著作载于我国古代著名的数学著作周髀算经周髀算经中。中。1. 1.求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值. .8181144144x xy yz z625625576576144144169169做一做：做一做： P62540026xP的面积的面积 =_X=_X=_24322622x24225BACAB=_AC=_BC=_251520比比一一比比看看看看谁谁算算得得快！快！2.2.求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形

7、中未知边的长: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结:8 8x x171716162020 x x12125 5x x、如图、如图, ,一个高一个高3 3 米米, ,宽宽4 4 米的大门米的大门, ,需在相需在相对角的顶点间加一个加固木条对角的顶点间加一个加固木条, ,则木条的长则木条的长为为 ( )( )A.3 A.3 米米 B.4 B.4 米米 C.5C.5米米 D.6D.6米米C、湖的两端有、湖的两端有A A、两点，从与、两点，从与A A方向成直方向成直角的角的BCBC方向上的点方向上的点C C测得测得CA=130CA=130米米,CB=120,CB=120米米,

8、 ,则则ABAB为为 ( )( )ABCA.50A.50米米 B.120B.120米米 C.100C.100米米 D.130D.130米米130120?A如图，大风将一根木制旗如图，大风将一根木制旗杆吹裂，随时都可能倒下，杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。接警后十分危急。接警后“119”119”迅速赶到现场，并决定从迅速赶到现场，并决定从断裂处将旗杆折断。现在断裂处将旗杆折断。现在需要划出一个安全警戒区需要划出一个安全警戒区域，那么你能确定这个安域，那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少全区域的半径至少是多少米吗？米吗？议一议：议一议：9m24m?acbabc22214)(cabab222c

9、ba22222cabaabbabcabcabcba214)(22222cba对比两个图形对比两个图形, ,你能直接观你能直接观察验证出勾股定理吗？察验证出勾股定理吗？两幅图中彩色的四个直角三角形总面积呢？两幅图中彩色的四个直角三角形总面积呢？提示：图中的两个大正方形面积相等吗？提示：图中的两个大正方形面积相等吗？空白部分的面积呢？那剩余的空白部分的面积呢？那剩余的勾股定理应用勾股定理应用勾股定理：勾股定理：直角三角形两直角边的平直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方方和等于斜边的平方回 顾 活 动 1abcABC如果在如果在Rt ABC中，中，C=90,那么那么222.abc 结论变形结论变

10、形c2 = a2 + b2abcABC（1）求出下列直角三角形中未知的边）求出下列直角三角形中未知的边610ACB8A15CB练练 习习302245回答：回答：在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？直角三角形哪条边最长？直角三角形哪条边最长？（2）在长方形）在长方形ABCD中，宽中，宽AB为为1m，长，长BC为为2m ，求，求AC长长1 m2 mACBD2222125ACABBC在在Rt ABC中，中，B=90,由勾股定理可知：由勾股定理可知：有一个边长为有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口

11、，圆的直径至少多个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）长？（结果保留整数）50dmABCD22225050500071()ACABBCdm 解：解：在在Rt ABC中，中，B=90, AC=BC=50,由勾股定理可知：由勾股定理可知：1.一个门框的尺寸如图所示，一块长一个门框的尺寸如图所示，一块长 3m，宽，宽2.2m的薄木板能否从门框内的薄木板能否从门框内 通过？为什么？通过？为什么？A B C D 1m2m解：如图，连接解：如图，连接AC。在在RtABC 中，根据勾股定理，中，根据勾股定理，AC ABBC 2222125.236 522.2 木板可以从门框内通过。木板可以

12、从门框内通过。2.如图，一个如图，一个25米长的梯子米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙斜靠在一竖直的墙AO上，这时上，这时AO的距离为的距离为24m，如果梯子的顶端，如果梯子的顶端A沿墙下滑沿墙下滑4m，那么梯子底端，那么梯子底端B也外也外移移4m吗？吗？OAB2.如图，一个如图，一个25米长的梯子米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙斜靠在一竖直的墙AO上，这时上，这时AO的距离为的距离为24m，如果梯子的顶端，如果梯子的顶端A沿墙下滑沿墙下滑4m，那么梯子底端，那么梯子底端B也外也外移移4m吗？吗？OAB2.如图，一个如图，一个25米长的梯子米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙斜靠在一竖直的墙AO上，

13、这时上，这时AO的距离为的距离为24m，如果梯子的顶端，如果梯子的顶端A沿墙下滑沿墙下滑4m，那么梯子底端，那么梯子底端B也外也外移移4m吗？吗？OAB2.如图，一个如图，一个25米长的梯子米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙斜靠在一竖直的墙AO上，这时上，这时AO的距离为的距离为24m，如果梯子的顶端，如果梯子的顶端A沿墙下滑沿墙下滑4m，那么梯子底端，那么梯子底端B也外也外移移4m吗？吗？OAB2.如图，一个如图，一个25米长的梯子米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙斜靠在一竖直的墙AO上，这时上，这时AO的距离为的距离为24m，如果梯子的顶端，如果梯子的顶端A沿墙下滑沿墙下滑4m，那么梯子底端，

14、那么梯子底端B也外也外移移4m吗？吗？OABCD解：如图，解：如图，ABO和和CDO都是直角三角形，都是直角三角形，OB=ABAO 22 222524 25242524 497OD=OCOA-AC 24420CDCO22222520 25202520 45515BDOD-OB 1578答：梯子底端答：梯子底端B外移外移8m。课 中 探 究课 中 探 究如图，一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?在RtAOB中，OB2= ，OB= .在RtCOD中，OD2= ，OD= .BD= .梯子的顶端沿墙下

15、滑0.5 m，梯子底端外移_222232.5ABAO2.751.658222232CDCO52.2362.236 1.6580.58ODOB0.582：如图，铁路上如图，铁路上A，B两点相距两点相距25km，C，D为两庄，为两庄，DAAB于于A，CBAB于于B，已知，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站上建一个土特产品收购站E，使得，使得C，D两村到两村到E站的距离相等，则站的距离相等，则E站应建在离站应建在离A站多少站多少km处？处？CAEBDx25-x解：解：设设AE= x km，根据勾股定理，得根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 B

16、C2+BE2=CE2又又 DE=CE AD2+AE2= BC2+BE2即：即：152+x2=102+（25-x)2答：答：E站应建在离站应建在离A站站10km处。处。 X=10则则 BE=（25-x）km15103:在我国古代数学著作在我国古代数学著作九章算术九章算术中记载了一道有趣的问题这中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形尺的正方形,在在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和

17、拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？这根芦苇的长度各是多少？DABC解解:设水池的深度设水池的深度AC为为X米米,则芦苇高则芦苇高AD为为 (X+1)米米.根据题意得根据题意得:BC2+AC2=AB252+X2 =(X+1)225+X2=X2+2X+1 X=12 X+1=12+1=13(米)答答:水池的深度为水池的深度为12米米,芦苇高为芦苇高为13米米.4 如图一种盛饮料的圆柱形杯，测得内如图一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面直径为部底面直径为5 5，高为，高为1212，吸管，吸管放进杯里，杯口外面露出放进杯里，杯口外面露出5 5，问吸，问吸管要做

18、多长？管要做多长？ 1255ABC解：如图，解：如图，AB=5，BC=12ABC是直角三角形，是直角三角形，AD=13+5=18D答：吸管的长度为答：吸管的长度为18。AC ABBC 2222512169135. 如图将一根如图将一根2525厘米长的细木棒放入长、厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为宽、高分别为8厘米厘米、6厘米厘米和和1010厘米厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米盒外面的最短长度是多少厘米5. 如图将一根如图将一根2525厘米长的细木棒放入长、厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为宽、高分别为8厘米厘米、6厘米厘米和和10

19、10厘米厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米盒外面的最短长度是多少厘米8610？ABCD5. 如图将一根如图将一根2525厘米长的细木棒放入长、厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为宽、高分别为8厘米厘米、6厘米厘米和和1010厘米厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米盒外面的最短长度是多少厘米8610？ABCD5. 如图将一根如图将一根2525厘米长的细木棒放入长、厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为宽、高分别为8厘米厘米、6厘米厘米和和1010厘米厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在

20、的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米盒外面的最短长度是多少厘米8610？ABCD5. 如图将一根如图将一根2525厘米长的细木棒放入长、厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为宽、高分别为8厘米厘米、6厘米厘米和和1010厘米厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米盒外面的最短长度是多少厘米8610？ABCD5. 如图将一根如图将一根2525厘米长的细木棒放入长、厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为宽、高分别为8厘米厘米、6厘米厘米和和1010厘米厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短

21、长度是多少厘米盒外面的最短长度是多少厘米8610？ABCD5. 如图将一根如图将一根2525厘米长的细木棒放入长、厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为宽、高分别为8厘米厘米、6厘米厘米和和1010厘米厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米盒外面的最短长度是多少厘米8610？ABCDADC86细木棒露在盒外面的最短长度是细木棒露在盒外面的最短长度是 . 5. 如图将一根如图将一根2525厘米长的细木棒放入长、厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为宽、高分别为8厘米厘米、6厘米厘米和和1010厘米厘米的长方体无盖盒子中，则细木棒露在的长方体无盖盒子

22、中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米盒外面的最短长度是多少厘米8610？ABCDADC86解：如图，由题意可知解：如图，由题意可知 ADC 和和 ABC都是直角三角形。都是直角三角形。根据股定理，根据股定理，ABACBC 22221010200 25200ACADDC 22228610BABABABABABA3.如图甲壳虫在单位长度为如图甲壳虫在单位长度为1的正方体的正方体A处嗅到了放置在正方体的处嗅到了放置在正方体的B处位置上处位置上的面包，甲壳虫沿着怎样的路线行走的面包，甲壳虫沿着怎样的路线行走才能很快地吃到面包？甲壳虫行走的才能很快地吃到面包？甲壳虫行走的最短路线长是多少？最短路线

23、长是多少？BACD解：如图， 沿着从ADB，或从ACB的路线行走才能很快吃到面包。画出正方体的平面展开图，如图所示。最短路线长为：AB 22215甲壳虫行走的最短路线是 个单位长度5B6. .如图如图, ,长方体的高为长方体的高为3cm,3cm,底面是边长为底面是边长为2cm2cm的正方形的正方形. .现有一小虫从顶点现有一小虫从顶点A A出发出发, ,沿长方体侧面到达顶点沿长方体侧面到达顶点C,C,小虫走的路程最短为多少小虫走的路程最短为多少厘米？厘米？ACC1B1解：如图，画出长方体的侧面展开图。解：如图，画出长方体的侧面展开图。ACABB C 22221111345答：小虫走的路程最短为

24、答：小虫走的路程最短为5厘米。厘米。AB1=3，B1C1=4，C2B2AB1C1=90根据勾股定理根据勾股定理AB2=5，B2C2=2，AB2C2=90根据勾股定理根据勾股定理5229ACABB C 22222222 257. .如图如图, ,长方体的长、宽、长方体的长、宽、高分别为高分别为8 8、4 4、2.2.现有一现有一小虫从顶点小虫从顶点A A出发出发, ,沿长方沿长方体侧面到达顶点体侧面到达顶点C,C,小虫走小虫走的路程最短为多少厘米？的路程最短为多少厘米？ACC1B1C2B28421222B3C38.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分如图，是一个三级台阶，它的每一级的长

25、、宽和高分别等于别等于55cm，10cm和和6cm，A和和B是这个台阶的两个是这个台阶的两个相对的端点，相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面点出发，沿着台阶面爬到爬到B点，最短线路是多少？点，最短线路是多少？AB8.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于别等于55cm，10cm和和6cm，A和和B是这个台阶的两个是这个台阶的两个相对的端点，相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的点去吃可口

26、的食物。请你想一想，这只蚂蚁从食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面点出发，沿着台阶面爬到爬到B点，最短线路是多少？点，最短线路是多少？AB8.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于别等于55cm，10cm和和6cm，A和和B是这个台阶的两个是这个台阶的两个相对的端点，相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面点出发，沿着台阶面爬到爬到B点，最短线路是多少？点，最短线路是多少？AB8.如图，是一个三级台阶，它的每

27、一级的长、宽和高分如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于别等于55cm，10cm和和6cm，A和和B是这个台阶的两个是这个台阶的两个相对的端点，相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面点出发，沿着台阶面爬到爬到B点，最短线路是多少？点，最短线路是多少？AB55106解：解：C如图，将台阶展开。如图，将台阶展开。AC=(10+6) 3=48BC=55三角形三角形ABC为直角三角形为直角三角形AB=ACBC 22 22485523043025532973答：最短路线是答

28、：最短路线是73cmAB9.有一个圆柱有一个圆柱, ,它的高等于它的高等于1212厘米厘米, ,底面半径等于底面半径等于3 3厘米厘米, ,在在圆柱下底面上的圆柱下底面上的A A点有一只蚂蚁点有一只蚂蚁, ,它想从点它想从点A A爬到点爬到点B B 蚂蚂(的值取的值取3)3)蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? ?ACB12r339解：解： 如图如图 ，将圆柱，将圆柱体的侧面展开。体的侧面展开。AC=r9 BC=12三角形三角形ABC是直角三角形，是直角三角形，AB122291448122515 答：最短路程是答：最短路程是15 厘米。厘米。10:矩形矩形ABCD如图折叠，使点如图折叠，使点D落在落在BC边上的点边上的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10，求折痕，求折痕AE的长。的长。ABCDFE解解:设设DE为为X,X(8- X)则则CE为为 (8 X).由题意可知由题意可知:EF=DE=X,XAF=AD=1010108 B=90 AB2+ BF2AF282+ BF2102 BF6CFBCBF106464 C=90 CE2+CF2EF2(8 X)2+42=X264 16X+X2+16=X280 16X=016X=80X=5练习：练习： 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着