中考数学之三角形五心定律(共3页)

1、三角形五心定律三角形的重心，外心，垂心，内心和称之为三角形的五心。三角形五心定理是指，的总称.重心定理：三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21。2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4、在中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3

2、）/3）。5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。外心定理：三角形的圆心，叫做三角形的外心。外心的性质：1、三角形的三条边的交于一点，该点即为该三角形的外心。2、若O是ABC的外心，则BOC=2A（A为锐角或）或BOC=360-2A（A为钝角）。3、当三角形为时，外心在三角形内部；当三角形为时，外心在三角形外部；当三角形为时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。4、外心到三顶点的距离相等垂心定理：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。的性质：1、三角形三个顶点，三个，垂心这7个点可以得到6个四点圆。2、O、重心G和垂心H，且OGGH=12。（此直线称为

3、三角形的（Euler line）（除正三角形）3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点距离的2倍。4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。已知：ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CFAB证明：连接DEADB=AEB=90度A、B、D、EADE=ABE又ODC=OEC=90度O、D、C、EACF=ADE=ABE又ABE+BAC=90度ACF+BAC=90度CFAB因此，垂心定理成立！内心定理：三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。内心的性质：1、三角形的三条内交于一点。该点即为三角形的内心。2、的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的

4、二分之一。3、P为ABC所在空间中任意一点，点0是ABC内心的充要条件是：P0=(a向量PA+b向量PB+c向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC5、(定理)ABC中，R和r分别为为和的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr6、（内分三边长度关系）ABC中，0为内心，A 、B、 C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.7、内心到三角形三边距离相等。旁心定理：三角形的（与三角形的

5、一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。的性质：1、三角形一内和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2、每个三角形都有三个旁心。3、旁心到三边的距离相等。如图，点M就是ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，四心合一。五星定理巧记歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和， 五心性质很重要，认真掌握莫记混重 心三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好外 心三角形有六元素，三个有三边 作三边的中垂线，三线相交共一点此点定义为外心，用它可作 内心外心莫记混，内切外接是关键垂 心三角形上作三高，三高必于交 高线分割三角形，出现直角三对整，有十二，构成六对相似形，图中有，细心分析可找清.