初等函数的幂级数展开式

1、2021/6/161200)(! 2)(xxxf 10)1()()!1()()( nnnxxnfxR nnxxnxf)(!)(00)( 其中其中定理定理1 (泰勒中值定理泰勒中值定理) 若函数若函数f(x)在在x0点的某邻域点的某邻域U (x0)内具有直到内具有直到n+1阶连续导数阶连续导数, 则当则当x取取U (x0)内任何值内任何值时时, f (x)可按可按(x x0)的方幂展开为的方幂展开为f (x)=f(x0)+f (x0)(x x0)+( 在在x0与与x之间之间)+Rn(x) 公式公式(1)称为函数称为函数 f (x)在在x0处的处的泰勒公式泰勒公式.(1) Rn(x)称为称为拉格朗

2、日拉格朗日(Lagrange)余项余项.泰勒系数泰勒系数!)(0)(kxfakk k=0, 1, 2, , n是唯一的是唯一的.一、泰勒公式一、泰勒公式2021/6/162定义定义 如果函数如果函数f (x)在在x0的某邻域内是存在的某邻域内是存在任意阶导任意阶导数数, 则幂级数则幂级数称为函数称为函数f (x)在在x0处的处的泰勒级数泰勒级数.200)(! 2)(xxxf = f(x0) + f (x0)(x x0) nnxxnxf)(!)(00)(二、泰勒级数二、泰勒级数 000)()(!)(nnnxxnxf称为函数称为函数 f (x)的的麦克劳林级数麦克劳林级数. nnxnfxfxff!

3、) 0(! 2) 0() 0() 0()(2 0)(!)0(nnnxnf2021/6/163 )!12()1(! 51! 311253nxxxxnn sin x = 012)!12()1(nnnnx x (, + ). 0nnx( 1x1)=1+x+x2+xn+ x 11定理定理2 f(x)在在x0点的点的泰勒级数泰勒级数在在UR (x0)内收敛于内收敛于f (x) 在在UR (x0) 内内, Rn(x)0. nxxnxxe!1! 2112 x (, + ). 0!nnnx2021/6/164 0!) 1() 1(nnxnn 1, 收敛区间为收敛区间为: ( 1, 1). 1 0, 收敛区间为

4、收敛区间为: 1, 1. 1x1 nxnnxxx!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (22021/6/1657.7 初等函数的幂初等函数的幂级数展开式级数展开式一、直接法一、直接法(泰勒级数法泰勒级数法)二、间接法二、间接法三、常见函数的幂级数展开式三、常见函数的幂级数展开式2021/6/166步骤步骤:0)(lim xRnn!)(0)(nxfn (1) 求求 f (n)(x), n=0,1,2, (2) 计算计算 an , n=0,1,2, (4) 讨论讨论?并求出其收敛区间并求出其收敛区间.(3) 写出幂级数写出幂级数利用利用泰勒公式泰勒公式或或麦克劳林公式麦克劳林公式将将f(x)展开

5、为幂级数展开为幂级数nnnxxnxf)(!)(010)( 若若为为0, 则幂级数在此则幂级数在此收敛收敛区间内等区间内等于于函数函数 f(x); 若若不为不为0, 则幂级数虽然则幂级数虽然收敛收敛, 但它的但它的和不是和不是 f(x).一、直接法一、直接法(泰勒级数法泰勒级数法)2021/6/167解解 0!nnnx1)!1( nxxne 例例1 将将 f(x)=e x 在展开成在展开成 x的幂级数的幂级数.因因 f (n)(x)=e x, n=1, 2, 3, , f (n)(0)=e 0=1, 于是于是 f(x)=e x 在在x=0的的麦克劳林级数麦克劳林级数为为: nxnxx!1! 21

6、12其中其中1)1()!1()()( nnnxnxfxR 0 1|)!1(|lim| )(|lim1 nxnnnxnexR )!1(|lim1 nxennx =0, 所以所以 e x =1+x+ 0!nnnxx+ . nxnx!1! 2120)(lim xRnn收敛收敛区间为区间为: (, + )2021/6/168nnkknnnnnbnabbakknnnbannbnaaba 1221!) 1() 1(! 2) 1()(二项展开式二项展开式+ +nxn 1+x n(1+x)n=1+nx+kxnknnnxnn!) 1() 1(! 2) 1(2 (1+x) = 1+ x+ nxnnx!) 1()

7、1(! 2) 1(2 ?2021/6/169解解|lim1 nnnaaR例例3 将将 f(x)=(1+x ) 展开成展开成 x的幂级数的幂级数.n=0,1,2, , f (n)(0)= ( 1)(2) ( n+1)=1, 0)(!)0(nnnxnf得得(1+x) (n) = ( 1)(2) ( n+1)(1+x)( n) , 0!) 1() 1(nnxnn |1|limnnn 注意注意: 当当x= 1时时, 级数的收敛性与级数的收敛性与 的取值有关的取值有关. 1, 收敛区间为收敛区间为: ( 1, 1). 1 0, 收敛区间为收敛区间为: 1, 1.所以所以(1+x) 的泰勒级数的收敛区间是

8、的泰勒级数的收敛区间是( 1, 1),2021/6/1610 x ( 1, 1)(1+x) =1+ x+ nxnnx!) 1() 1(! 2) 1(2 0!) 1() 1(nnxnn 牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式二、二、间接展开法间接展开法 根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式、利用常见展开式、等比级数的和等比级数的和及幂级数的性质等及幂级数的性质等, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等恒等变形变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分等方法等方法, 求展开式求展开式.x 11当当 = 1时时,x ( 1, 1).=1 x + x2 x3+( 1)nxn +2021/

9、6/1611 )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn解解例例6 将将 f(x)=cosx 展开成展开成 x的幂级数的幂级数.因因 (sin x) =cosx ,又又 02)!2()1(nnnnx x (, + ). x (, + ).对上式对上式逐项求导逐项求导得得2021/6/1612)1(xedxdx 解解,!1! 2112 nxxnxxe)1!1! 211()1(2xxnxxdxdxedxdnx )!1(1!1! 31! 211 12 nnxnxnxxdxd 12)!1(!1! 32! 21nnxnnxn

10、nx 11)!1(nnxnn例例10 将函数将函数 展开成展开成 x的幂级数的幂级数.因为因为x (, + ).所以所以x (, + ).2021/6/1613211x 解解211x 例例5 将下列函数展开成将下列函数展开成 x的幂级数的幂级数.(1)x 11x ( 1,1).=1 x + x2 x3+( 1)nxn +因为因为(2) arctan x(1) 以以x2 代替上式中的代替上式中的 x ,=1 x 2 +x4 x6+( 1)nx2n + 02)(nnxx ( 1, 1).,11)(arctan2xx (2) 因因 1253121) 1(5131nnxnxxx 21tdt0 xarc

11、tan x对上式对上式逐项积分逐项积分 0n dt0 x( 1)nt 2n 2021/6/1614 1253121)1(5131nnxnxxx 1253121)1(5131nnxnxxxx 1, 1.arctan xarctan x当当x= 1时时, 为为121)1(01 nnn交错级数交错级数, 收敛收敛,当当x= 1时时, 为为121)1(0 nnn交错级数交错级数, 收敛收敛,所以所以,120121)1( nnnxn 121)1(51311nnarctan 1 =4 2021/6/1615解解例例1* 将函数将函数ln(1+x)展开成展开成 x的幂级数的幂级数.x 11x ( 1,1).

12、=1 x + x2 x3+( 1)nxn +因为因为,11 )1ln(xx 又又 13211) 1(3121nnxnxxx tdt10 xln(1+x)对上式对上式逐项积分逐项积分 11) 1(nnnnx 0n dt0 x( 1)nt n 2021/6/1616 13211)1(3121nnxnxxxx ( 1, 1.ln(1+x) 11) 1(nnnnx nn1)1(312111当当x= 1时时, 为为,110 nn发散发散, 当当x= 1时时, 为为11)1(0 nnn交错级数交错级数, 收敛收敛,所以所以,ln(1+x) 13211)1(3121nnxnxxxln 2 =2021/6/1

13、6173xe 例例7 将函数将函数f (x)= 展开展开x 的幂级数的幂级数.解解 因为因为 nxxnxxe!1! 2112 x (, + ).3xe x (, + ).以以 代替上式中的代替上式中的 x ,3x nxnxx)3(!1)3(! 21312 nnnxnxx!31) 1(! 231311222021/6/16182xxee 解解,!1! 2112 nxxnxxe 2xxee 02)!2(nnnx例例2* 将函数将函数 展开成展开成 x的幂级数的幂级数.因为因为x (, + ).所以所以x (, + ).)!)1(! 3! 21(32 nxxxxnn)!1! 31! 211(2132

14、 nxnxxx )!2(! 4! 21232nxxxn四则运算四则运算2021/6/161922cos1sin2xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnnxx2cos2121sin2 )!2(2)2() 1()2(! 421)2(! 2212142nxxxnn 12121)!2(2) 1(nnnnxn)!2()2() 1()2(! 41)2(! 2112121242 nxxxnn因为因为 x (, + ).所以所以 x (, + ).解解例例8 将函数将函数sin 2 x 展开成展开成 x的幂级数的幂级数.又又 nnnxnxx2121432)!2(2) 1(! 42202

15、1/6/1620 x 51解解)51(5151xx )5()5(51 512 nxxx1|5| x 132255551nnxxx 015nnnx,1112 nxxxx例例11 将函数将函数 分别在分别在x=0和和x=2处展开成幂级数处展开成幂级数.因为因为x ( 1, 1).所以所以 (1)由由得收敛区间为得收敛区间为: x ( 5, 5).2021/6/1621) 2(3151 xx3)2(3)2(321 3122 nnxxx 13223)2(3)2(3231nnxxx 0)32(31nnx 013)2(nnnx13|2| x(2)由由得收敛区间为得收敛区间为: x ( 1, 5).3211

16、31 x 011nnxxx ( 1, 1).2021/6/16222)(2 xxxxf解解)2)(1(22 xxxxxx)2211(31 xxx 11(31 0)(31nnxnnnnx21)1(310 011nnxx 0)2(211nnxx例例9 将函数将函数 展开成展开成x幂级数幂级数. 0)(11nnxxx ( 1, 1).x ( 2, 2).)2(0 nnx收敛区间为收敛区间为: x ( 1, 1).)211x 2021/6/1623解解例例12 将函数将函数ln x 展开成展开成 (x 1) 的幂级数的幂级数.x ( 1,1.因为因为而而 nxxxxxnn 132)1(3121)1ln

17、(ln x = ln (1+ x 1 ) nxxxxnn) 1() 1() 1(31) 1(21) 1(132得收敛区间为得收敛区间为: x (0, 2.由由 1 x 1 1 , 2021/6/1624xxxf 11ln)(解解 11212nnnx例例3* 将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.)1ln()1ln()(xxxf ( ) x ( 1,1 nxxxxnn 132)1(3121 nxxxxn323121 122322123nxxxnx ( 1, 1).x 1,1)2021/6/1625xxxf 11ln)(解解2xxxf 1111)( 02)(2nnx dttf)(1211

18、22 nnxn212x 例例3* 将函数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.)1ln()1ln()(xxxf 122nnx0 x f (x)=对上式对上式逐项积分逐项积分得得因因 f (0)=0, x ( 1, 1).2021/6/1626;110 nnxx;)1(11022 nnnxx;!0 nnxnxe;)1()1ln(11 nnnnxx;)!12()1(sin012 nnnnxx;)!2()1(cos02 nnnnxx;)(110 nnxx x ( 1, 1). x ( 1, 1.x (, + ).1 几何级数几何级数2 3 4 5 三、常用已知和函数的幂级数三、常用已知和函数的幂级数x (, + ).x (, + ).2021/6/1627 12)1(5131arctan1253nxxxxxnn 11212)1(nnnnx nxnnxxx!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (2 x ( 1, 1). x 1, 1.2021/6/1628四、小结四、小结1. 如何求函数的泰勒级数如何求函数的泰勒级数;2. 泰勒级数收敛于函数的条件泰勒级数收敛于函数的条件;3. 函数展开成