第9章梁的位移分析与刚度设计

1、( Chapter9 Displacements analysis and rigidity design of beams in bending )zzEIM1MMMMMMMM返回返回返回总目录返回总目录xCx 在平面弯曲的情形下，在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面梁上的任意微段的两横截面绕中性轴相互转过一角度，绕中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面从而使梁的轴线弯曲成平面曲线，这一曲线称为梁的曲线，这一曲线称为梁的挠挠度曲线度曲线（deflection curve）。）。 MeMe x xC弯曲后轴线的曲率中心MeMeCw xx xxw(x)wMeMe弯曲后轴线的曲率中

2、心MeMe x xC弯曲后轴线的曲率中心Cw 根据上一章所得到的结果，根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：关系： EIM1 xx xxw(x)wMeMe弯曲后轴线的曲率中心MeMe xwCC横截面形心处的铅垂位移，横截面形心处的铅垂位移，称为称为挠度挠度（deflection），用），用w 表示；表示；变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角转角（slope），用），用 表示

3、；表示；横截面形心沿水平方向的位移，称为横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移轴向位移或或水平位移水平位移（horizontal displacement），用），用u表示。表示。 在在Oxw坐标系中，挠度与转角坐标系中，挠度与转角存在下列关系：存在下列关系： 在小变形条件下，挠度曲在小变形条件下，挠度曲线较为平坦，即线较为平坦，即 很小，因而上很小，因而上式中式中tan 。于是有。于是有tanddxwxwddw w（x），称为），称为挠度方程挠度方程（deflection equation）。）。 xxxw(x)wMeMe x返回返回返回总目录返回总目录EIM123222dd1dd1xwx

4、w2d1dwx22322dd1d1dwxwxEIMxw22ddEIMxw22ddEIMxw22dd22d0dwxxwOxwOMM0M 22d0dwx0M MM 采用向下的采用向下的w 坐标系，有坐标系，有EIMxw22ddxwO22d0dwx0M MM 需要注意的曲线的凸凹性与坐标系密切相关！EIMxw22dd dddlM xwxCxEI DCxxxEIxMwllddxBAFPC4lEI34lwOEIMxw22dd在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：零：w=0;w=0w=0 xBAFPC4lEI34lwO在固定端处，约束条件为挠度和转角都

5、等于零：在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，0。ABqlOxw=0=0连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1= w2，12等等。 w1=w21= 2BAFPC4lEI34lxwO梁的弯曲挠度与转角梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转方程，以及最大挠度和最大转角。角。 左端固定、右端自左端固定、右端自由的悬臂梁承受均布载荷。均由的悬臂梁承受

6、均布载荷。均布载荷集度为布载荷集度为q ，梁的弯曲刚，梁的弯曲刚度为度为EI 、长度为、长度为l。q、EI 、l均已知。均已知。ABql 建立建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即无需分段。无需分段。 ABqlOxw 考察坐标考察坐标为为x的截面上的弯的截面上的弯矩矩21( )02M xq lxxl M（x）FQqABlOxwxxAwlxB得到弯矩方程：得到弯矩方程： 将坐标为将坐标为x的截面处右侧的的截面处右侧的载荷，向截面的载荷，向截面

7、的左侧简化，左侧简化，21( )02M xq lxxl 将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得 212EIwMq lx ABqlOxw积分后，得到积分后，得到 212EIwMq lx 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxDABqlOxw固定端处的约束条件为：固定端处的约束条件为： 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD00 xw，d00dwxx， =33,624qlCqlD 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD33,624qlCqlD 336qlxlEI 434424qwlxl xlEI336qlxlEI

8、 434424qwlxl xlEI将将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：分别代入挠度方程与转角方程，得到： 3max6BqlEI4max8BqlwwEImaxABqlOxwwmax加力点加力点B的挠度和支承的挠度和支承A、C处的转角。处的转角。简支梁受力如图所示。简支梁受力如图所示。FP、EI、l均为已知。均为已知。xBAFPC4lEI34lwO 因为因为B处作用有集中力处作用有集中力FP，所以需要分为，所以需要分为AB和和BC两段建立弯两段建立弯矩方程。矩方程。 首先，应用静力学方法求得梁在支承首先，应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力二处的约束力分别如图中所示。分别如

9、图中所示。 在图示坐标系中，为确定梁在在图示坐标系中，为确定梁在0l/4范围内各截面上的弯矩，范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端只需要考虑左端A处的约束力处的约束力3FP/4；而确定梁在；而确定梁在l/4l范围内各截范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力处的约束力3FP/4和荷载和荷载FP。xBAFPC4lEI34lwOP14FP34F 于是，于是，AB和和BC两段的弯矩方程分别为两段的弯矩方程分别为 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxlxBAFPC4lEI34lwOP14FP34F 211P2d30d44wlEIMxF xxx

10、 222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlx 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxlxBAFPC4lEI34lwOP14FP34F积分后，得积分后，得 12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw其中，其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与段与BC段梁交界处的连续条件确定。段梁交界处的连续条件确定。 xBAFPC4lEI34lwOP14FP34F 在支座在支座A、C两处挠度应为零，即两处挠度应为零，即x0

11、， w10; xl， w20 因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即 xl/4， w1w2 ; xl/4，1=2w=0w=0w1=w21= 2xBAFPC4lEI34lwOP14FP34F12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIwx0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ; xl/4，1=2D1D2 =02P211287lFCC 将所得的积分常数代入后

12、将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：得到梁的转角和挠度方程为： 22P378128FxxlEI xlxEIFxw23P128781 222P317824128FlxxxlEI xllxxEIFxw233P128746181 据此，可以算得加力点据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处处的挠度和支承处A和和C的转角分别为的转角分别为 EIlFwB3P25632P7128AF lEI2P5128BF lEIM0ACBll 确定约束力确定约束力, ,判断是否需要分段以及分几段判断是否需要分段以及分几段 分段建立挠度微分方程分段建立挠度微分方程 微分方程的积分微分方程的积分 利用约束条件和

13、连续条件确定积分常数利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度挠度与转角方程以及指定截面的挠度 与转角与转角 分段写出弯矩方程分段写出弯矩方程返回返回返回总目录返回总目录简支梁受力如图所示，简支梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。均为已知。C 截面的挠度截面的挠度wC ；B截面的转角截面的转角B。BAFP=qlOwCEIl/2l/2qM=ql2xwBAOCEIl/2ql/2321CCCCwwww1. .将梁上的载荷变将梁上的载荷变为三种简单的情形。为三种简单的情形。123BBBBwC3BAFP=qlxOwCEIl/2l/2qM=ql2wC1B1B2ABFP=

14、qlxOwCEIl/2l/2wC2BAxOwCEIl/2l/2M=ql2B32. .由挠度表查得由挠度表查得三三种情形种情形下下C截面的挠度和截面的挠度和B截面的转角截面的转角。415,384CqlwEI311,24BqlEI 421,48CqlwEI321,16BqlEI 43116CqlwEI 331,3BqlEIxwBAOCEIl/2ql/2xwC3wC1B1B2ABFP=qlxOwCEIl/2l/2wC2BAxOwCEIl/2l/2M=ql2B33. 应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加 将上述结果按代数值相加，分别得到梁将上述结果按代数

15、值相加，分别得到梁C截面的挠度截面的挠度和支座和支座B处的转角处的转角: : ,EIqlwwiCiC43138411EIqliBiB3314811BAFP=qlOwCEIl/2l/2qM=ql2wCB悬臂梁受力如图所示，悬臂梁受力如图所示，q、l、EI均为已知。均为已知。C截面的挠度截面的挠度wC和和转角转角C。qCxOwABEIl/2l/2CwC1. . 首先，将梁上的首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形载荷变成有表可查的情形 为了利用挠度表中关为了利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端计算结果，计算自由端C处处的挠度和转角，先将均布的挠度和转角，先将

16、均布载荷延长至梁的全长，为载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的了不改变原来载荷作用的效果，在效果，在AB段还需再加上段还需再加上集度相同、方向相反的均集度相同、方向相反的均布载荷。布载荷。 qqqCxOwABEIl/2l/2 分别画出这两种分别画出这两种情形下的挠度曲线大情形下的挠度曲线大致形状。于是，由挠致形状。于是，由挠度表中关于承受均布度表中关于承受均布载荷悬臂梁的计算结载荷悬臂梁的计算结果，上述两种情形下果，上述两种情形下自由端的挠度和转角自由端的挠度和转角分别为分别为 再将处理后的再将处理后的梁分解为简单载荷作用梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单的情形，计算各个简单载荷

17、引起的挠度和转角载荷引起的挠度和转角 2BwC22CqqqCxOwABEIl/2l/2qCxOwABEIl/2l/2wB2CqxOwABEIl/2l/2wC11C两种情形下自由端的挠两种情形下自由端的挠度和转角分别为度和转角分别为再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角各个简单载荷引起的挠度和转角414322218112128482,CCBBqlwEIlqlqllwwEIEI EIqlEIqlCC323148161,2BwC22CqCxOwABEIl/2l/2wB2CqxOwABEIl/2l/2wC11C将简单载荷作用

18、将简单载荷作用的结果叠加的结果叠加 ,EIqlwwiCiC42138441EIqliCiC3214872BwC22CqCxOwABEIl/2l/2wB2CqxOwABEIl/2l/2wC11CCqCxOwABEIl/2l/2wCql/2ql/2l/2ACBl/2l/2ACB111+2CBBlwwwC1C111CBq2l/4ql/2l/2ACBql/2q2l/8l/2l/2ACBwC2C2wC1C1121212+CCCCCCBCwwwxyzOyzOFPyFPzFPyFPzwwwzwzPPtanzyFFtanzywwFPFPwywy3PP3PP3tan=tan3zyzzzzyyyyyzF lEIw

19、FIIF lwFIIEIPPtanzyFFtanzywwtantanzyII返回返回返回总目录返回总目录 对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。或零件的正常工作。AClBdaFP 例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。 wwmax max钢制

20、圆轴，左端受力为钢制圆轴，左端受力为FP，FP20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的处的许用转角许用转角 =0.5。根据刚度要求确定该轴的直径根据刚度要求确定该轴的直径d。 AClBdaFP根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。骤计算。EIlaFB3P由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为处的转角为 AClBdaF

21、P由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为处的转角为 EIlaFB3P B根据设计要求，有根据设计要求，有 AClBdaFP根据设计要求，有根据设计要求，有 B其中，其中， 的单位为的单位为rad（弧度），而（弧度），而 的单位为（的单位为（）（度），）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径 111mmm10111m100.52063101802120643-493dAClBdaFP返回返回返回总目录返回总目录 ABqlMAFAyFAxFB3-3=04-3=1l ABMAFAyFAxq

22、532633FBxMBFBxBl AMAFAyFAxqBl AMAFAyFAxqFByFBy 0ByBBBFwqwwFBxBl AMAFAyFAxFByqBl AMAFAyFByqMBBl AMAFAyFAxFBxFByqMBBl AMAq 0ByBBBBFqMMBBl AMAqB AlqBl AqFAy+FBy - ql=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0MAFAyFBwB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)wB(FBy)Bl AMAFAyqlB AMAFAyFBFAy+FBy - ql=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0

23、wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)= - Fbyl 3 /3EIBl AMAFAyFBq返回返回返回总目录返回总目录二梁的受力二梁的受力( (包括载荷与约束力包括载荷与约束力) )是否相同？是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的位移是否相同？二梁的位移是否相同？ 正确回答这些问题，有利于理解位移与变形之间的正确回答这些问题，有利于理解位移与变形之间的相互关系。相互关系。CAl/2Bl/2FPEICFP/2Al/2Bl/2EIFPABC 试根据连续光滑性质以及约束条件，画试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状出梁

24、的挠度曲线的大致形状CDAlBllM0M0CDAlBllM0M0CDAlBllM0M0CDAlBllM0M0CDAlBllM0M0CDAlBllM0M0CDAlBllM0M0CDAlBllM0M0CDAlBllM0M0CDAlBllM0M0llABCFPAllBCllABCFPw1w2w3FP lFPBl AMAFAyqBl Aq BBBBBMqlq2 BBBBBMwqlwqww2MBFByMAFAyMBFBy0AB= 0ABAAAABqMMMBMAl ABqFByFAyBl AqMBMAFByFAyFQc=0=0 c=0 CCCCMqFQC FQC MCMCl/2 AqCBl/2qCBl AqFPABCDFPABDABCD