二次函数的图象-二次函数典型例题

1、典型例题例1、已知二次函数，当x= 4时有最小值-3，且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解 析式.分析：因为二次函数当x=4时有最小值-3 ,所以顶点坐标为（4 , -3）,对称轴为x=4，抛物线开口向上.图 象与x轴交点的横坐标为1，即抛物线过（1，0）点又根据对称性，图象与 x轴另一个交点的坐标为（7， 0）有下面的草图：解：此题可用以下四种方法求出解析式.方法一：因为抛物线的对称轴是x = 4，抛物线与x轴的一个交点为（1，0），由对称性可知另一点为（7，0）,同例1，抛物线y=ax2+ bx+ c通过（4，-3）、（1，0）、（7，0）三点，由此列出一个含 a、b、c 的三

2、元一次方程组，可解出 a、b、c来.方法二：由于二次函数当 x=4时有最小值-3，又抛物线通过（1，0）点，所以由上面的方程组解出 a、b、c.方法三：由于抛物线的顶点坐标已知，可以设二次函数式为y=a（x+h） 2+k，其中h=-4，k=-3即有2y=a（x-4） -3，式中只有一个待定系数a，再利用抛物线通过（1，0）或通过（7，0）求出a来.即Ia =得出 匚.所求二次函数解析式为方法四：由于抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为Xi=1,X2=7.可以采用双根式y=a(x-xi)(x-x2),其中xi=1, X2=7即有y=a(x-1)(x-7)式中只有待定系数 a,再把顶点(4,-3)

3、代入上式-3 = 得：=班4 -1)(4-刁卫=-2：所求二次函数解析式为例2、如果以 系是A.b+c-a=0 ；B. b+c-a 0;C.b+c-a 0;D.不能确定.解：从图13-25上看出抛物线开口向下，所以 物线以y轴为对称轴，所以b=0.a 0.又因为抛综上分析知b+c-a 0,应选B.注意：这个题考察了二次函数中三个系数b、c的含义，二次项系数 a决定抛物线开口方向，c为抛物线在y轴上的截距即抛物线与 y轴交点的纵坐标，抛物线的对称轴方程为A =-丄2 ,要根据图象具体分析才能得出正确结论.例3、已知：二次函数 y=x2+2ax-2b+1和y=-x 2+(a-3)x+b 2-1的图

4、象都经过 求a , b的值.x轴上两个不同的点 M N,解：方法一 依题意，设M(X1, 0) , N(X2, 0)，且X1工X2,则 根，所以 X1+X2=-2a , X1 x2=-2b+1 .X1, X2为方程x2+2ax-2b+1=0的两个实数因为X1, X2又是方程-x 2+(a-3)x+b 2-仁0的两个实数根，所以X1+X2=a-3 , X1x2=1-b2.由此得方程组-2a. - a-3,解得二b = 2.y轴为对称轴的抛物线 y=ax2+bx+c的图象如图13-25所示，那么代数式b+c-a与零的关当a=1, b=0时，二次函数的图象与 x轴只有一个交点，所以 a=1 , b=

5、0舍去.当a=1 , b=2时，二次函数为y=x2+2x-3和y=-x 2-2x+3符合题意，所以 a=1, b=2 .方法二 因为二次函数y=x2+2ax-2b+1的图象的对称轴为 x=-a，二次函数a -327A 的图象的对称轴为，又两个二次函数图象都经过x轴上两个不a- 3-t =同的点M, N.所以两个二次函数图象的对称轴为同一直线，所以1 ，解得a=1.所以两个二次函数分别为 y=x2+2x-2b+1 和 y=-x 2-2x+b 2-1 .依题意，令y=0得2x +2x-2b+1=0，-x 2-2x+b 2-1=0，(2)(1) +(2)得 b2-2b=0，解得 bi=0，b2=2.

6、以下解法同方法一.注意：本题给岀两种不同的解法方法一的关键是紧紧抓住问题的本质就是两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点 M, N.从而把文字语言转化为代数语言，设M(xi，0)，N(X2，0)，再转化为xi，X2是两个二次方程的等根来解.方法二是利用两个二次函数的图象都经过x轴上两个不同的点 M N这个现象，挖掘它的内涵(从草图中也可看出)知道，两个二次函数图象的对称轴应为同一直线，从而解得a=1 在求b的过程中把方程(1)和方程 相加消去x,因为两个方程设而不解，这种方法同学们可能不习惯，可以这样理解：丁 2都是方程 和 的解，不妨设! ： !：， 一 ,同时也应有-1 丨，所以:厂 a

7、 八.从而推出2b=b2得解.最后提醒学生对于解得的结果还要进行检验是否符合题意.例4、二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是解：图象大致是D.分析：这一类题是考察数学逻辑推理能力题目中a, b, c均是变量，字母多不知从何下手考虑考虑问题应该是有层次的，首先抓住两个函数共性的东西，如两个图象的交点中有一个是(0 , c)，也就是说两个图象的交点中有一个应在 y轴上，从而否定了 A.和B.，且c 0其次考虑完字母c后，再考虑a的取 值若a 0,则直线y=ax+c与x轴交点应在原点左边，这样否定了C.;再检验D.,从二次函数图象知a0,直线y=ax+c与x轴

8、交点应在原点右边，所以 D.是正确的.考虑变量的取值范围要先考虑 第一个再考虑第二个、第三个有次序地进行，切忌无头绪地乱猜，思维例5、 如果抛物线y=-x2+2(m-1)x+m+1与x轴交于 A B两点，且 A点在x轴的正半轴上，B点在x轴 的负半轴上，OA的长是a, OB的长是b.(1) 求m的取值范围；(2) 若a ： b=3： 1,求 m的值，并写出此时抛物线的解析式；(3) 设中的抛物线与y轴交于点C,抛物线的顶点是 M问：抛物线上是否存在点卩，使厶PAB的面积等于ABCM面积的8倍？若存在，求出 P点坐标；若不存在，请说明理由.解： 设A B两点的坐标分别为(X1, 0) ,(X2,

9、 0).因为A B两点在原点的两侧，所以 X1X20, 即-(m+1) -1时， 0，所以m的取值范围是m-1 . 因为 a : b=3: 1,设 a=3k, b=k(k 0)，贝U X1=3k, X2=-k，所以3k-k =3k * (-k) = -(m + l)r解axtj = p因为m*1善时.均+軻=冷(不台蝕西 舍去).所以m=2.所以抛物线的解析式是y=-x 2+2x+3.(3)易求抛物线y=-x2+2x+3与x轴的两个交点坐标是 A(3, 0) , B(-1 , 0);抛物线与y轴交点坐标是C(0 , 3);顶点坐标是M(1, 4) 设直线BM的解析式为y=px+q,0=”)解待

10、p= 2* q = 2.所以直线BM的解析式是y=2x+2 .设直线BM与 y轴交于N,则N点坐标是(0, 2).所以Sabcm =阳鼻 +S 沁=j X IX 1+| XX1 = L设P点坐标是(x , y)，因为 Saabp=8Sxbcm . 所以| XABX | y | 二1,即 I y I =3.所以丨y丨=4,由此得y=4.当y=4时，P点与M点重合，即P(1 , 4)；当y = /时，=解彳寻藍=12忑.所以满足条件的P点存在.F点坐标是(1, 4), (1 + 272, -4 (1-22,注意：这一类题是探索性的， 需要独立思考，前两问是为第三问作铺垫的，都是常规的思路不太难.

11、第三问是假设条件成立可导出什么结果，在求 BCM的面积时要用分割法，因为 BCM是任意三角形，它的面积不好求,而CMN的面积都好求,底都为CN=1,高都是1 . 5bcm=Sabcn+5cmn这样就化难为易了. 方 程-x 2+2x+3=4有解则P点存在,如果方程无解则 P点不存在,探索性题的思路都是这样的.例6、某商场购进一批单价为 16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件,若按每件25元的价格销售时,每月能卖 210件,假定每月销售件数 y(件)是价格x(元/件)的一次 函数.(1)试求y与x之间的关系式;(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少？解：(1)依题意设y=kx+b，则有f3G0 = 20k + b.fk=-3C?210 = 25k 十 b 店=960所以y=- 30x+960(16WxW32).(2)每月获得利润 P=(-30x+960)(x-16)=30(-x