江苏省南京市六校联考2020—2021学年高二数学下学期期中试题(含解析) (1)_第1页
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1、江苏省南京市六校联考2020-2021学年高二数学下学期期中试题(含解析)本卷:共150分 考试时间:120分钟一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1设z32i,则在复平面内z对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限25名同学去听同时举行的3个课外知识讲座,每名同学可自由选择听其中的1个讲座,不同的选择的种数为( )A60B125C240D2433已知递增等比数列an的前n项和为Sn,a22,S37,则S7( )A64B63C127D48 43名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作,每名大学生只去1个村,每个村至少1人,则不同的分配方案共有( )A4种B5种C6

2、种D8种5已知函数f(x)a2x3ax22x1在x1处取得极大值,则a的值为( )A1或2B1或2C1D26甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后,在天安门广场排成一排拍照留念,甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( )A12种B24种C48种D120种7数学对于一个国家的发展至关重要,发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养,特开设了“古今数学思想”,“世界数学通史”,“几何原本”,“什么是数学”四门选修课程,要求数学系每位同学每学年至多选3门,大一到大三三学年必须将四门选修课程选完,则每位同学的不同选修方式有( )A60种

3、B78种C84种D144种8定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),若对任意实数x,有f(x)f(x),且f(x)2022为奇函数,则不等式f(x)2022ex0的解集是( )A(,0) B(,2022) C(0,)D(2022,)二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。)9已知复数z,则下列结论中正确的是( )Az的虚部为i B2i C|z| Dz在复平面内对应的点位于第四象限10已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则下列选项中正确的是( )A函数f(x)在x1处取得极

4、大值 B函数f(x)在x1处取得极小值Cf(x)在区间(2,3)上单调递减 Df(x)的图象在x0处的切线斜率小于零11现安排高二年级A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂),且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是( )A所有可能的方法有34种B若工厂甲必须有同学去,则不同的安排方法有37种C若同学A必须去工厂甲,则不同的安排方法有16种D若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种12若0x1x21,e为自然对数的底数,则下列结论错误的是( )Ax2x1Bx2x1Clnx2lnx1Dlnx2lnx1三、填空题(本大题共4小题,每小题5分

5、,共20分)13设z1x2i,z23yi,(x,yR),且z1z256i,则z1z2_.14函数f(x)x33x22在区间2,2上的最大值是_.15用数字0、1、2、3、4、5可以组成无重复数字且能被5整除的的五位数有_个.(用数字作答)16已知f(x)xexe2,g(x)x22x1a,若存在x1R,x2(1,),使得f(x1)g(x2)成立,则实数a的取值范围是_.四、解答题(本大题共6小题,第17题10分,1822题每题12分,共70分)1710件不同厂生产的同类产品:(1)在商品评选会上,有2件商品不能参加评选,要选出4件商品,并排定选出的4件商品的名次,有多少种不同的选法?(2)若要选

6、6件商品放在不同的位置上陈列,且必须将获金质奖章的两件商品放上,有多少种不同的布置方法?18已知是虚数单位,复数.(1)若为纯虚数,求实数的值;(2)若在复平面上对应的点在直线上,求复数的模.19已知函数在处的切线为(1)求实数a,b的值;(2)求函数在上的最大值20已知数列的前项和为,且,数列是公差大于0的等差数列,且,成等比数例(1)求数列和的通项公式;(2)若,求21将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中(1)若每盒至多一球,则有多少种放法?(2)若恰好有一个空盒,则有多少种放法?(3)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则有多少种放

7、法?22已知,(1)求函数的单调区间;(2)若恒成立,求实数的取值范围. 南京市20202021学年度第二学期期中六校联考高二数学试卷 解析版本卷:共150分 考试时间:120分钟一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1设z32i,则在复平面内z对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【考点】复数的几何意义【解析】由题意,因为z32i,实部大于0,虚部小于0,所以在复平面内z 对应的点位于第四象限,故答案选D.25名同学去听同时举行的3个课外知识讲座,每名同学可自由选择听其中的1个讲座,不同的选择的种数为( )A60B125C240D243【答案】D【考

8、点】排列组合【解析】由题意可知,每名同学都有3种选择方式,5名同学则共有35243种选择种数,故答案选D.3已知递增等比数列an的前n项和为Sn,a22,S37,则S7( )A64B63C127D48 【答案】C【考点】等比数列的概念及性质应用【解析】由题意可设,等比数列的公比为q,则22q7,化简得2q25q20,解得q2或(舍去),则a11,所以S7127,故答案选C.43名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作,每名大学生只去1个村,每个村至少1人,则不同的分配方案共有( )A4种B5种C6种D8种【答案】C【考点】排列组合:选派问题【解析】由题意可知,对于选派问题,先选:,然后再排:,则

9、不同的分配问题共有6种,所以答案选C.5已知函数f(x)a2x3ax22x1在x1处取得极大值,则a的值为( )A1或2B1或2C1D2【答案】C【考点】函数的极值点概念应用【解析】由题意可知,f(x)a2x23ax2,则f(1)0,即a23a20,解得a1或2,当a1时,f(x)x23x2,令f(x)0,解得x1或2,所以f(x)在(,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,在(2,)上单调递增,即在x1处取得极大值,满足题意;当a2时,f(x)4x26x2,令f(x)0,解得x或1,所以f(x)在(,)上单调递增,在(,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,即在x处取得极大值,不符合题意,

10、所以舍去,故答案选C.6甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后,在天安门广场排成一排拍照留念,甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( )A12种B24种C48种D120种【答案】B【考点】排列组合:站位问题中的捆绑法与插空法【解析】由题意可知,甲和乙必须相邻则需要捆绑,则先排其他3人,无位置要求,为,此时有4个空位,需要插空,则甲和乙不站在两端则有2个空,为,最后考虑甲和乙两人的位置,为,所以甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有24种,故答案选B.7数学对于一个国家的发展至关重要,发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养,特开

11、设了“古今数学思想”,“世界数学通史”,“几何原本”,“什么是数学”四门选修课程,要求数学系每位同学每学年至多选3门,大一到大三三学年必须将四门选修课程选完,则每位同学的不同选修方式有( )A60种B78种C84种D144种【答案】B【考点】新情景问题下的【解析】由题意可知,三年修完四门课程,则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2,则先将4门学科分成三组共种不同方式,再分配到三个学年共有种不同分配方式,由乘法原理可得共有36种;若是0,1,3,则先将4门学科分成三组共种不同方式,再分配到三个学年共有种不同分配方式,由乘法原理可得共种24种;若是0,2,2,则

12、先将4门学科分成三组种不同方式,再分配到三个学年共有种不同分配方式,由乘法原理可得共有18种所以每位同学的不同选修方式有36241878种;故答案选B8定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),若对任意实数x,有f(x)f(x),且f(x)2022为奇函数,则不等式f(x)2022ex0的解集是( )A(,0) B(,2022) C(0,)D(2022,)【答案】C【考点】函数的单调性应用:利用导数的运算律构造新函数进而解不等式【解析】由题意,因为f(x)2020为奇函数,所以f(0)20200,f(0)2020,考虑函数,则F(x)0, 所以在R上单调递减,因为所以f(x)2022ex0的

13、解集等价于0的解集,即F(x)F(0)的解集为(0,),故答案选C二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。)9已知复数z,则下列结论中正确的是( )Az的虚部为i B2i C|z| Dz在复平面内对应的点位于第四象限【答案】BC【考点】复数的概念及运算综合【解析】由题意可知,z2i,所以z的虚部为1,2i,|z|,z在复平面内对应的点位于第一象限,所以选项BC正确,选项AD错误,故答案选BC.10已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则下列选项中正确的是( )A函数f(x)在x

14、1处取得极大值 B函数f(x)在x1处取得极小值Cf(x)在区间(2,3)上单调递减 Df(x)的图象在x0处的切线斜率小于零【答案】CD【考点】导数的概念、几何意义及应用【解析】由题意,根据f(x)的图象可得到,f(x)在(,2)上单调递增,在(2,1)上单调递减,在(1,3)上单调递减,且f(2)f(1)0,所以函数f(x)在x2处取得极大值,不在x1处取得极小值,因为f(x)在(2,3)上满足f(x)0,所以可得到f(x)在区间(2,3)上单调递减,又f(0)0,则由导数的几何意义可知f(x)的图象在x0处的切线斜率小于零,所以选项AB错误,选项CD正确;故答案选CD.11现安排高二年级

15、A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂),且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是( )A所有可能的方法有34种B若工厂甲必须有同学去,则不同的安排方法有37种C若同学A必须去工厂甲,则不同的安排方法有16种D若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种【答案】BCD【考点】两个计数原理的应用【解析】由题意可知,对于选项A,每名同学都有4种选择,则只能选择一个工厂共有43种,所以选项A错误;对于选项B,则若有1名同学去工厂甲,则去工厂甲的同学情况为,另外两名同学的安排方法有339种,则此情况共有927种;若有2名同学去工厂甲,则同学选派情况

16、有,另外1名同学的排法有3种,此种情况共有39种;若有3名同学去工厂甲,即3名同学都去工厂甲,此种情况唯一,为1种;则工厂甲必须有同学去的情况共有279137种安排方法,所以选项B正确;对于选项C,若同学A必须去工厂甲,则另外2 名同学各有4个工厂选择,即另外2 名同学有4416种安排方法,所以选项C正确;对于选项D,若三名同学所选工厂各不相同,则有24种,所以选项D正确;综上,答案选BCD12若0x1x21,e为自然对数的底数,则下列结论错误的是( )Ax2x1Bx2x1Clnx2lnx1Dlnx2lnx1【答案】ACD【考点】函数的单调性应用:构造新函数问题【解析】由题意可知,对于选项AB

17、,可构造f(x),则f(x),所以当x1时,f(x)0,即f(x)在(0,1)上单调递减,又因为0x1x21,所以f(x1)f(x2),即,则化为x2x1,所以选项A错误,选项B正确;对于选项CD,可构造g(x)exlnx,则g(x)ex,设h(x)xex1,因为h(0)10,h(1)e10,则由函数的零点存在性定理可知,存在x0(0,1),使得h(x0)0,又因为h(x)(1x)ex,则当x(0,1)时,h(x)0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,所以当x(0,x0)时,g(x)0,函数g(x)在(0,x0)上单调递减;当x(x0,1)时,g(x)0,函数g(x)在(x0,1)上单调递增

18、,若0x1x2x0,则有g(x1)g(x2),即lnx1lnx2,则有lnx2lnx1;若x0x1x21,则有g(x1)g(x2),即lnx1lnx2,则有lnx2lnx1,则选项CD错误;综上,答案选ACD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13设z1x2i,z23yi,(x,yR),且z1z256i,则z1z2_.【答案】2210i【考点】复数的简单运算【解析】由题意可知,z1z2x2i3yix3(2y)i56i,所以x35,2y6,解得x2,y8,所以z122i,z238i,所以z1z2(22i)(38i)2210i.14函数f(x)x33x22在区间2,2上的最大值是_

19、.【答案】2【考点】利用函数单调性求最值【解析】由题意可知,f(x)3x26x3x(x2),令f(x)0,则x0或2,所以f(x)在2,0)上单调递增,在0,2上单调递减,且f(2)2,f(2)18,f(0)2,所以在2,2上的最大值是2.15用数字0、1、2、3、4、5可以组成无重复数字且能被5整除的的五位数有_个.(用数字作答)【答案】216【考点】排列组合:整除问题【解析】由题意,有分类计数原理可得:当个位数为0时,其他位数上无要求,则有120个;当个位数为5时,则先从1、2、3、4种选一个数放到万位上,然后再全排中间的三个位数上的数字,则有96个;所以满足题意的五位数有12096216

20、个.16已知f(x)xexe2,g(x)x22x1a,若存在x1R,x2(1,),使得f(x1)g(x2)成立,则实数a的取值范围是_.【答案】(e2,)【考点】函数的成立问题求参数范围【解析】由题意可知,f(x)(x1)ex,令f(x)0,解得x1;f(x)0,解得x1,所以f(x)在(,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,所以在x1处取得最小值,即f(x)minf(1)e2,又g(x)x22x1a(x1)2a,所以g(x)在(1,)上单调递减,所以g(x)maxg(1)a,因为存在x1R,x2(1,),使得f(x1)g(x2)成立,所以f(x)ming(x)max,则e2a,所以实数a的

21、取值范围是(e2,).四、解答题(本大题共6小题,第17题10分,1822题每题12分,共70分)1710件不同厂生产的同类产品:(1)在商品评选会上,有2件商品不能参加评选,要选出4件商品,并排定选出的4件商品的名次,有多少种不同的选法?(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列,且必须将获金质奖章的两件商品放上,有多少种不同的布置方法?【答案】(1)1680种;(2)50400种【考点】两个计数原理与排列组合的应用【解析】(1)件商品,除去不能参加评选的件商品,剩下件,从中选出件进行排列,有(或)(种);(2)分步完成,先将获金质奖章的两件商品布置在个位置中的两个位置上,有种方法,再从剩下的件商品中选出件,布置在剩下的个位置上,有种方法,共有(或)(种)18已知是虚数单位,复数.(1)若为纯虚数,求实数的值;(2)若在复平面上对应的点在直线上,求复数的模.【答案】(1)2 (2)【考点】复数的概念及运算应用【解析】(1)若为纯虚数,则,且,解得实数的值为2;(2)在复平面上对应的点,由条件点在直线上,则,解得则所以19已知函数在处的切线为(1)求实数a,b的值;(2)求函数在上的最大值【答案】(1),(2)【考点】导数的几何意义应用:切线方程问题;利用函数单调性求最值问题【解析】(1)由题意可知切点为,即,即,(2)由(1)可知,当时,

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