多种方法证明勾股定理

1、多种方法证明勾股定理【证法11 课本上的证明方法aaaba 3bbab做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b, 斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图 那样拼成两个正方形。从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相 等。即a2 b2 4ab c2 4 ab ，整理得 a2 b2 c2。【证法22】中国古代数学家邹元治的证明以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，那么每个直角三角形的面积等于12把这四个直A E、B 三 点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上， C、G D三点在一条直线上。v Rt HAE 坐 Rt

2、EBF, / AHE = / BER/ AEH + / AHE = 90o ,/ AEH + / BEF = 90o。/ HEF = 180o 90o = 90o。四边形EFG雇一个边长为c的正方形.它的面积等于c2Rt GDH坐 Rt HAE,/ HGD = / EHA/ HGD + / GHD = 90o ,/ EHA + / GHD = 9Oo又 / GHE = 90o ,/. / DHA = 90o + 90 o = 180o。2 二ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于a b .a2 b2 c2 212 o abc o【证法 三国1时期赵爽的证明OC以a、b为直角边ba

3、,以c为斜边作四个全等的直角三角形, 那么每个直角三角形的面积等于 把这四个直角三角形拼成如下图形1 状。7；abv Rt DAH坐 Rt ABE, / HDA = / EABv / HAD + / HAD = 90o , / EAB + / HAD = 90o , ABCD是一个边长为c的正方 形，它的面积等于c2ov EF = FG =GH =HE = b a , / HEF = 90o o 2 EFGH是一个边长为b a的正方形，它的面积等于b a。 4ab b a 2 c2 o a2 2 b2 c2【证法4】1876年美国总统Garfield 证明以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等

4、的直角三角形，那么每个直角三角形的面积等于 1 o把这两个直角三角形拼成如下图 ab形状，使A E、B三点在一条直线上。CAbE a Bv Rt EAD 坐 Rt CBE, / ADE = / BECv / AED + / ADE = 90o , / AED + / BEC = 90o 。 / DEC = 180o 90o = 90 o o DEC是 一个等腰直角三角形， 它的面积等于1 2。c又 v / DAE2= 90o , / EBC = 90o , AD/ BC ABCD是 一个直角梯形，它的面积等于-lab2.-a b 2 ab , b22c2。今杭州清代数学家项明达的证明做两个全等

5、的直角三角形，设它 们的两条直角边长分别为a、b ba, 斜边长为c。再做一个边长为c的正方 形。把它们拼成如下图的多边形，使 E、A C三点在一条直线上。2 -ab - c2。.皆 b2 c2。22【证法5】今安徽省宣城市宣州区清代数学家梅文鼎的证明 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b， 斜边长为c。把它们拼成如图那样的 一个多边形，使 D E、F在一条直线 上。过C作AC的延长线交DF于点P。v D、E、F在一条直线上，且Rt GEF坐 Rt EBD,./ EGF = / BEDv / EGF + / GEF = 90, ./ BED + / GEF = 90, .

6、/ BEG =180 90o= 90o 又 v AB = BE = EG = GA = c ,.ABEG是一个边长为c的正方形。. / ABC + / CBE = 90o。v Rt ABC 幻 Rt EBD,./ ABC = / EBD. / EBD + / CBE = 90o。 即/ CBD= 90。又 v / BDE = 90o，/ BCP = 90o , BC = BD = a。.BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCB的面积为S,那么a2 b2c2 Sa2【证法6】C1 S 2 -ab,过点Q作QP/ BC交AC于点P。 过点B作BML

7、PQ 垂足为 M 再过点F作FN PQ垂足为Nov / BCA = 90o , QP/ BC / MPC = 9Oo ,v BM 丄 PQ / BMP = 90o , BCPM是一个矩形，即/ MBC = 90o .v / QBM + / MBA = / QBA = 90o , / ABC + / MBA = / MBC = 90o , / QBM = / ABC又 v / BMP = 90o，/ BCA = 90o , BQ = BA = c , Rt BMQ坐 Rt BCA 同理可证Rt QNF坐Rt AEFO从而将问题转化为【证法4】梅文鼎证明。【证法7】古希腊的数学家欧几里得的证明做三

8、个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如下图形状， 使H C、B三点在一条直线上，连结BF、CD 过 C 作 CL丄 DE 交AB于点M交DE于点L. ov AF = AC , AB = AD, / FAB = / GAD FAB 坐 GADv FAB的面积等于la2 , GAD的面积等于矩形ADLMi的面 积的一半， 2 矩形ADLM勺面积二a o同理可证，矩形MLEB的面积=b2 ov正方形ADEB勺面积=矩形ADLM勺面积+矩形MLEB勺面积， c2 a2 b2 ，即 a2 b2 c2 o【证法8】利用相似三角形性质证明如图，在Rt ABC中，设直角边AC BC的长度分别为a、b,斜

9、 边AB的长为c,过点C作CDLAB垂足是D。在 A ADCHA ACB中,v / ADC = / ACB = 90o ,/ CAD = / BAC A ADCs a ACBAD： AC = AC： AB, 即 AC2 AD ? AB。同理可证，A CDBs AACB从而有BC2 bd?ab 二 AC2 BC2 AD DB ?AB AB2，即b C。【证法9】(西周朝代杨作玫的证明)做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(ba),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如 图所示的多边形。过A作AF丄AC AF交GT于F , AF交DT于R。过 B作BP丄AF,垂足为

10、P。过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为 E ,DE交AF于H。v / BAD = 90o，/ PAC = 90o , / DAH = / BAC又 v / DHA = 90o，/ BCA = 90o , AD = AB = c , Rt A DHA坐 Rt A BCA DH = BC = a , AH = AC = b。由作法可知，PBCA是一个矩形， 所以 Rt A APB 坐 Rt A BCA 即 PB = CA = b , AP= a,从而 PH = b a。v Rt A DGT坐 Rt A BCA , Rt A DHA坐 Rt A BCA Rt A DGT坐 Rt A DHA DH

11、= DG = a，/ GDT = / HDA又 v / DGT = 90o，/ DHF = 90o ,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+Z TDH = 90o , DGFH是一个边长为a的正方形 GF = FH = a . TF丄AF, TF = GTGF = b a . TFPB是一个直角梯形，上底TF=b-a,下底BP=b，高FP=a+ (ba)。用数字表示面积的编号如图，那么以c为边长的正方形的面积为c2S1S2S3AS4S5S8S 3S41b=)a ? a b a2S5S8S9 ，-2=1S82S 3S4 babbS1S8把代入，得2c2S1S2 b2S1S8

12、S8S92 1b ab ，2RaA上。用数字表示面积的编号如图v / TBE =/ ABH =90o , / TBH =/ ABE又v / BTH =/ BEA =:90o ,BT = BE=b , Rt HBT 坐 Rt ABE HT = AE =-a 0 GH = GT HT = ba。又v / GHF + / BHT =:90o ,/ DBC + / BHT =:/ TBH + / GHF =/ DBCv DB = EB - ED = ba,/ HGF =/ BDC =90o ,O/ BHT = 90o , Rt HGF坐 Rt BDC 即 务S2 0=b S= S9 b2 a2 02.

13、 220a b c【证法10】今江苏苏州市元和县古代数学家李锐的证明设直角三角形两直角边的长分别为 a、bba,斜边的长为c。做三个边长 分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如 图所示形状，使A、E、G三点在一条直线过Q作QML AG 垂足是 M 由/BAQ = / BEA = 90o，可知 /ABE=/ QAM 而 AB = AQ = c，所以 Rt ABE 幻 Rt QAM。又 Rt HBT 坐 Rt ABE 所以 Rt HBT 坐 Rt QAM 即。由 Rt ABE 坐 Rt QAM 又得 QM = AE = a：/5AQM = / BAEv / AQM + / FQM = 90o，/

14、BAE + / CAR = 90o ,/ AQM = / BAE / FQM = / CAR又T / QMF = / ARC = 90o , QM = AR = a,. cS1S2S3S4S5 :2a S1 S6 ?又S7S2 ，S8S5，S4S6 ， 22S1S6S3S7S8ab=S1S4S3S2S5=c，即2 ab22 c0 Rt QMF坐 Rt ARC 即 S Se【证法111 利用切割线定理证明b2 S3S7=AB BE AB BDAB?DCAD?BCAC?BD ,v AB =DC =c ,AD =BC = a ,AC =BD =b , AB2BC2AC2，即c2 a2 b2 a2 b

15、2 c2。【证法131 作直角三角形的内切圆证明DajAb在Rt ABC中，设直角边 BC = a, AC = b，斜边AB = c。如图， 以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于 D E,那么BD= BE = BC = a。因为/ BCA = 90o，点 C在O B上，所以 AC是O B 的 切线。由切割线定理，得2AC2 AE ? AD=c a c a=c2 a2即 b2 c2 a2 , a2 b2 c2。【证法121 利用多列米定理证明在Rt ABC中，设直角边 BC= a, AC= b,斜边AB = c 如图。 过点A作AD/ CB过点B作BD/ CA贝S ACBL为矩形，

16、矩形ACBD 接于一个圆。根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对 边乘积之和，有在 Rt ABC中，设直角边 BC = a, AC = b，斜边 AB = c。作 Rt ABC勺内切圆。0,切点分别为D E、F 如图,设。O的半径为rv AE = AF , BF = BD, CD = CE,AC BC AB AE CEBD CDAF BFCECD = r +r = 2r,2r ,2r2c。2r2c2 2b 2ab 4 rrcS ABC2abab ，24S ABC S ABC SAOBS BOC4 rrc, 24 rrc.a2b2【证法14】2=1 2 r =24S ABC2ab2ab

17、 2abr21Scrrc2AOC 1:ar2a22brc2利用反证法证明a2b2c2如图，在Rt ABC中 ,设直角边AC BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c ,过点C作CDL AB垂足是Do 假设a2 b2 c2 ,即假设AC2 BC2 AB2 ,那么由AB2 AB?AB=AB AD BD =AB?AD AB ? BD可知 AC2 AB? AD ,或者 BC2 AB?BD.即 AD : AO AC: AB,或 者 BD : BO BC : AB在厶 ADCffiA ACB中 ,v / A = / A ,.假设 AD : AO AC: AB,那么 / ADO / ACB在厶 CDBffi

18、A ACB中 ,v / B = / B,.假设 BD : BO BC: AB 那么 / CD字/ ACB又 v / ACB = 90o ,./ ADC 90o , / CDB 90o。这与作法CDL AB矛盾.所以，AC2 BC2 AB2的假设不能成立 a2 b2 c2 o【证法15】英国古代数学家辛卜松的证明ab12 ab2abbaaabbbabab1_才-ab / -ab2 /2 2 c1 ab/Xab22a设直角三角形两直角边的长分别为 a、b,斜边的长为c。作边长 是a+b的正方形ABCD把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，那么正方形ABCD勺面积为 分成上方右图所示的几个局部,;把正方形ABCD划那么正方形92 ABCD的面积为2Dbc2b ba,斜边的长为cbFaG、23ba14 cc 7c5=2ab二 2 a2 b2 2ab 2ab c2 /. a2 b2a b 4 ab c【证法16】2中国清朝数学家陈杰的证明 设直角三角形两直角边的长分别为 a、 做两个边长分别为a、b的正方形ba, 把它们拼成如下图形状，使 E、H、M三 点在一条直线上。用数字表示面积的编号 如图。在EH = b上截取ED = a，连结DA DC 贝卩 AD = c。v E