运筹学图与网络分析ppt课件

1、图与网络分析图与网络分析 (Graph Theory and Network Analysis)图与网络的根本知识图与网络的根本知识最短路问题最短路问题树及最小树问题树及最小树问题最大流问题最大流问题哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡现名加里宁格勒是欧洲一个城哥尼斯堡现名加里宁格勒是欧洲一个城市，市，PregeiPregei河把该城分成两部分，河中有两个小河把该城分成两部分，河中有两个小岛，十八世纪时，河两边及小岛之间共有七座桥，岛，十八世纪时，河两边及小岛之间共有七座桥，当时人们提出这样的问题：有没有方法从某处当时人们提出这样的问题：有没有方法从某处如如A A出发，经过各桥一次且仅一次

2、最后回到出发，经过各桥一次且仅一次最后回到原地呢？原地呢？BDACABCD哥尼斯堡七空桥哥尼斯堡七空桥一笔画问题一笔画问题引论引论 图的用途图的用途 某公司的 组织机构设置图总公司总公司分公司分公司工厂或工厂或办事处办事处一、一、 图与网络的根本知识图与网络的根本知识一、图与网络的根本概念一、图与网络的根本概念 EADCB 1、一个图是由点和连线组成。连线可带箭头，也可、一个图是由点和连线组成。连线可带箭头，也可不带，前者叫弧，后者叫边不带，前者叫弧，后者叫边v1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10例例 654321,vvvvvvV ,10987654321eeeee

3、eeeeeE， ,211vve ,212vve ,323vve ,434vve ,315vve ,536vve ,537vve ,658vve ,669vve ,6110vve 图图1一个图是由点集一个图是由点集 和和 中元素的无序对的一个中元素的无序对的一个集合集合 构成的二元组，记为构成的二元组，记为G =(VG =(V，E )E )，其中，其中V V中的中的元素元素 叫做顶点，叫做顶点，V V表示图表示图G G 的点集合；的点集合；E E中的元素中的元素 叫做叫做边，边，E E 表示图表示图G G的边集合。的边集合。keE jvkeV jvV 2 2、不带箭头的连线叫做边。假设一个图是由

4、点和边所构成的，、不带箭头的连线叫做边。假设一个图是由点和边所构成的，那么称其为无向图，记作那么称其为无向图，记作G = (VG = (V，E)E)，衔接点的边记作，衔接点的边记作vi , vjvi , vj，或者或者vj , vivj , vi。 3 3、假设点与点之间的连线有方向，称为弧。假设一个图是由、假设点与点之间的连线有方向，称为弧。假设一个图是由点和弧所构成的，那么称它为有向图，记作点和弧所构成的，那么称它为有向图，记作D=(V, A)D=(V, A)，其中，其中V V 表示表示有向图有向图D D 的点集合，的点集合，A A 表示有向图表示有向图D D 的弧集合。一条方向从的弧集合

5、。一条方向从vivi指向指向vj vj 的弧，记作的弧，记作(vi , vj)(vi , vj)。v4v6v1v2v3v5V = v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 ，A = (v1 , v3 ) , (v2 , v1) , (v2 , v3 ) ,(v2 , v5 ) , (v3 , v5 ) , (v4 , v5 ) , (v5 , v4 ) , (v5 , v6 ) 图图2 4 4、一条边的两个端点是一样的、一条边的两个端点是一样的, ,那么称这条边是环。那么称这条边是环。 5 5、假设两个端点之间有两条以上的边，那么称它们为、假设两个端点之间有两条以上的边，那么称它

6、们为多重边。多重边。 6 6、不含环和多重边的图称为简单图；有多重边的图称、不含环和多重边的图称为简单图；有多重边的图称为多重图。为多重图。 7、每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为完全图。、每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为完全图。 有向完全图那么是指恣意两个顶点之间有且仅有一条有向完全图那么是指恣意两个顶点之间有且仅有一条有向边的简单图。有向边的简单图。v1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10 次为零的点称为弧立点，次为次为零的点称为弧立点，次为1 1的点称为悬挂点。悬挂的点称为悬挂点。悬挂点的关联边称为悬挂边。次为奇数的点称为奇点，次为偶点的关联边称为悬挂

7、边。次为奇数的点称为奇点，次为偶数的点称为偶点。数的点称为偶点。 8 8、以点、以点v v为端点的边的个数称为点为端点的边的个数称为点v v 的次，记作的次，记作 。)(vd图中图中 d(v1)= 4 d(v1)= 4，d(v6)= 4d(v6)= 4环计两次环计两次 定理定理1 1 一切顶点次数之和等于一切边数的一切顶点次数之和等于一切边数的2 2倍。倍。 定理定理2 2 在任一图中，奇点的个数必为偶数。在任一图中，奇点的个数必为偶数。 一切顶点的入次之和等于一切顶点的出次之和。一切顶点的入次之和等于一切顶点的出次之和。 有向图中，以有向图中，以 vi vi 为始点的边数称为点为始点的边数称

8、为点vivi的出次，用的出次，用 表示表示 ；以；以 vi vi 为终点的边数称为点为终点的边数称为点vi vi 的入次，的入次，用用 表示；表示；vi vi 点的出次和入次之和就是该点的次。点的出次和入次之和就是该点的次。)(ivd )(ivd v1v2v3v4v5v6v7e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11(a)e5e7v1v2v5v6v7e1e6e8(b)子图子图v1v2v3v4v5v6v7e1e6e7e9e10e11(c)支撑子图支撑子图在实践运用中，给定图中每条边在实践运用中，给定图中每条边 ，对应，对应一个数一个数 ，称之为，称之为 “权。通常把这种赋权的图称权。通常把

9、这种赋权的图称为网络。为网络。 ),(jivvjiw 10 10、由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列、由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列称为链。称为链。 如如:v0 :v0 ，e1e1，v1v1，e2e2，v2v2，e3 e3 ，v3 ,vn-1 ,en v3 ,vn-1 ,en ，vnvn， e3v1v2v3v4v5v6e7e8e1e2e4e5e6e9e10 11 11、图中恣意两点之间均至少有一条链相连，那么称、图中恣意两点之间均至少有一条链相连，那么称此图为连通图。此图为连通图。 其链长为其链长为 n n ，其中，其中 v0 v0 ，vn vn 分别称为链的起点和终分别称

10、为链的起点和终点点 。所含的点、边均不一样的链称为初等链。起点和终。所含的点、边均不一样的链称为初等链。起点和终点是同一个点的链称为圈。点是同一个点的链称为圈。二、二、 图的矩阵表示图的矩阵表示对于网络赋权图对于网络赋权图G=G=V V，E E，其中边，其中边有权有权 ，构造矩阵，构造矩阵 ，其中：，其中：称矩阵称矩阵A A为网络为网络G G的权矩阵。的权矩阵。),(jivvjiw EvvEvvwajijijiji),(0),(nnjiaA )(nnjiaA )( EvvEvvajijiji),(0),(1 设图设图G=G=V V，E E中顶点的个数为中顶点的个数为n n，构造一个，构造一个矩

11、阵矩阵 ，其中：，其中： 称矩阵称矩阵A A为网络为网络G G的邻接矩阵。的邻接矩阵。 654321654321 010101101001010111101010001101111010vvvvvvvvvvvvB 例例权矩阵为：权矩阵为：邻接矩阵为：邻接矩阵为：v5v1v2v3v4v64332256437654321654321 030303302004020576305020007204346040vvvvvvvvvvvvA 二、二、 树及最小树问题树及最小树问题 知有六个城市，它们之间知有六个城市，它们之间 要架设线，要求恣意两个城要架设线，要求恣意两个城市均可以相互通话，并且线的总长度最

12、短。市均可以相互通话，并且线的总长度最短。 v1v2v3v4v5v6 1 1、一个连通的无圈的无向图叫做树。、一个连通的无圈的无向图叫做树。 树中次为树中次为1 1的点称为树叶，次大于的点称为树叶，次大于1 1的点称为分支点。的点称为分支点。 树树 的性质：的性质： 1 1数必连通，但无回路圈。数必连通，但无回路圈。 2 2n n 个顶点的树必有个顶点的树必有n-1 n-1 条边。条边。 3 3树树 中恣意两个顶点之间，恰有且仅有一条链初中恣意两个顶点之间，恰有且仅有一条链初等链。等链。 4 4树树 连通，但去掉任一条边，连通，但去掉任一条边， 必变为不连通。必变为不连通。 5 5树树 无回路

13、圈，但不相邻的两个点之间加一条无回路圈，但不相邻的两个点之间加一条边，恰得到一个回路圈。边，恰得到一个回路圈。v1v2v3v4v5v6 2 2、 假设图假设图G=(V , E )G=(V , E )的生成子图是一个树的生成子图是一个树, ,那么称那么称该树该树 是是G G 的一个生成树支撑树，或简称为图的一个生成树支撑树，或简称为图G G 的树。的树。图图G G中属于生成树的边称为树枝，不在生成树中的边称为中属于生成树的边称为树枝，不在生成树中的边称为弦。弦。一个图一个图G G 有生成树的充要条件是有生成树的充要条件是G G 是连通图。是连通图。 v1v2v3v4v5v1v2v3v4v5一破圈

14、法：在图中任选一个圈，从这个圈中去一破圈法：在图中任选一个圈，从这个圈中去掉一条边。在余下的图中反复这个步骤，直到得到掉一条边。在余下的图中反复这个步骤，直到得到一不含圈的图为止。一不含圈的图为止。用破圈法求出以下图的一个生成树。用破圈法求出以下图的一个生成树。 v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e8v1v2v3v4v5e2e4e6e8v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e8二避圈法：开场选一条边，以后每一步中，总从二避圈法：开场选一条边，以后每一步中，总从未被选取的边中选出一条与已选边不构成圈的边，反未被选取的边中选出一条与已选边不构成圈的边，反复这个过程，直到不能

15、进展为止。复这个过程，直到不能进展为止。v1v2v3v4v5v6 v1v3v1v3v2v1v3v2v5v6v1v3v2v5v6v4v1v3v2v5根据破圈法和避圈法两种方式得到了根据破圈法和避圈法两种方式得到了图的两个不同的生成树，由此可以看到连图的两个不同的生成树，由此可以看到连通图的生成树不是独一的。通图的生成树不是独一的。3 3、最小生成树问题、最小生成树问题 一棵生成树一切树枝上权的总和为这个生成树一棵生成树一切树枝上权的总和为这个生成树的权。具有最小权的生成树，称为最小生成树。的权。具有最小权的生成树，称为最小生成树。求赋权图求赋权图G G的最小支撑树的方法也有两种，的最小支撑树的方

16、法也有两种，“破破圈法和圈法和“避圈法。避圈法。 破圈法：在原图中，破圈法：在原图中，任选一个圈，从圈中任选一个圈，从圈中去掉权最大的一条边。去掉权最大的一条边。在余下的图中反复这在余下的图中反复这个步骤，直到得到一个步骤，直到得到一不含圈的图为止。不含圈的图为止。655172344v1v2v3v4v5v6总造价总造价=1+4+9+3+17+23=57=1+4+9+3+17+23=57v1v2v3v4v514231352 避圈法：开场选一条权最小的边，以后每一避圈法：开场选一条权最小的边，以后每一步中，总从未被选取的边中选一条权尽能够小，步中，总从未被选取的边中选一条权尽能够小，且与已选边不构

17、成圈的边。且与已选边不构成圈的边。 某六个城市之间的道路网如图某六个城市之间的道路网如图 所示，要求沿着知长所示，要求沿着知长度的道路结合六个城市的线网，使线的总长度最短。度的道路结合六个城市的线网，使线的总长度最短。 v1v2v3v4v5v66515723445v1v2v3v4v5v61234最短路的普通提法为：设最短路的普通提法为：设 为连通图，为连通图，图中各边图中各边 有权有权 表示表示 之间没之间没有边，有边， 为图中恣意两点，求一条路为图中恣意两点，求一条路 ，使它，使它从从 到到 的一切路中总权最短。即：的一切路中总权最短。即： 最最小。小。),(EVG j il jiltsvv

18、 , sv),(jivvjivv ,tv ),()(jivvjilL( (一一) )、狄克斯彻、狄克斯彻(Dijkstra)(Dijkstra)算法算法适用于适用于wij0wij0，给出了从，给出了从vsvs到恣意一个点到恣意一个点vjvj的最短的最短路。路。三三 、最短路问题、最短路问题算法步骤：算法步骤：1.1.给始点给始点vsvs以以P P标号标号 ，这表示从，这表示从vsvs到到vsvs的的最短间隔为最短间隔为0 0，其他节点均给，其他节点均给T T标号，标号， 。2.2.设节点设节点vivi为刚得到为刚得到P P标号的点，思索点标号的点，思索点vjvj，其中，其中 ，且，且vjvj为

19、为T T标号。对标号。对vjvj的的T T标号进展如下修标号进展如下修正：正：3.3.比较一切具有比较一切具有T T标号的节点，把最小者改为标号的节点，把最小者改为P P标标号，即：号，即：当存在两个以上最小者时，可同时改为当存在两个以上最小者时，可同时改为P P标号。假标号。假设全部节点均为设全部节点均为P P标号那么停顿，否那么用标号那么停顿，否那么用 替代替代vivi，前往步骤，前往步骤2 2。0)( svP )(ivTEvvji ),()(, )(min)(ijijjlvPvTvT )(min)(iivTvP iv例一：用例一：用DijkstraDijkstra算法求以下图从算法求以下

20、图从v1v1到到v6v6的最短的最短路。路。 v1v2v3v4v6v5352242421 解：解：1首先给首先给v1以以P标号，给其他一切点标号，给其他一切点T标号。标号。0)(1 vP)6,3,2()( ivTi2 23 3330,min)(, )(min)(12122 lvPvTvT550,min)(, )(min)(13133 lvPvTvT3)(2 vP4 4413,5min)(, )(min)(23233 lvPvTvT523,min)(, )(min)(24244 lvPvTvT523,min)(, )(min)(25255 lvPvTvT4)(3 vP5 56 6544,5min

21、)(, )(min)(35355lvPvTvT5)(4 vP5)(5 vP945,min)(, )(min)(46466 lvPvTvT725,min)(, )(min)(56566 lvPvTvT7)(6 vP7 78 89 91010反向追踪得反向追踪得v1v1到到v6v6的最短路为：的最短路为：6521vvvvv1v2v3v4v6v5352242421二、逐次逼近法二、逐次逼近法首先设任一点首先设任一点vivi到任一点到任一点vjvj都有一条弧。都有一条弧。显然，从显然，从v1v1到到vjvj的最短路是从的最短路是从v1v1出发，沿着这条路到出发，沿着这条路到某个点某个点vivi再沿弧再

22、沿弧(vi,vj)(vi,vj)到到vjvj。那么。那么v1v1到到vivi的这条路的这条路必然也是必然也是v1v1到到vivi的一切路中的最短路。设的一切路中的最短路。设P1jP1j表示从表示从v1v1到到vjvj的最短路长，的最短路长，P1iP1i表示从表示从v1v1到到vivi的最短路长，的最短路长，那么有以下方程：那么有以下方程： 开场时，令开场时，令 即用即用v1v1到到vjvj的直接间隔做初始解。的直接间隔做初始解。min11jiiijlPP ),2,1(1)1(1njlPjj 从第二步起，运用递推公式：求 ，当进展到第t步，假设出现那么停顿计算， 即为v1到各点的最短路长。）（n

23、klPPjikiikj,3,2min)1(1)(1 )(1kjP）（njPPtjtj,2,1)1(1)(1 ）（njPtj,2,1)(1 例二、例二、 18v1v2v3v4v52635135211211v6v7v83766 0-5 -3 v8-5-55 0 -1 v7-1-1-1 7101 v6-3-31 0 -1 v5-7-7-73 2 0 8v4-2-2-2-2 1 -50-3 v3-5-5-5-1 2 06v20000 3-2-10v1P(4)P(3)P(2)P(1)v8v7v6v5v4v3v2v1求图中求图中v1v1到到各点的最短路各点的最短路 18v1v2v3v4v526351352

24、11211v6v7v8370，0 v3 ，-5 v1 ，-2 v3 ，-7 v2 ，-3 v4 ，-5 v3 ，-1 v6 ，6例、求：例、求：5 5年内，哪些年初购置新设备，使年内，哪些年初购置新设备，使5 5年内的总费用最年内的总费用最小。小。 第第i i年度年度 1 2 3 4 1 2 3 4 5 5购置费购置费 11 11 12 12 13设备役龄设备役龄0-1 1-2 2-3 3-4 4-5维修费用维修费用 5 6 8 11 5 6 8 11 1818解：解：1分析：可行的购置方案更新方案是分析：可行的购置方案更新方案是很多的，很多的， 如：如： 1 每年购置一台新的，那么对应的费用

25、为：每年购置一台新的，那么对应的费用为： 11+11+12+12+13 +5+5+5+5+5 = 84 2 )第一年购置新的，不断用到第五年年底，第一年购置新的，不断用到第五年年底，那么总费用为：那么总费用为： 11+5+6+8+11+18 = 59 显然不同的方案对应不同的费用。显然不同的方案对应不同的费用。 2 2方法：将此问题用一个赋权有向图来描画，然后求方法：将此问题用一个赋权有向图来描画，然后求这个赋权有向图的最短路。这个赋权有向图的最短路。 求解步骤：求解步骤： 1 1画赋权有向图：画赋权有向图： 设设 Vi Vi 表示第表示第i i年初，年初，(Vi ,Vj )(Vi ,Vj )

26、表示第表示第i i 年初购买年初购买新设备用到第新设备用到第j j年初年初j-1j-1年底，而年底，而Wi j Wi j 表示相应费表示相应费用，那么用，那么5 5年的一个更新方案相当于从年的一个更新方案相当于从V1 V1 到到V6V6的一条路。的一条路。 2 2求解求解 标号法标号法 W12 =11+5=16W13 =11+5+6=22W14 =11+5+6+8=30W15 =11+5+6+8+11=41W16 =11+5+6+8+11+18=59 W23 =11+5=16 W24 =11+5+6=22W 2 5 = 1 1 + 5 + 6 + 8 = 3 0 W 2 6 =11+5+6+8

27、+11=41 W45 =12+5=17 W46 =12+5+6=23W56 =13+5=18 W34 =12+5=17W35 =12+5+6=23W36 =12+5+6+8=31 四、四、 最大流问题最大流问题一一 根本概念根本概念1、设一个赋权有向图、设一个赋权有向图G=V, E,在在V中指定一中指定一个发点个发点vs和一个收点和一个收点vt ,其它的点叫做中间点。对其它的点叫做中间点。对于于D中的每一个弧中的每一个弧vi , vjE ,都有一个非负数都有一个非负数cij,叫做弧的容量。我们把这样的图叫做弧的容量。我们把这样的图G叫做容量网叫做容量网络，简称网络，记做络，简称网络，记做G=V

28、，E，C。网络网络G上的流，是指定义在弧集合上的流，是指定义在弧集合E上的一个函上的一个函数数其中其中f(vi ,vj) =fij 叫做弧叫做弧(vi，vj)上的流量。上的流量。 ),(jijifvvff 2、称满足以下条件的流为可行流：、称满足以下条件的流为可行流：1容量条件：对于每一个弧容量条件：对于每一个弧vi ,vjE有有 0 fij cij 。 2平衡条件：平衡条件：对于发点对于发点vs，有，有对于收点对于收点vt ，有，有对于中间点，有对于中间点，有 EvvjsjsWf),(WfEvvt jtj ),( EvvEvvi jjijiijff),(),(可行流中可行流中 fijcij

29、的弧叫做饱和弧，的弧叫做饱和弧，fijcij的弧叫做非饱和弧。的弧叫做非饱和弧。vsv1v2v4v3vt374556378S),(2vvSs ),(431tvvvvS ),(),(, ),( , ),(),(4232211vvvvvvvvSSs 18567),(23241 lllSSCs 3、容量网络G =V，E，C，vs为始点，vt为终点。假设把V分成两个非空集合 使 ，那么一切一点属于 ，而另一点属于 的弧的集合，称为由 决议的割集,记作 。割集 中一切始点在 ，终点在 的弧的容量之和，称为这个割集的容量，记为 。 SS ,SvSvts,S),(SS),(SS),(SSCSSSS关于最大流

30、问题的定理：关于最大流问题的定理：最大流最小割定理：任一网络中，最大流最小割定理：任一网络中，最大流的流量等于最小割集的容量。最大流的流量等于最小割集的容量。 4、容量网络、容量网络G，假设，假设 为网络中从为网络中从vs到到vt的一条链，给的一条链，给 定向为从定向为从vs到到vt， 上的弧凡上的弧凡与与 方向一样的称为前向弧，凡与方向一样的称为前向弧，凡与 方向相反方向相反的称为后向弧，其集合分别用的称为后向弧，其集合分别用 和和 表示。表示。f 是一个可行流，假设满足：是一个可行流，假设满足： 那么称那么称 为从为从vs到到vt 的关于的关于f 的一条增广的一条增广链。链。 ),(0),(0jijijijijijivvcfvvcf 推论推论 可行流可行流f 是最大流的充分必要条件是不存是最大流的充分必要条件是不存在从在从vs到到vt 的关于的关于f 的一条可增广链。的一条可增广链。 2v1v3v4v5v6v7v 13 (5)9