演示文稿下载播放-曲线的凹凸与拐点ppt课件

1、曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸曲线的拐点一.函数的凹凸性 前面我们运用导数判别了函数图形上升和下降的规律，但这还不能完全反映它的变化规律如图所示， 的图形在区间 内虽然不断上升，但却有着不同的弯曲情况.)(xfy ),(ba 定义3.2 设函数 在区间 内，曲线弧位于其恣意一点切线的上方，那么称曲线在 内是凹的；设函数在区间 内，曲线弧位于其恣意一点切线的下方，那么称曲线在 内是凸的.)(xfy ),(ba),(ba),(ba),(ba如左图所示的图形在 是凹的.),(ba如右图所示的图形在 内是凸的),(ba 由前面两图可以看出，假设曲线是凹的，曲线的切线斜率 随着 的增大而逐渐增大，即函数 是

2、单调添加的假设曲线是凸的，曲线的切线斜率 随着 的增大而逐渐减小，即函数 是单调递减的而 的atanx)(xf atanx)(xf )(xf 单调性可由 的符号决议，故曲线的凹凸性与的 符号有关 定理3.8 设函数 在区间内二阶导数 存在 (1)假设在 内 ，那么曲线 在 内是凹的；)(xf )(xfy )(xf )(xfy )(xf ),(ba( )0fx)(xfy ),(ba (2)假设在 内 ，那么曲线 在 内是凸的 ),(ba( )0fx)(xfy ),(ba例1 判别曲线 的凹凸性解 函数 的定义域为 ， ， ， 在 上， ，所以曲线 在 内是凹的如图.xey xey ,xey xe

3、y ,0 yxey ,例2 判别曲线 的凹凸性 解 函数 的定义域为 , , ; 当 时 ， 故曲 线在 内是凸的. 当 时 ，故曲线在 内是凹的.点 是曲线由凸变凹的分界点如下图. 3xy 3xy ,23xy xy6 0 x0y0 ,0 x0y , 0)0 , 0(前往二.曲线的拐点 定义3.3 延续曲线上凹凸的分界点称为这条曲线的拐点 由拐点的定义可知，拐点是曲线凹凸的分界 点，因此，在拐点左右近旁 必然异号，而在 拐点处 或 不存在因此我们可以利 用二阶导数 的符号来判别曲线的拐点)(xf ( )0fx)(xf )(xf 断定曲线拐点的步骤为: (1)确定函数 的定义域； (2)求出 ，

4、解出使 和 不 存在的一切点 ； (3)对解出的每一个点 ，调查 在 左右近旁的符号，假设 的符号相反， 那么 就是拐点；假设 的符 号一样，那么 就不是拐点)(xfy )(xf )(xf ( )0fx0 x0 x)(xf 0 x)(xf )(xf )(,(00 xfx)(,(00 xfx 例3 判别曲线 的凹凸性， 并求其拐点 解 (1)所求函数的定义域为 ； (2) (3) 由 ，解得: (4) 列表判别如下1234xxy,6423xxy);1(1212122 xxxxy0 y. 1, 021xx 拐点 拐点xy y0 ,) 1 , 0(, 11000) 1 , 0()0 , 1 (表中的符号“ 、“ 分别表示曲线是“凹、“凸的. 由上表可知，曲线在区间 和 是凹的，在区间 是凸的 曲线拐点为 0 , 1) 1 , 0() 1 , 0(和)0 , 1 ( 例4 判别曲线 的凹凸性，并求其拐点 解 (1)所求函数的定义域为 ； (2) ， ； (3)令 ，解得 ； (4)列表判别如下xxey,)1 (xeyx)2( xeyx0y 2x 拐点xy y 2 ,2, 2)2 , 2(2e0 例5 判别曲线 能否有拐点? 解 (1)函数的定义域为 ； (2) ； (3)令 ，解得 ；