6上交材料力学弯曲应力

1、材料力学第六章第六章 弯曲应力弯曲应力材料力学一、纯弯曲时梁横截面上的正应力一、纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学火车车轮轴火车车轮轴 LaaFF弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学FFa(-)M-图图纯弯曲纯弯曲梁弯曲变形时，梁弯曲变形时，横截面上只有弯矩而无剪横截面上只有弯矩而无剪力（力（ ）。）。0, 0QFM0, 0QFM横力弯曲横力弯曲梁弯曲变形梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又时，横截面上既有弯矩又有剪力（有剪力（ ）。）。纯弯曲纯弯曲横力横力弯曲弯曲横力横力弯曲弯曲LaaFF图QF(+)(-)-F弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力

2、纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学长度保持长度保持不变的纵不变的纵向纤维向纤维凸边伸长凸边伸长凹边缩短凹边缩短中性层中性层弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学（2）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。 （3）各纵向线段弯成弧线，且部分纵向线段伸长，部分纵）各纵向线段弯成弧线，且部分纵向线段伸长，部分纵 向线段缩短。向线段缩短。 （1）各横向线相对转过了一个角度）各横向线相对转过了一个角度, 仍保持为直线。仍保持为直线。 (1)(1)平面截面假设平面截面假设横截面变形后保持为平面，只是绕某个轴横截面变形后保持为平面，只是绕某

3、个轴旋转了一角度。旋转了一角度。（2 2）纵向纤维假设）纵向纤维假设梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。维之间无挤压。中性层与横截面的交线中性层与横截面的交线中性轴中性轴弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学2.2.理论分析理论分析（1 1）变形分布规律）变形分布规律M M NA C D x y A B Compression Tension No Stress Neutral Axis 中性轴中性轴 dxyM M A B C D y d o曲率中心曲率中心 : :中性层的中性层的曲率半径，曲率半径，y:

4、任意纵向纤任意纵向纤维至维至中性层的中性层的距离距离中性层中性层弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学所以纵向纤维所以纵向纤维CD的应变为的应变为:CDCDxyddd)(ddyy横截面上距中性轴为横截面上距中性轴为y y 处的轴向变形规律。处的轴向变形规律。曲率曲率),(1);(则则曲率曲率),(1);(则则.,1yC当当；时0,0y.,maxmax时yy与实验结果相符。与实验结果相符。(a)纵向纤维纵向纤维CD:变形前变形前 xABCDdd变形后变形后 DC d)(y弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学（2 2

5、）应力分布规律）应力分布规律在线弹性范围内，应用胡克定律在线弹性范围内，应用胡克定律(b)EyE对一定材料，对一定材料，E=C； 对一定截面，对一定截面，.1Cy横截面上某点处的横截面上某点处的应力与此点距中性轴的应力与此点距中性轴的距离距离y y成比例。成比例。Mx y y NA Neutral Axis maxmax_弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学x z y y dA M Area, A （3 3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式由由 得得0 xF将将(b)(b)式代入，得式代入，得0

6、dAAyE0zSE0zS因此因此z z轴通过截面形心轴通过截面形心，即，即中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。AdA=0弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学z y x y y NA Neutral Axis Centroid 因此因此z z轴通过截面形心轴通过截面形心，即，即中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学静力平衡条件静力平衡条件, 0yF, 0zF0 xM自动满足。自动满足。考虑平衡条件考虑平衡条件0y

7、MzAMAy)d(AAyzEd0d AAyzE0yzIyy、z z轴为截面的形心主惯性轴轴为截面的形心主惯性轴(d)x z y ydA M Area, A 弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学 对于实心截面，若截面无对称轴，要使梁产生平面弯曲，对于实心截面，若截面无对称轴，要使梁产生平面弯曲，亦必须满足亦必须满足 。即。即y y、z z轴为截面的形心主惯性轴。轴为截面的形心主惯性轴。所以所以只要外力作用在形心主惯性平面内同样可产生平面弯曲。只要外力作用在形心主惯性平面内同样可产生平面弯曲。0yzIx z y y dA M Area, A 弯曲应力弯曲应

8、力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学考虑平衡条件考虑平衡条件MMzyAMAz)d(AAyEd2MAyEAd2MIEzzIzI为截面对中性轴的惯性矩。为截面对中性轴的惯性矩。(e)x z y ydA M Area, A 弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学可得可得挠曲轴的曲率方程挠曲轴的曲率方程：zEIM1 为常数，挠取轴为常数，挠取轴是一条圆弧线是一条圆弧线zEI抗弯刚度抗弯刚度。正应力的计算公式为正应力的计算公式为zIMy横截面上最大正应力为横截面上最大正应力为zIMymaxmaxmax/ yIMzzWMmaxyIWzz截

9、面的截面的抗弯截面系数，抗弯截面系数，反映了截面反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响。的几何形状、尺寸对强度的影响。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学例例6-1 火车车轮轴承受轮载为火车车轮轴承受轮载为F=20 kN，已知轴的直径为，已知轴的直径为d = 55 mm, 试求轴中心处的最大弯曲应力。在轴中心处的最大弯曲应力试求轴中心处的最大弯曲应力。在轴中心处的最大弯曲应力 相同的条件下，将实心轴改成空心轴，空心轴内外径比为相同的条件下，将实心轴改成空心轴，空心轴内外径比为0.6。 求空心轴和实心轴的重量比。求空心轴和实心轴的重量比。L=800a=1

10、00aFFzdd1zDFa(-)M-图图弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学讨论：讨论：从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的高从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的高:宽宽=？才能最有效？才能最有效利用材料？利用材料？ bh弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学zIMyzEIM1适用范围：适用范围：(1) (1) 平面弯曲；平面弯曲； （2 2）纯弯曲；）纯弯曲；(3)(3)小变形小变形在弹性变形范围内；在弹性变形范围内；(4)(4)梁材料均匀。梁材料均匀。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正

11、应力材料力学（平面截面假设仍然适用）（平面截面假设仍然适用）弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面系数：矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面系数：zz 竖放：竖放：,1213bhIz,1213hbIz261bhWzbhhb261hbWz平放：平放：若若hb, 则则 。zzWW 弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力材料力学zd,644dIz,323dWzdzD)(6444dDIz)1 (6444D)(Dd)1 (3243DWz弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁

12、横截面上的正应力材料力学二、横力弯曲时梁的正应力二、横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件正应力强度条件纯弯曲纯弯曲横力横力弯曲弯曲横力横力弯曲弯曲LaaFFF图QF(+)(-)-FFa(-)M-图图材料力学横力弯曲横力弯曲横截面翘曲横截面翘曲平面假设不成立平面假设不成立l/h 比较大时，误差很小，比较大时，误差很小， 能满足工程需要能满足工程需要由由纯弯曲纯弯曲推导得到的结果可推广到推导得到的结果可推广到横力弯曲横力弯曲的梁：的梁：(b) (b) 对对R/ /h55的小曲率梁，可使用直梁公式。的小曲率梁，可使用直梁公式。(a) 横力弯曲的细长梁，即梁的宽高比横力弯曲的细长梁，即梁的宽高比: :

13、L/ /h55时，时， 其误差不大；其误差不大；Rh弯曲应力弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件正应力强度条件材料力学非纯弯曲时的挠曲轴的曲率方程为：非纯弯曲时的挠曲轴的曲率方程为：EIxMx)()(1正应力计算公式为正应力计算公式为yIxMx)()(弯曲应力弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件正应力强度条件材料力学弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件：maxmaxzWM可解决三方面问题：可解决三方面问题：（1 1）强度校核强度校核，即已知，即已知 检验梁是否安全；检验梁是否安全；, ,maxzWM（2 2）设计截面设计截面，即已知

14、，即已知 可由可由 确定确定 截面的尺寸；截面的尺寸；, ,maxMmaxMWz（3 3）求许可载荷求许可载荷，即已知，即已知 可由可由 确定。确定。, ,ZWmaxzWM弯曲应力弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件正应力强度条件材料力学图M例例6-2简易吊车，简易吊车，F=68 kN，作用在梁的中间截面上，作用在梁的中间截面上, l = 9.5 m, 40c 型工字钢型工字钢 的自重为的自重为q， =140MPa, 校核安全性校核安全性.l=9.5mABqF Fl/4 NoImageql2/8弯曲应力弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力横力弯曲时梁的正应力 正应力强度

15、条件正应力强度条件材料力学AB2m1m3mP=20kNECDq=10kN/m20030200yCzzcyAyFByF约束力：约束力：,kN30AyF,kN10ByF30cm75.15Cy4cm6013zI例例6-3 铸铁梁的截面为铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力字形，受力如图。已知材料许用拉应力为为 ，许用压应力为，许用压应力为 。试校核梁的正应。试校核梁的正应力强度。梁的截面倒置，情况又如何？力强度。梁的截面倒置，情况又如何？MPa100MPa40弯曲应力弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件正应力强度条件材料力学20030200yczzcy解：

16、解：（1 1）确定中性轴的位置）确定中性轴的位置CzyAS2320102035 .21203ASyzCcm75.154cm601323)1075.15(203203121zI23 5 . 1)75.1520(320320121弯曲应力弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件正应力强度条件材料力学AB2m1m3mP=20kNCDq=10kN/m（2 2）绘剪力图、弯矩图）绘剪力图、弯矩图AyFByF约束力：约束力：图QF(+)(-)(-)20kN10kN10kN图M(+)(-)10kN.m20kN.m图QF图M由由 、 知：知：,kN20max,左QAQFF,kN.m2

17、0AMkN.m10DM,kN30AyF,kN10ByF弯曲应力弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件正应力强度条件材料力学（3）正应力强度校核）正应力强度校核对于对于A A截面：截面：A)(maxA)(maxz82max10013. 610) 325. 4()(AAMMPa1 .24MPa1 .2482max10013. 61075.15)(AAMMPa4 .52MPa4 .5220030200yczzcy弯曲应力弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件正应力强度条件材料力学对于对于D D 截面：截面：82max10013. 61075.1

18、5)(DDMMPa2 .2682max10013. 61025. 7)(DDMMPa12D)(maxD)(maxzMPa2 .26MPa1220030200yczzcyA)(maxA)(maxzMPa1 .24MPa4 .52弯曲应力弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件正应力强度条件材料力学MPa40MPa2 .26)(maxmaxDMPa100MPa4 .52)(maxmaxD正应力强度足够正应力强度足够。因此因此maxMmaxmax; MM弯曲应力弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件正应力强度条件材料力学（5 5）若将梁的截面倒置

19、，则）若将梁的截面倒置，则MPa4 .52)(maxmaxA此时强度不足会导致破坏。此时强度不足会导致破坏。yCzzcyA)(maxzMPa1 .24A)(maxMPa4 .52弯曲应力弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件正应力强度条件材料力学例例6-4 已知已知 材料的材料的 ，由，由M图知：图知： ，试校核其强度。，试校核其强度。N.m102 . 15maxMMPa7016281448解：解：（1 1）确定中性轴的位置）确定中性轴的位置CzyAS1082628) 514(108141628ASyzCcm13（2 2）求）求zWzCzCy单位：单位：cm弯曲应力

20、弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件正应力强度条件材料力学)1319(1018108121)1314(281628161212323zI4cm26200（3）正应力校核）正应力校核3maxcm1748)1328(26200yIWzzMPa65.68101748102 . 165maxzWM所以结构安全。所以结构安全。问题：问题：若材料为铸铁，截面这样放置是否合理若材料为铸铁，截面这样放置是否合理？弯曲应力弯曲应力/横力弯曲时梁的正应力横力弯曲时梁的正应力 正应力强度条件正应力强度条件材料力学三、弯曲时的切应力三、弯曲时的切应力材料力学s在有切应力存在的情在有切应力

21、存在的情 形下，形下， 弯曲正应力弯曲正应力 公式依然存在公式依然存在s 切应力方向与剪力的方向相同，并沿截面宽度方向切应力方向与剪力的方向相同，并沿截面宽度方向切应力均匀分布切应力均匀分布（对于狭长的矩形截面适用）（对于狭长的矩形截面适用） 在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的切应力，而无须应用切应力，而无须应用“平衡，变形协调和物性平衡，变形协调和物性关系关系”。弯曲应力弯曲应力/弯曲时的切应力弯曲时的切应力材料力学（一）矩形截面（一）矩形截面LABF(+)(-)图QFbh分析方法（截面法）：分析方法（截面法）：1.1.沿沿 m-m,n-n 截面

22、截开，截面截开， 取微段取微段d dx x。mmnndxmmnnQFQFMM+dMmmnn12kl图M(+)弯曲应力弯曲应力/弯曲时的切应力弯曲时的切应力材料力学mn12kl2.2.沿沿 k-l 截面截开，根据切应力的互等定理：截面截开，根据切应力的互等定理：dx很小，在很小，在 kl 面上可认为面上可认为 均布。均布。1NF2NFQF02NQ1NFFF3.列平衡方程，由列平衡方程，由 ：0 xF即即0d)d(d2121AAAxbA弯曲应力弯曲应力/弯曲时的切应力弯曲时的切应力材料力学而而,11zIMyzIyMM12)d(代入得：代入得：0dddd1111AzAzAyIMMxbAyIM1ddd

23、1AzAyIMxb*zSzzbISxM*ddQFzzbISF*Q弯曲应力弯曲应力/弯曲时的切应力弯曲时的切应力材料力学zzbISF*Q（儒拉夫斯基公式）（儒拉夫斯基公式）式中符号意义：式中符号意义： ：截面上距中性轴：截面上距中性轴y处的切应力处的切应力 ：y以外面积对中性轴的静矩以外面积对中性轴的静矩*zS ：整个截面对中性轴的惯性矩：整个截面对中性轴的惯性矩zIb：y处的宽度处的宽度bhzy 对于矩形：对于矩形：CzyAS*cyc22)2(yhyyhb)4(222yhb弯曲应力弯曲应力/弯曲时的切应力弯曲时的切应力材料力学3121bhIz而而)4(6223QyhbhF因此矩形截面梁横截面上

24、的因此矩形截面梁横截面上的切应力的大小沿着梁的高度按切应力的大小沿着梁的高度按抛物线抛物线规律分布。规律分布。并且并且;0,2hybhFyQmax23,0AFQ23弯曲应力弯曲应力/弯曲时的切应力弯曲时的切应力材料力学实心截面梁的弯曲切应力误差分析实心截面梁的弯曲切应力误差分析FQ Sz*bIz弯曲应力弯曲应力/弯曲时的切应力弯曲时的切应力材料力学弯曲正应力与弯曲切应力比较弯曲正应力与弯曲切应力比较22max66bhFlbhFl bhF23max hlFbhbhFl43262maxmax 当当 l h 时，时， max max弯曲应力弯曲应力/弯曲时的切应力弯曲时的切应力材料力学（二）工字形（

25、二）工字形截面梁的弯曲切应力截面梁的弯曲切应力翼缘翼缘1.腹板腹板zzISFy*Q)()( yz腹板腹板式中式中 (y)：截面上距中性轴：截面上距中性轴y处的切应力处的切应力 ：y处横线一侧的部分面积处横线一侧的部分面积 对中性轴的静矩对中性轴的静矩*zS ：整个截面对中性轴的惯性矩：整个截面对中性轴的惯性矩zI ：y处的宽度处的宽度 y弯曲应力弯曲应力/弯曲时的切应力弯曲时的切应力材料力学腹板上的切应力呈抛物线变化，腹板部分的切应力合力腹板上的切应力呈抛物线变化，腹板部分的切应力合力占总剪力的占总剪力的95%97%。zzISFmax,Qmax)/(max,QzzSIF弯曲应力弯曲应力/弯曲时

26、的切应力弯曲时的切应力材料力学)(z)( y翼缘部分的切应力强度翼缘部分的切应力强度计算时一般不予考虑。计算时一般不予考虑。2.翼缘翼缘xyhO bhtz翼缘部分的水平剪应力沿翼缘宽翼缘部分的水平剪应力沿翼缘宽度按直线规律变化，并与腹板部分度按直线规律变化，并与腹板部分的竖向剪力形成的竖向剪力形成“切应力流切应力流” 。弯曲应力弯曲应力/弯曲时的切应力弯曲时的切应力材料力学（三）其他形状（三）其他形状截面梁的弯曲切应力截面梁的弯曲切应力1 . 圆截面圆截面切应力的分布特征：切应力的分布特征： 边缘各点切应力的方向与圆周相切；边缘各点切应力的方向与圆周相切；切切应力分布与应力分布与 y 轴对称；

27、与轴对称；与 y轴相交各点处轴相交各点处的切应力其方向与的切应力其方向与y轴一致。轴一致。)(*QybISFzzy关于其切应力分布的假设：关于其切应力分布的假设：1.1.离中性轴为任意距离离中性轴为任意距离y的水平直线段上各的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点点处的切应力汇交于一点 ；2.2.这些切应力沿这些切应力沿 y方向的分量方向的分量 y 沿宽度相沿宽度相等。等。zyOmaxkkOd弯曲应力弯曲应力/弯曲时的切应力弯曲时的切应力材料力学 max=43FQA最大切应力最大切应力 max 在中性轴处在中性轴处弯曲应力弯曲应力/弯曲时的切应力弯曲时的切应力材料力学2.2.薄壁环形截面梁薄壁环

28、形截面梁 max= 2.0FQAzyQFmax弯曲应力弯曲应力/弯曲时的切应力弯曲时的切应力材料力学3.3.盒形薄壁梁盒形薄壁梁)4(2)(612)(22220Q*QyhhhbIFISFyzzz FQ弯曲应力弯曲应力/弯曲时的切应力弯曲时的切应力材料力学切应力强度条件切应力强度条件)(maxmax,QmaxzzISF对于等宽度截面，对于等宽度截面， 发生在中性轴上；对于宽度变化的截面，发生在中性轴上；对于宽度变化的截面， 不一定发生在中性轴上。不一定发生在中性轴上。maxmax弯曲应力弯曲应力/弯曲时的切应力弯曲时的切应力材料力学hl4maxmaxhl6maxmax弯曲应力弯曲应力/弯曲时的切

29、应力弯曲时的切应力材料力学Fl100505050z例例6-4 悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m1m。胶合面的许可。胶合面的许可切应力为切应力为0.34MPa0.34MPa，木材的，木材的= 10 MPa= 10 MPa， =1MPa=1MPa，求许，求许可载荷。可载荷。弯曲应力弯曲应力/弯曲时的切应力弯曲时的切应力材料力学讨论：讨论：请解释木梁发生图示破坏的原因请解释木梁发生图示破坏的原因. 弯曲应力弯曲应力/弯曲时的切应力弯曲时的切应力材料力学四、提高弯曲强度的一些措施四、提高弯曲强度的一些措施弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件：maxmaxzWM在在

30、 一定时，提高弯曲强度的主要途径：一定时，提高弯曲强度的主要途径：max,MWz（一）选择合理截面（一）选择合理截面 提高抗弯截面系数提高抗弯截面系数材料力学 为了比较各种截面的合理性，以为了比较各种截面的合理性，以 来衡量。来衡量。 越大，越大，截面越合理。截面越合理。AWzAWz可看出：材料远离中性轴的截面可看出：材料远离中性轴的截面(环形、槽形、工字形等环形、槽形、工字形等)比较比较 经济合理。经济合理。(d=h)AWz截面形状截面形状圆形圆形矩形矩形槽钢槽钢工字钢工字钢d125. 0h167. 0h)31. 027. 0(h)31. 027. 0(环环 形形h205. 0弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施材料力学为降低重量，可在中性轴附近开孔。为降低重量，可在中性轴附近开孔。弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施材料力学根据材料特性选择：根据材料特性选择：塑性材料：塑性材料：,宜采用中性轴为对称轴的截面。宜采用中性轴为对称轴的截面。脆性材料：脆性材料：,宜采用中性轴为非对称轴的截面，宜采用中性轴为非对称轴的截面，例如例如T T字形截面：字形截面：yCz1y2y拉边拉边压边压边zzIMyIMy21maxmax21yy即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的