拓扑优化方法

1、 第一节第一节 概述概述 结构轻量化，提高有效载荷是飞行器设计者追求的永恒主题。结构轻量化，提高有效载荷是飞行器设计者追求的永恒主题。 随着计算技术、材料科学、制造技术的飞速发展，传统的设随着计算技术、材料科学、制造技术的飞速发展，传统的设 计、制造方法及结构形式已无法满足先进结构性能与功能的计、制造方法及结构形式已无法满足先进结构性能与功能的 要求，独特的服役力学环境对结构设计提出了前所未有的基要求，独特的服役力学环境对结构设计提出了前所未有的基 础科学问题。事实表明，火箭或人造卫星的结构重量每减少础科学问题。事实表明，火箭或人造卫星的结构重量每减少 一公斤，将获得整体重量减少一百公斤的增量

2、系数；近年来，一公斤，将获得整体重量减少一百公斤的增量系数；近年来， 复合材料，蜂窝层板及泡沫材料等轻质结构由于其抗冲击、复合材料，蜂窝层板及泡沫材料等轻质结构由于其抗冲击、 减震、吸能、隔音、散热等优越性能而受到普遍的关注，在减震、吸能、隔音、散热等优越性能而受到普遍的关注，在 先进飞行器设计中应用日益广泛先进飞行器设计中应用日益广泛, , 而这些优异特性的根本在而这些优异特性的根本在 于进行结构优化设计和材料优化设计。于进行结构优化设计和材料优化设计。 结构优化设计结构优化设计 结构尺寸优化设计结构尺寸优化设计 结构构型优化设计结构构型优化设计 结构形状优化设计结构形状优化设计 在结构构型

3、和结构形状不变的条件下，对在结构构型和结构形状不变的条件下，对 各处结构尺寸（大小）进行优化设计，采各处结构尺寸（大小）进行优化设计，采 用准则法或规划法。用准则法或规划法。 在材料性质和设计区域给定的条件下，在材料性质和设计区域给定的条件下， 对用量和分布情况进行优化设计，采用对用量和分布情况进行优化设计，采用 拓扑优化方法。拓扑优化方法。 在结构构型和材料性质不变的条件在结构构型和材料性质不变的条件 下，对各结构形状进行优化设计，下，对各结构形状进行优化设计， 采用采用 结构优化设计分类结构优化设计分类 结构尺寸优化设计结构尺寸优化设计 结构构型优化设计结构构型优化设计 结构形状优化设计结

4、构形状优化设计 结构优化设计的数学描述结构优化设计的数学描述 具有有限维的结构，其结构优化设计的数学模型的一般形式为具有有限维的结构，其结构优化设计的数学模型的一般形式为 ()()K X ZF X ()()K X YM X Y min(, , )f X Z 结构优化的约束条件结构优化的约束条件 结构优化的目标函数结构优化的目标函数 静力平衡条件静力平衡条件 固有频率条件固有频率条件 (,)0 s c X Z ( )0cZ 应力约束条件应力约束条件 位移约束条件位移约束条件 ()0 d cX ( )0 W c 几何边界条件几何边界条件 屈服约束条件屈服约束条件 X Z 设计变量 位移变量 频率变

5、量 第二节第二节 结构优化设计的准则法结构优化设计的准则法 1. 1. 基于满应力的准则法基于满应力的准则法 对于由对于由n个杆件组成的桁架结构，其满应力条件为个杆件组成的桁架结构，其满应力条件为 不同于常规的数学规划，而是直接从结构力学的强度条件出发，不同于常规的数学规划，而是直接从结构力学的强度条件出发， 认为构件中的应力达到许用应力时，结构的重量最轻，故不需认为构件中的应力达到许用应力时，结构的重量最轻，故不需 要目标函数，只需构造一种迭代模式，使结构尺寸不断减小，要目标函数，只需构造一种迭代模式，使结构尺寸不断减小， 而应力向许用应力靠近。而应力向许用应力靠近。 由此可构造如下的迭代公

6、式由此可构造如下的迭代公式 1,2, i i i F in A ( ) (1)( ) 1,2, k kk i ii i AAin 对于结构优化设计问题：对于结构优化设计问题： n f X XRmin() ()01,2,. . u gX tp su 0 p u u u ii gf i=1,2,n xx 极值点极值点X* *应满足的应满足的KuhnKuhnTuckerTucker条件条件 由此可构造如下的迭代公式由此可构造如下的迭代公式 (1)( )( ) ( ) kkk ii p ku u u i i xcx i=1,2,n g c 1 f x x 1 1 其中 为小于 的因子其中 为小于 的因

7、子 2. 2. 基于基于K KT T条件的准则法条件的准则法 0 p u u u ii gf i=1,2,n xx (1)( )( )kkk ii xcx i=1,2,n p u u u ii gf i=1,2,n xx (1)(1) p u u u ii gf i=1,2,n xx p u u u i i g 1=c 1 f x x 1 1 为小于 的因子 为小于 的因子 对于结构优化设计问题：对于结构优化设计问题： 极值点极值点X* *应满足的应满足的KuhnKuhnTuckerTucker条件条件 3. 3. 基于能量的准则法基于能量的准则法 22 0 min() . .0 n r Wf

8、 XXR stX 2 0 r r ii W xx 1 n ii i i Wxl KYMY 2 11,2, r r i i x in W x 结构频率关于设计变量的敏度分析结构频率关于设计变量的敏度分析 KYMY iiiii KYMY YKYMMY xxxxx TTTTT iiiii YYKM Y MYY MY MYYYY xxxxx 2 2TTT r rirrrrr iii KM Y MYYYYY xxx 2 2T r rrr iii KM YY xxx 对于杆系结构，若取杆件截面面积为设计变量，则对于杆系结构，若取杆件截面面积为设计变量，则 目标函数关于设计变量的敏度分析目标函数关于设计变量

9、的敏度分析 1,2, i i i W lin x 2 1 r r i i x W x 1 n ii i i Wxl 2 11 22 TT rirrrir ii i Y K YY M Y xl 常数 上式左端分子第一项为单元上式左端分子第一项为单元I I的应变能，第二项为单元的应变能，第二项为单元I I 的动能，分母为单元的动能，分母为单元I I的质量，上式说明，具有频率约束的质量，上式说明，具有频率约束 的最小重量结构，其各单元的应变能密度（单位质量的的最小重量结构，其各单元的应变能密度（单位质量的 应变能）与动能密度之差为同一常数应变能）与动能密度之差为同一常数 2 11 22 TT rir

10、rrir ii i Y K YY M Y xl 常数 e ei i单元单元i i的应变能密度（单位质量的应变能）与动能密度之差的应变能密度（单位质量的应变能）与动能密度之差 则有则有 ，两边乘以，两边乘以 ，则有，则有 2 1 i e a 2 i x (1)( )kk iii xa e x 拓扑优化方法，简单地说，就是在一个给定的空间区域内，依 据已知的负载或支承等约束条件，解决材料的分布问题，从而 使结构的刚度达到最大或使输出位移、应力等达到规定要求的 一种结构设计方法，是有限元分析和优化方法有机结合的新方 法。 第三节第三节 结构的拓扑优化方法结构的拓扑优化方法 一、拓扑优化的历史一、拓扑

11、优化的历史 拓扑优化的研究是从最具代表性的桁架开始的，拓扑优化理拓扑优化的研究是从最具代表性的桁架开始的，拓扑优化理 论的解析方法可追溯到由论的解析方法可追溯到由MichelMichel提出的提出的MichelMichel桁架理论。桁架理论。 直到直到19641964年年DornDorn、GomoryGomory、GreenbergGreenberg等人提出了基结等人提出了基结 构法，将拓扑优化引入到数值计算领域，使其克服了构法，将拓扑优化引入到数值计算领域，使其克服了 MichelMichel桁架理论的局限性，重新使拓扑优化的研究活跃起桁架理论的局限性，重新使拓扑优化的研究活跃起 来。来。

12、连续体结构拓扑优化方法由于其优化模型描述方法的困难以及连续体结构拓扑优化方法由于其优化模型描述方法的困难以及 数值优化算法的巨大计算量而发展缓慢数值优化算法的巨大计算量而发展缓慢, ,其蓬勃发展的起点以其蓬勃发展的起点以 1988年年kikuchi和和bendsoe等人等人提出的均匀化算法提出的均匀化算法( (The Homogenization Method) )为标志。为标志。 正是由于正是由于kikuchi和和bendsoe的介绍后的介绍后, ,拓扑优化方法在学术界得到拓扑优化方法在学术界得到 了广泛地普及了广泛地普及, ,并应用到材料设计、机构设计、器件设并应用到材料设计、机构设计、器

13、件设 计、柔性微机构的设计和别的更复杂的结构设计中。计、柔性微机构的设计和别的更复杂的结构设计中。 二、拓扑优化方法求解问题二、拓扑优化方法求解问题 拓扑优化方法既能够求解静态结构优化问题拓扑优化方法既能够求解静态结构优化问题, ,也能够求也能够求 解结构的动力学问题解结构的动力学问题; ; 既能够求解单目标优化问题既能够求解单目标优化问题, ,也能够求解多目标优化问也能够求解多目标优化问 题题; ; 既能够求解单约束问题既能够求解单约束问题, ,也能够求解多约束问题也能够求解多约束问题; ; 既可以求解单一物理场的结构设计问题既可以求解单一物理场的结构设计问题, ,也可以求解多也可以求解多

14、物理场的结构设计问题物理场的结构设计问题; ; 既可以求解单一材料的结构设计问题既可以求解单一材料的结构设计问题, ,也可以求解多种也可以求解多种 材料复合的结构设计问题。材料复合的结构设计问题。 三、拓扑优化一般过程三、拓扑优化一般过程 在给定的荷载和边界条件下，定义设计区域，称为初在给定的荷载和边界条件下，定义设计区域，称为初 始设计域；始设计域； 采用某种物理模型，将设计区域离散成足够多的子设采用某种物理模型，将设计区域离散成足够多的子设 计区域，确定设计变量；计区域，确定设计变量； 对这若干个子设计区域进行结构分析和灵敏度分析，对这若干个子设计区域进行结构分析和灵敏度分析， 建立设计变

15、量与结构位移、应力、频率等关系，从而建立设计变量与结构位移、应力、频率等关系，从而 形成目标函数和约束条件；形成目标函数和约束条件； 按某种优化策略和准则从这若干个子设计区域中删除按某种优化策略和准则从这若干个子设计区域中删除 某些单元，用保留下来的单元描述结构的最优拓扑。某些单元，用保留下来的单元描述结构的最优拓扑。 四、拓扑优化方法分类四、拓扑优化方法分类 从其物理模型的描述方法上一般分为从其物理模型的描述方法上一般分为 基结构法基结构法(The Ground Structural Method) 均匀化方法均匀化方法(The Homogenization Method) 渐进结构优化方法

16、渐进结构优化方法(The Evolutionary Structural Optimization) 相对密度法相对密度法(The Artificial Materials Method) 从其优化问题的求解方法上一般分为从其优化问题的求解方法上一般分为 优化准则法优化准则法 Optimality Criteria(OC) methods 序列线性规划法序列线性规划法 Sequential Linear Programming (SLP)methods 序列二次规划法序列二次规划法 Sequential Quadratic Programming 移动渐进法移动渐进法 Method of Mo

17、ving Asymptotes (MMA) 五、基结构法五、基结构法 基结构法主要是依据桁架结构优化设计原理提出的，将设基结构法主要是依据桁架结构优化设计原理提出的，将设 计域划分为许多子域，然后用杆单元连接各节点，将杆单计域划分为许多子域，然后用杆单元连接各节点，将杆单 元直径作为设计变量。元直径作为设计变量。 六、均匀化方法六、均匀化方法 均匀化方法的基本思想是在组成拓扑结构的材料中引入微结构，优化过程均匀化方法的基本思想是在组成拓扑结构的材料中引入微结构，优化过程 中以微结构的几何尺寸作为设计变量，以微结构的消长实现其增删，并产中以微结构的几何尺寸作为设计变量，以微结构的消长实现其增删，

18、并产 生介于由中间尺寸微结构组成的复合材料，从而实现了结构拓扑优化模型生介于由中间尺寸微结构组成的复合材料，从而实现了结构拓扑优化模型 与尺寸优化模型的统一。与尺寸优化模型的统一。 图图1 1所示为矩形孔微结构模型，实体占有的区域为所示为矩形孔微结构模型，实体占有的区域为: : =(1-ab) ， 0 a 1, 0 b 1 其中其中 是设计区域，是设计区域， 是实体区域。 是实体区域。 每个微结构体有各自的坐标轴每个微结构体有各自的坐标轴, ,所以必须考虑其旋转角所以必须考虑其旋转角 ，如，如 果一个设计区域被分成果一个设计区域被分成个有限单元个有限单元, ,则将有则将有3 3个设计变量。个设

19、计变量。 q ab 1 1 材料用量。材料用量。 基于均匀化方法的拓扑优化模型基于均匀化方法的拓扑优化模型 设计变量设计变量 以微结构的几何尺寸以微结构的几何尺寸a,ba,b作为设计变量，每个微结构体有各自作为设计变量，每个微结构体有各自 的坐标轴的坐标轴, ,所以须考虑其旋转角所以须考虑其旋转角,如果一个设计区域被分成如果一个设计区域被分成个个 有限单元有限单元, ,则将有则将有3 3个设计变量。个设计变量。 如果某个微结构的尺寸大到整个单胞边界，表示该单胞处如果某个微结构的尺寸大到整个单胞边界，表示该单胞处 无材料，如果某个微结构的尺寸小到一个点，表示该单胞无材料，如果某个微结构的尺寸小到

20、一个点，表示该单胞 处有材料处有材料 。 约束条件约束条件 对于静态问题：目标函数可是极小化平均变形对于静态问题：目标函数可是极小化平均变形 目标函数目标函数 对于动态问题：目标函数可是极大化固有频率对于动态问题：目标函数可是极大化固有频率 H D c V 为单元应变,为由均匀化方法求得的应力应变矩阵, 为单元材料填充率,为材料体积约束量 1 min 2 . . V TH c Dd std 静态优化设计模型静态优化设计模型 H T ee ee KD BB d dd 此时，单元的刚度灵敏度计算公式为 ee BK d 为单元应变变形矩阵,为单元刚度矩阵, 为单元的设计变量。 max . . V m

21、 c std m m 11 m i mm i ii ii i w ww 式中，为平均固有频率，设前 阶固有频率为 ， 引入权系数,即有 / 动态优化设计模型动态优化设计模型 H TT eeee eeee KDK BB dN N d dddd 此时，单元的刚度和质量的灵敏度计算公式为 ei N上式中为单元形状函数, 为振型, 为单元密度。 2 2 1 1 l T mmiii iiil i i i i wKM ddddd w 此时，平均频率的灵敏度计算公式为 其中 均匀化理论均匀化理论 其基本思想是其基本思想是: :将结构看成是含单一微结构的单胞在板平面内将结构看成是含单一微结构的单胞在板平面内

22、周期重复构造而成的周期重复构造而成的，并且在宏观和细观两种尺度上描述总体并且在宏观和细观两种尺度上描述总体 结构的位移和应力。结构的位移和应力。 总体结构的位移和应力可展开成关于两种尺度之比总体结构的位移和应力可展开成关于两种尺度之比 (0 1)(0 1) 的渐近展开式。的渐近展开式。 建立两种尺度坐标建立两种尺度坐标x和和y , ,其中其中 y= x/， 这样弹性问题的各物理量都可描述成两种尺度坐标的函数。这样弹性问题的各物理量都可描述成两种尺度坐标的函数。 ( x) = ( x , y) = ( x , y + Y) 式中式中: :上标上标表示考虑了细观结构的影响表示考虑了细观结构的影响，

23、由于细观结构的周由于细观结构的周 期性特征，期性特征， 是关于是关于y的周期函数的周期函数, , 且周期函数的周期为且周期函数的周期为Y Y。 ij , j + f i = 0 ij = Dijklekl e ij = ( ui, j + uj, i) /2 i , j = 1 ,2 ,3; k , l = 1 ,2 ,3 结构物理量的描述结构物理量的描述 平衡方程平衡方程 本构关系本构关系 几何方程几何方程 物理量可描述成两种尺度坐标的函数，即有物理量可描述成两种尺度坐标的函数，即有 这样弹性问题的基本方程可表示为这样弹性问题的基本方程可表示为 注：注： 下标下标“,j ,j”表示对坐标表示

24、对坐标j j求导求导 将位移将位移u ( x) 按渐近展开为小参数 按渐近展开为小参数的渐近级数的渐近级数 u ( x) = 0 u0 ( x , y) +1 u1 ( x , y) +2 u2 ( x , y) + (3) 代入式代入式(2)(2)，经过推导可得到结构的有效弹性常数的计算公式为，经过推导可得到结构的有效弹性常数的计算公式为 式中式中:2 表示单胞的求解区域表示单胞的求解区域；p pkl是细观均匀化问题的周是细观均匀化问题的周 期解期解，即有即有 当对均匀化理论问题的方程采用有限元求解时当对均匀化理论问题的方程采用有限元求解时, ,式式(4)(4)可以写可以写 成成 相应地相应

25、地,式式(5) 可以写成可以写成 式中式中: : B B 为几何矩阵为几何矩阵; D ; D 为弹性矩阵只与材料的性质相关。为弹性矩阵只与材料的性质相关。 对初始设计域划分网格，加上周期性边界条件，利用式对初始设计域划分网格，加上周期性边界条件，利用式(7) (7) 即即 可求出可求出 ，将求出的将求出的 代入到式代入到式(6)(6)中中，即可求出材料的弹性矩即可求出材料的弹性矩 阵阵D DH H , ,这样就可以算出结构的有效弹性常数 这样就可以算出结构的有效弹性常数，即有效弹性模量即有效弹性模量 E E* *和有效泊松比和有效泊松比 * *。 基于均匀化方法的拓扑优化存在问题基于均匀化方法

26、的拓扑优化存在问题 虽说连续体结构拓扑优化问题已经达到了一个相对成虽说连续体结构拓扑优化问题已经达到了一个相对成 熟的程度，但不管其成熟程度如何，仍存在着一些数熟的程度，但不管其成熟程度如何，仍存在着一些数 值计算上的不稳定问题，如值计算上的不稳定问题，如 棋盘格式问题棋盘格式问题( (Checker boards) ) 中间密度材料中间密度材料 网格依赖性问题网格依赖性问题( (Mesh dependencies) ) 局部极值问题局部极值问题( (Local minima) ) 针对这些问题，虽然提出了一些解决方法，如松弛法、控制法、针对这些问题，虽然提出了一些解决方法，如松弛法、控制法、

27、 滤波器法等，但探寻可靠、有效的拓扑优化求解方法仍将是今后滤波器法等，但探寻可靠、有效的拓扑优化求解方法仍将是今后 拓扑优化领域中亟待解决的问题。拓扑优化领域中亟待解决的问题。 七、相对密度法七、相对密度法 相对密度法是结构拓扑优化中另一较为相对密度法是结构拓扑优化中另一较为 有效的物理描述方法有效的物理描述方法, ,它是受均匀化方法它是受均匀化方法 的启发而产生的。其基本思想是不引入的启发而产生的。其基本思想是不引入 微结构微结构, ,而是引入一种假想的相对密度在而是引入一种假想的相对密度在 0 01 1之间可变的材料。它吸取了均匀化之间可变的材料。它吸取了均匀化 方法中的经验和成果方法中的

28、经验和成果, ,直接假定设计材料直接假定设计材料 的宏观弹性常量与其密度的非线性关系。的宏观弹性常量与其密度的非线性关系。 0 0和和0 0分别是均质实体的密度和弹性矩阵。分别是均质实体的密度和弹性矩阵。 设计变量为设计变量为 密度和弹性矩阵为密度和弹性矩阵为 此方法虽然解决了离散函数的求解困难问题，但是在优此方法虽然解决了离散函数的求解困难问题，但是在优 化过程中却产生了许多介于化过程中却产生了许多介于0 0和和1 1之间的单元。之间的单元。 这种结构制造困难这种结构制造困难, ,并且在现实中也找不到这样的材料。并且在现实中也找不到这样的材料。 通常采用惩罚因子的办法通常采用惩罚因子的办法,

29、 ,来抑制这种结构的产生。来抑制这种结构的产生。 在实际问题中，这属于在实际问题中，这属于0 01 1规划，很难求解。规划，很难求解。 为了解决这一问题，通常采用松弛法，即用一连续函数为了解决这一问题，通常采用松弛法，即用一连续函数 ( () (0() (0()1)1) 来代替离散函数来代替离散函数X(x)。 设计变量的改造设计变量的改造 可以看出可以看出, ,密度法比均匀化方法的设计变量少密度法比均匀化方法的设计变量少, ,因此在实因此在实 际工程中大多采用密度法来解决问题际工程中大多采用密度法来解决问题, ,优化过程中以单优化过程中以单 元的设计变量的大小来决定单元的取舍。元的设计变量的大

30、小来决定单元的取舍。 以结构的柔度为目标函数，体积为约束的优化问题的数学模型以结构的柔度为目标函数，体积为约束的优化问题的数学模型 式中式中 X=x1, x2,x , x为设计向量 为设计向量, ,可以为相对密度、相对厚度可以为相对密度、相对厚度 或相对弹性模量等，为防止奇异，其最小值略大于或相对弹性模量等，为防止奇异，其最小值略大于0;0; 为总单元数为总单元数; ; F、U和和K分别为整体荷载矩阵、位移矩阵和整体刚度阵分别为整体荷载矩阵、位移矩阵和整体刚度阵; ; ue和和ke分别为单元位移阵和单元刚度阵分别为单元位移阵和单元刚度阵; ; f 为体积系数为体积系数; ; V(X)和和0分别

31、为优化后的材料体积和初始材料体积分别为优化后的材料体积和初始材料体积; ; 为惩罚因子，一般取为惩罚因子，一般取p=3=3。 Bendsoe (1995) 提出的启发式优化准则迭代模式为：提出的启发式优化准则迭代模式为： 式中式中m 为正的可动界限；为正的可动界限； 为数值阻尼系数为数值阻尼系数； Be 为由为由KT求得的系数求得的系数 优化问题的求解优化问题的求解 该问题可用优化准则法，序列线性规划法该问题可用优化准则法，序列线性规划法 或或移动渐进法等方法求解，移动渐进法等方法求解， 下面用下面用Bendsoe (1995) 提出的启发式优化准则法求解。提出的启发式优化准则法求解。 为为

32、Lagrangian乘子乘子 ，可用二分法求得。，可用二分法求得。 目标函数的灵敏度计算目标函数的灵敏度计算 滤波技术滤波技术（filtering technique） 为了确保拓扑优化设计解的存在，对求解过程应补充一定的为了确保拓扑优化设计解的存在，对求解过程应补充一定的 限制条件，其中滤波技术即为常用限制条件。限制条件，其中滤波技术即为常用限制条件。 与网格无关的滤波技术的原理是对目标函数的灵敏度计算与网格无关的滤波技术的原理是对目标函数的灵敏度计算 公式进行如下修正公式进行如下修正 式中式中 式中式中 dist(e,f) 为单元为单元 e 中心点到单元中心点到单元 f 中心点的距离，中心

33、点的距离，rmin为滤波尺寸。为滤波尺寸。 该问题也可用固体各向同性惩罚微结构该问题也可用固体各向同性惩罚微结构SIMPSIMP或材料性能或材料性能 合理近似合理近似RAMP (RAMP (Rational Approximation of Material Properties) ) 方法求解方法求解 SIMPSIMP或或RAMP RAMP 的区别在于材料的弹性模量插值函数的表达式的区别在于材料的弹性模量插值函数的表达式 不同：不同： SIMPSIMP或或RAMP RAMP 的刚度矩阵、柔度矩阵以及柔度矩阵的敏度表的刚度矩阵、柔度矩阵以及柔度矩阵的敏度表 达式也不同：达式也不同： 该问题也可

34、用该问题也可用MMA MMA 方法求解方法求解 七、渐进结构优化法七、渐进结构优化法 渐进结构优化法是近年来兴起的一种解决各类结构优化问题的渐进结构优化法是近年来兴起的一种解决各类结构优化问题的 数值方法。它是基于下面简单概念数值方法。它是基于下面简单概念: : 通过将无效或低效的材料一步步去掉，剩下的结构将逐渐趋于通过将无效或低效的材料一步步去掉，剩下的结构将逐渐趋于 优化。该方法采用已有的有限元分析软件，通过迭代过程在计优化。该方法采用已有的有限元分析软件，通过迭代过程在计 算机上实现，该法的通用性很好。算机上实现，该法的通用性很好。 渐进结构优化法不仅可解决各类结构的尺寸优化，还可同时实

35、渐进结构优化法不仅可解决各类结构的尺寸优化，还可同时实 现形状和拓扑优化，无论应力、位移、刚度优化，或振动频率、现形状和拓扑优化，无论应力、位移、刚度优化，或振动频率、 响应、临界应力优化，都可遵循渐进结构优化法的统一原则和响应、临界应力优化，都可遵循渐进结构优化法的统一原则和 简单步骤进行。简单步骤进行。 在微机上的实施也很简便，有限元分析和结构修改在微机上的实施也很简便，有限元分析和结构修改( (删除或增删除或增 补单元补单元) )的功能相互独立，且优化中避免了网格重新生成的问的功能相互独立，且优化中避免了网格重新生成的问 题。实际上，在整个优化过程中只采用一种有限元网格题。实际上，在整个

36、优化过程中只采用一种有限元网格( (初始初始 设计网格设计网格) )，单元的存在状态用，单元的存在状态用0 0或非或非0 0记录，删除的单元被赋记录，删除的单元被赋0 0 值值, ,这样在组装刚度或质量矩阵时不予考虑。适用于实际工程这样在组装刚度或质量矩阵时不予考虑。适用于实际工程 结构优化的软件也正在发展之中。结构优化的软件也正在发展之中。 式中式中u为结构位移，可由为结构位移，可由有限元分析获得。有限元分析获得。 Ku=F 目标函数为柔度，设计变量为单元厚度，约束条件为目标函数为柔度，设计变量为单元厚度，约束条件为m个点的个点的 位移量，其数学模型为位移量，其数学模型为 式中，式中，K为整

37、体刚度矩阵，为整体刚度矩阵，u和和F分别为位移和荷载列矩阵。分别为位移和荷载列矩阵。 渐进结构优化设计数学模型渐进结构优化设计数学模型 有限元分析中有限元分析中, ,结构的平衡方程为结构的平衡方程为 二维简支梁结构最小柔度问题，梁的左下端固支约束，右下端二维简支梁结构最小柔度问题，梁的左下端固支约束，右下端 简支约束，下边受垂直向下单位力简支约束，下边受垂直向下单位力1 1、2 2、3 3作用，分别作用，分别 属于工况属于工况1 1、2 2、3 3。 计算模型示意图计算模型示意图 结构优化设计示例结构优化设计示例 模型离散为模型离散为60603030四节点四边形单元，四节点四边形单元，50%5

38、0%体积约束，体积约束， 近似为平面应力问题求解。近似为平面应力问题求解。 移动渐进算法优化结移动渐进算法优化结 果果 混合算法优化结果混合算法优化结果 右图中移动渐进算法得到的最终结构拓扑结果包含一些中右图中移动渐进算法得到的最终结构拓扑结果包含一些中 间密度单元。间密度单元。 左图中在全局过滤算法的作用下，混合算法计算结果完全左图中在全局过滤算法的作用下，混合算法计算结果完全 消除了中间密度单元，得到的拓扑密度分布比移动渐进算消除了中间密度单元，得到的拓扑密度分布比移动渐进算 法的结果更合理。法的结果更合理。 优化结果优化结果 该图表明该图表明: :移动渐进算法收敛曲线的下降速度很慢移动渐

39、进算法收敛曲线的下降速度很慢, ,最终结果的最终结果的 柔度值较高柔度值较高, ,中间存在较大的数值波动中间存在较大的数值波动, ,计算不稳定计算不稳定. .混合算法的混合算法的 最终柔度值较低最终柔度值较低, ,计算过程中几乎没有数值波动计算过程中几乎没有数值波动, ,说明由于小波说明由于小波 的全局过滤控制作用的全局过滤控制作用, ,混合算法的计算收敛性和稳定性较好。混合算法的计算收敛性和稳定性较好。 不同算法下的目标函数的收敛曲线图不同算法下的目标函数的收敛曲线图 复合材料的宏观性质取决于复合材料的细观结构形式。材料复合材料的宏观性质取决于复合材料的细观结构形式。材料 细观结构形式的描述

40、参数包括单胞的形状参数和单胞域上的细观结构形式的描述参数包括单胞的形状参数和单胞域上的 材料分布参数。材料设计的目的就是通过调整这些参数材料分布参数。材料设计的目的就是通过调整这些参数, ,以以 使复合材料具有要求的性能。使复合材料具有要求的性能。 第四节第四节 功能材料优化设计功能材料优化设计 1 1问题提法问题提法 利用形状优化方法利用形状优化方法, ,在给定细观结构的拓扑形式的条件下在给定细观结构的拓扑形式的条件下, ,确确 定材料在单胞上的分布规律定材料在单胞上的分布规律, ,获得特定性能材料的细观结构获得特定性能材料的细观结构 形式。形式。 目标函数目标函数 弹性常数张量的各个元素及

41、其任意组合均可选作目标函数。弹性常数张量的各个元素及其任意组合均可选作目标函数。 2 2数学模型数学模型 作为一个例子，考虑右图所示作为一个例子，考虑右图所示 的由实体材料和空心构成的两的由实体材料和空心构成的两 相复合材料。设实体材料在单相复合材料。设实体材料在单 胞域上的拓扑形式给定，例如胞域上的拓扑形式给定，例如 图中所示的蜂窝型骨架结构。图中所示的蜂窝型骨架结构。 设计材料的细观结构，使其在设计材料的细观结构，使其在 某方向具有特定的泊松比。某方向具有特定的泊松比。 此时此时, ,目标函数是材料泊松比与给定值之差的平方目标函数是材料泊松比与给定值之差的平方 f(X)=(H12-012)

42、2 这里这里, ,f(X)表示目标函数表示目标函数,H12 H12和 和 012 012分别表示泊松比和给定值。 分别表示泊松比和给定值。 设计变量设计变量 图中所示的实体材料在单胞域上的拓扑形式给定，而单胞的大小图中所示的实体材料在单胞域上的拓扑形式给定，而单胞的大小 就是需要确定的量，故单胞的形状描述参数和实体材料的分布参就是需要确定的量，故单胞的形状描述参数和实体材料的分布参 数应选为设计变量。数应选为设计变量。 单胞的形状由矩形的长宽比表示。实单胞的形状由矩形的长宽比表示。实 体材料的形状可由特征点的坐标表示。体材料的形状可由特征点的坐标表示。 对于右图所示的材料，设计变量可选对于右图

43、所示的材料，设计变量可选 为骨架各部分的宽度为骨架各部分的宽度t ti i和和s si i长度长度, ,即即 X=(t1,t2,tn,s1,s2,sn)T 如果蜂窝型骨架结构是等边长的如果蜂窝型骨架结构是等边长的 多边形，细观结构可完全由边长多边形，细观结构可完全由边长 s s、宽度、宽度t t和和 夹角这三个参数完夹角这三个参数完 全确定。此时的设计变量为全确定。此时的设计变量为 X=(t,s,)X=(t,s,)T T 约束条件约束条件 为了克服这些困难，可以将这类约束作为罚函数加为了克服这些困难，可以将这类约束作为罚函数加 在目标函数中。为了保证材料具有正交性，细观结在目标函数中。为了保证

44、材料具有正交性，细观结 构限定为关于两个轴是对称的。构限定为关于两个轴是对称的。 如果所要求的材料具有某种对成性，例如正交性或各向如果所要求的材料具有某种对成性，例如正交性或各向 同性等，这些性质应该包含在约束中。这类约束往往是同性等，这些性质应该包含在约束中。这类约束往往是 等式约束等式约束, ,在优化过程中实现是困难的。因为初始设计通在优化过程中实现是困难的。因为初始设计通 常是不可行的。常是不可行的。 另一类约束是尺寸约束另一类约束是尺寸约束, ,如骨架宽度要求大于零；夹如骨架宽度要求大于零；夹 角应限定在角应限定在0 0 90 90之间。之间。 具有零泊松比空心铝的细观结构设计结果，此

45、时夹角为具有零泊松比空心铝的细观结构设计结果，此时夹角为 0.99770.9977宽度宽度t=20t=20时（铝的杨氏模量和泊松比分别为时（铝的杨氏模量和泊松比分别为 6.9586.95810104 4MPaMPa和和0.31480.3148）。）。 3 3零泊松比空心铝的细观结构设计结果零泊松比空心铝的细观结构设计结果 4. 4. 阻尼材料优化配置阻尼材料优化配置 传统的阻尼材料减振设计中阻尼材料通常完全覆盖传统的阻尼材料减振设计中阻尼材料通常完全覆盖 于待控结构表面。于待控结构表面。 从结构优化角度看从结构优化角度看, ,阻尼材料配置优化与结构拓扑优化本质阻尼材料配置优化与结构拓扑优化本质

46、 是相同的是相同的, ,都是确定在满足预定性能约束下使目标最佳的结构或都是确定在满足预定性能约束下使目标最佳的结构或 材料拓扑的分布材料拓扑的分布, ,因此将结构拓扑优化理论和方法应用于阻尼材因此将结构拓扑优化理论和方法应用于阻尼材 料配置优化中是可行的。料配置优化中是可行的。 优化配置就是确定优化配置就是确定 使结构损耗因子取最大使结构损耗因子取最大 值时的阻尼材料类型、值时的阻尼材料类型、 层数和厚度等。层数和厚度等。 1 1阻尼胞单元和阻尼拓扑敏度阻尼胞单元和阻尼拓扑敏度 阻尼材料配置优化拓扑基结构定义如下阻尼材料配置优化拓扑基结构定义如下: :设待控制结构为弹性结设待控制结构为弹性结

47、构构, ,其表面完全涂敷待优化配置的阻尼材料其表面完全涂敷待优化配置的阻尼材料; ;对该结构采用有限对该结构采用有限 元方法进行离散元方法进行离散, ,得到具有一定质量、刚度和阻尼分布的有限自得到具有一定质量、刚度和阻尼分布的有限自 由度系统由度系统, ,这一有限元系统称为阻尼材料配置拓扑基结构。这一有限元系统称为阻尼材料配置拓扑基结构。 其中离散出的由阻尼材料层和基体材料层构成的复合有限单元其中离散出的由阻尼材料层和基体材料层构成的复合有限单元, , 定义为阻尼胞单元定义为阻尼胞单元. .阻尼胞单元是配置优化中的基本设计单元阻尼胞单元是配置优化中的基本设计单元, , 当该单元位置处布置阻尼材

48、料时当该单元位置处布置阻尼材料时, ,其拓扑值为其拓扑值为1;1;当该单元位置处当该单元位置处 无阻尼材料时无阻尼材料时, ,其拓扑值为其拓扑值为0,0,阻尼胞单元退化为由基体材料构成阻尼胞单元退化为由基体材料构成 的非复合有限单元。的非复合有限单元。 4. 4. 阻尼材料优化配置阻尼材料优化配置 图图1 1给出自由阻尼层结构阻尼给出自由阻尼层结构阻尼 材料配置优化拓扑基结构材料配置优化拓扑基结构, ,图图 中黑色部分为阻尼材料中黑色部分为阻尼材料, ,显示显示 了单面或双面粘贴阻尼材料了单面或双面粘贴阻尼材料 的情况的情况. .当拓扑基结构有限元当拓扑基结构有限元 网格离散得足够密时网格离散

49、得足够密时( (接近于接近于 结构拓扑优化均匀化方法中结构拓扑优化均匀化方法中 的微结构的微结构), ),优化后得到的阻尼优化后得到的阻尼 胞单元集合就构成阻尼材料胞单元集合就构成阻尼材料 最优配置。最优配置。 图图2 2给出了板壳、杆、梁给出了板壳、杆、梁 等结构阻尼配置优化中阻等结构阻尼配置优化中阻 尼胞单元截面形式。尼胞单元截面形式。 图图1 1 图图2 2 阻尼材料配置优化拓扑基结构模型中阻尼材料配置优化拓扑基结构模型中, ,某一阻尼胞单元某一阻尼胞单元 存在或被删除时存在或被删除时, ,对结构系统相应动力特性参数的影响对结构系统相应动力特性参数的影响, ,称为称为 该阻尼胞单元的某动

50、力特性参数阻尼拓扑敏度该阻尼胞单元的某动力特性参数阻尼拓扑敏度. .如动应力阻如动应力阻 尼拓扑敏度、动位移阻尼拓扑敏度和加速度阻尼拓扑敏度等尼拓扑敏度、动位移阻尼拓扑敏度和加速度阻尼拓扑敏度等. . 其数学表达式为其数学表达式为 式中式中: : T=t1,t2,tnT为结构阻尼胞单元拓扑设计变量向量，为结构阻尼胞单元拓扑设计变量向量，ti=1或或0; ; gj(T)为结构动力特性参数；为结构动力特性参数； dgj(T)/dti为阻尼胞单元为阻尼胞单元i对应于对应于gj(T)的拓扑敏度值。的拓扑敏度值。 12 ( )( )( ) ( ), T jjj j n dg Tdg Tdg T g T

51、dtdtdt 对于频响约束下阻尼材料配置优化问题对于频响约束下阻尼材料配置优化问题, ,阻尼胞单元的阻尼阻尼胞单元的阻尼 拓扑敏度定义为拓扑敏度定义为 式中：式中： gk+1j(T)与与g(k)j(T) 、 tk+1i与与tki分别为阻尼胞单元分别为阻尼胞单元i在第在第k+1次与第次与第 k次优化迭代中对应的结构动力特性参数值和拓扑值。次优化迭代中对应的结构动力特性参数值和拓扑值。 1 1 ( )( )( ) ( ) kk jjj ji kk iii dg TgTgT g t dttt 从定义可看出从定义可看出, ,由于阻尼拓扑设计变量由于阻尼拓扑设计变量T T的离散性的离散性, ,导致阻尼拓

52、导致阻尼拓 扑敏度的非连续性扑敏度的非连续性. .因此因此, ,阻尼拓扑敏度是一个广义梯度阻尼拓扑敏度是一个广义梯度, ,常规常规 的关于梯度的性质在这里不具有继承性。的关于梯度的性质在这里不具有继承性。 2 2自由阻尼层结构阻尼材料配置拓扑优化模型自由阻尼层结构阻尼材料配置拓扑优化模型 1 min . . ( )0 1,2, 0,1 1,2, n ii i j LU i Wt m st s TjJ tin 式中式中: : mi为阻尼胞单元为阻尼胞单元i的重量的重量; ; sj(T)为结构频响动力特性约束函数为结构频响动力特性约束函数; ; J为动力特性约束总数为动力特性约束总数; ; L及及

53、U分别为第分别为第i i阶固有频率约束的上下限值阶固有频率约束的上下限值; ; n为固有频率约束总数。为固有频率约束总数。 采用拓扑优化方法研究阻尼材料配置问题后采用拓扑优化方法研究阻尼材料配置问题后, ,考虑重量考虑重量 目标及结构频响峰值和频率约束的阻尼材料配置优化数学表目标及结构频响峰值和频率约束的阻尼材料配置优化数学表 达式为达式为 优化中要求结构响应量优化中要求结构响应量xp控制在给定值控制在给定值x*p(p=1,2,P)附近，附近， P为响应约束点总数。若对应各响应点的权系数为为响应约束点总数。若对应各响应点的权系数为wp, ,则则 *2 1 ( )()0 P jppp p s T

54、wxx 模型中对于频响峰值约束模型中对于频响峰值约束, ,应考虑所选约束峰值上限小于结构表应考虑所选约束峰值上限小于结构表 面完全覆盖指定厚度阻尼材料时的频响峰值面完全覆盖指定厚度阻尼材料时的频响峰值. .否则否则, ,可能无法采用可能无法采用 指定厚度阻尼材料将结构频响峰值降低到所需范围。指定厚度阻尼材料将结构频响峰值降低到所需范围。 3 3自由阻尼层结构阻尼材料配置拓扑优化感性准则算法自由阻尼层结构阻尼材料配置拓扑优化感性准则算法 由于阻尼拓扑敏度是广义梯度由于阻尼拓扑敏度是广义梯度, ,常规的基于连续导数的优化常规的基于连续导数的优化 算法难以应用算法难以应用. .因此因此, , 建立基

55、于阻尼胞单元拓扑敏度综合评价的建立基于阻尼胞单元拓扑敏度综合评价的 感性拓扑优化准则。感性拓扑优化准则。 阻尼拓扑敏度数值反映了某一位置一定尺寸的阻尼材料存在或阻尼拓扑敏度数值反映了某一位置一定尺寸的阻尼材料存在或 被删除时被删除时, ,对结构系统相应动力特性的影响大小对结构系统相应动力特性的影响大小. .当各阻尼胞单元当各阻尼胞单元 尺寸都取相同值时尺寸都取相同值时, ,阻尼拓扑敏度数值也反映结构系统动力特性阻尼拓扑敏度数值也反映结构系统动力特性 对阻尼材料位置的敏感性对阻尼材料位置的敏感性. .由于阻尼材料在某一位置的配置状态由于阻尼材料在某一位置的配置状态 只能有两种只能有两种: :有或

56、无有或无, ,故求得该位置处阻尼拓扑敏度故求得该位置处阻尼拓扑敏度, ,即可确定出即可确定出 阻尼材料配置概率阻尼材料配置概率. .一般来说一般来说, ,拓扑敏度绝对值越大的位置拓扑敏度绝对值越大的位置, ,阻尼阻尼 胞单元越应保留或关注胞单元越应保留或关注. .综合考虑重量目标要求综合考虑重量目标要求, ,将阻尼胞单元按将阻尼胞单元按 敏度绝对值由大到小排列敏度绝对值由大到小排列, ,逐步配置上去逐步配置上去, ,直至满足动力特性约束直至满足动力特性约束 条件条件, ,即可得最优拓扑配置即可得最优拓扑配置. .在对阻尼胞单元按敏度值排序时在对阻尼胞单元按敏度值排序时, ,还还 应对阻尼拓扑敏

57、度进行综合评价。应对阻尼拓扑敏度进行综合评价。 则单元则单元i的归一化阻尼拓扑敏度为的归一化阻尼拓扑敏度为 max ( ) ( )/( ) j jij i dg T g tgT dt 令令 max 12 ( )( )( ) ( )max, jjj j n dg Tdg Tdg T gT dtdtdt 引入过滤函数引入过滤函数f(t), ,（取（取f(t)=tn,n=3）定义阻尼胞单元）定义阻尼胞单元i的拓扑敏的拓扑敏 度评价值为度评价值为 ( )= ( ) iji V tfg t 当考虑频响峰值约束和频率约束时当考虑频响峰值约束和频率约束时, ,将上式修正为将上式修正为 0 - ( )=e(

58、) i iji V tfg t 式中式中, ,exp(-|i-0|)为惩罚因子项为惩罚因子项,i与与 0分别为配置阻尼胞单分别为配置阻尼胞单 元元i时结构指定阶次固有频率和结构该阶频率约束平均限值。时结构指定阶次固有频率和结构该阶频率约束平均限值。 同理同理, ,某个拓扑分布下结构拓扑敏度评价值的计算式为某个拓扑分布下结构拓扑敏度评价值的计算式为 0 - ()e() k kk j V Tfg T 建立了阻尼拓扑敏度综合评价指标后建立了阻尼拓扑敏度综合评价指标后, ,单元删除准则如下单元删除准则如下: : (1)(1)将所有胞单元的阻尼拓扑敏度评价值的绝对值与给定的最低将所有胞单元的阻尼拓扑敏度

59、评价值的绝对值与给定的最低 灵敏度阈值灵敏度阈值( (如取如取10-4)10-4)进行比较进行比较, ,删除小于最低灵敏度阈值的阻删除小于最低灵敏度阈值的阻 尼胞单元尼胞单元, ,将其转化为基体材料单元将其转化为基体材料单元. .这是考虑到具有极低灵敏度这是考虑到具有极低灵敏度 值的阻尼胞单元所在位置是不需布置阻尼材料的位置。值的阻尼胞单元所在位置是不需布置阻尼材料的位置。 (2)(2)分以下两种情况进一步筛选。分以下两种情况进一步筛选。 A A 若剩余胞单元阻尼拓扑敏度值均为负值或均为正值若剩余胞单元阻尼拓扑敏度值均为负值或均为正值, ,此此 时应将阻尼胞单元按敏度评价值的绝对值由大到小顺序

60、时应将阻尼胞单元按敏度评价值的绝对值由大到小顺序 排列排列, ,以一定删除率删除敏度绝对值小的阻尼胞单元。以一定删除率删除敏度绝对值小的阻尼胞单元。 B B 剩余胞单元阻尼拓扑敏度值正、负相间剩余胞单元阻尼拓扑敏度值正、负相间, ,此时应区别对此时应区别对 待待. .对于具有负敏度值的阻尼胞单元对于具有负敏度值的阻尼胞单元, ,将它们按评价值的绝将它们按评价值的绝 对值由大到小排列对值由大到小排列, ,以一定删除率删除敏度绝对值小的阻以一定删除率删除敏度绝对值小的阻 尼胞单元尼胞单元; ;对于具有正敏度值的阻尼胞单元对于具有正敏度值的阻尼胞单元, ,将它们按评价将它们按评价 值的绝对值由小到大