第3章___离散系统的时域分析

1、 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析第第3章章 离散系统的时域分析离散系统的时域分析3.1 连续时间信号的取样连续时间信号的取样3.2 离散时间信号的表示离散时间信号的表示3.3 离散时间系统的描述和响应离散时间系统的描述和响应3.4 卷积和卷积和 3.5 卷积和的计算机模拟卷积和的计算机模拟3.6 离散时间系统与连续时间系统时域分析法的比较离散时间系统与连续时间系统时域分析法的比较 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析3.1 连续时间信号的取样连续时间信号的取样 3.1.1离散时间信号 连续系统的激励和响应都是连续时间信号，它们是连续变量t的函数，离散系统的激励与响应都是离散时间信

2、号，表示这种信号的函数，只在一系列互相分离的时间点上才有定义，而在其它点上则未定义，所以它们是离散变量tk的函数（或称序列）。 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 离散的函数值也常常画成一条条的垂直线，如图3.1(a)所示，其中每条直线的端点才是实际的函数值。在数字技术中函数的取样值并不是任意取值的，而必须将幅度加以量化，也就是幅度的数值，只能在一组预定的数据中取值，如图3.1(b)所示。 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 图3.1 离散时间信号(a)离散时间信号；(b)数字信号f kt1t2t10012345678kt1t2t100k(a) 离 散 时 间 信 号(b) 数 字

3、 信 号f k 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 3.1.2 信号的取样 对连续时间信号进行数字处理，必须首先对信号进行取样。进行取样的取样器一般由电子开关组成。其工作原理如图3.2所示。 图3.2 取样原理图 脉冲调制x(t)y(t)Tx(t)y(t)p(t) 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 图 3.3 信号的取样 (a)连续信号x(t)波形；(b)取样脉冲p(t)波形；(c)取样信号y(t)波形p(t)tx(t)tTy(t)t(a)(b)(c) 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 上面实际取样所得出的取样信号在趋于零的极限情况下，将成为一冲激函数序列。这些冲激函数准

4、确的出现在取样瞬间,而它们的强度则准确地等于在取样瞬间的幅度，如图3.4所示。这就是理想取样信号。 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析图3.4 理想冲激取样信号波形ty (t)* 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 理想取样同样可以看作是连续时间信号对脉冲载波的调幅过程，因而理想冲激取样信号y*(t)可以表示为 (t-nT)只有在t=nT时非零。因此，上式中x(t)值只有当t=nT时才有意义，故有( )( )( )( )()ny tx t p tx ttnT(31) ( )( )() ()ny tx tx nTtnT（32） 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 3.1.3 取

5、样定理 是不是所有时间间隔的理想取样都能反映原连续信号的基本特征呢？答案是否定的，例如，有一个连续信号y(t)=sin(t)信号图如图3.5（a）所示。当取样间隔T=秒时所得的理想取样序列为y(nT)=sin(n)=0，其信号图如图3.5(b)所示。 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 图3.5 y(t)=sin(t)的信号图(d)6sin()(nnTyn022110 2 3 4 2345678910ty(t)sin( t)(a)0 2 3 4 2345678910ty(nT)sin( n)(b)y(nT)sin( n)0.51.522.533.540.5 1.5 02 (c)t 信号与

6、线性系统第3章 离散系统的时域分析 把连续的模拟信号经过取样、量化、编码、转变成离散的数字信号的过程称为模拟数字转换（A/D转换）；相反，由数字信号转变成模拟信号的过程称为数字模拟转换（D/A转换）。利用这样的转换，可以把模拟信号转换成数字信号，如图3.6所示。 图3.6 模拟信号转换成数字信号进行处理A/D转换器数字信号处理器D/A转换器模拟信号输入模拟信号输出 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析3.2 离散时间信号的表示离散时间信号的表示 3.2.1 序列的表示方法 序列本来就是离散时间信号或是从数字处理过程中得到的，所以序列不必以kT作为变量，而直接以x(k)表示一数字序列x的第k

7、个数字，k表示xk在数字序列x前后变量的序号，则x可以用公式表示为 x=x(k)k(-,) （33） 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 时域离散信号也常用图形描述，如图3.7所示，用有限长线段表示数值大小。虽然横坐标画成一条连续的直线，但xk仅对于整数值的k才有定义，而对于非整数值k没有定义，此时认为xk为零是不正确的。图3.7 离散信号的图形描述1023456789 101112345xkk 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 3.2.2 序列间的运算规则及符号表示 在数字信号处理中常常要在多个序列之间进行适当的运算，以得到一个新的序列。最基本的运算是序列相加、相乘以及延时。

8、(1)两序列的积：xy=x(n)y(n)=w(n) (2)两序列同一时刻的取值逐个对应相乘所形成的新序列，其运算符号如图3.8(a)所示。 (3)序列的加减：xy=x(n)y(n)=w(n)表示两序列对应的同一时刻取值逐一相加（或相减）所形成的新序列，其运算符号如图3.8(b)所示。 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 (4)序列的标乘：Ax=Ax(n)=y(n)表示序列x的每个取样值同乘以常数A所形成的新序列，其运算符号如图3.8(c)所示。 (5)序列的延时：若序列y(n)满足取值y(n)=x(n-n0)，则称序列y(n)是序列x(n)延时n0个取样间隔的复现，式中n0为整数。当n0

9、=1时，称为单位延时，其运算符号如图3.8(d)所示。 (6)分支运算：一个信号加到系统中两点或更多点的过程称为分支运算，其运算表示符号如图3.9（e）所示。 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 图3.8 离散时间序列的运算(a)序列相乘；(b)序列相加减；(c)序列标乘；(d)单位延时；(e)分支运算x(n)y(n)w(n)x(n)w(n)y(n)(a)(b)ax(n)y(n)x(n)y(n)Dx(n)y1(n)y2(n)(c)(d)(e) 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 图 3.9(a)(N)波形；(b)(n-m)波形 0n(n)(a)0n(n m)(b)11m 信号与线性

10、系统第3章 离散系统的时域分析 3.2.3 常用的典型序列 下面介绍几种常用的典型序列,它们在分析和表示更复杂的序列时起重要作用。 1. 单位序列0(0)( )1(0)nnn 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 2. 单位跃迁序列 当n0时，其序列的值为0，而当n0时，序列的值都为1，其波形图如图3.10(a)所示，而u(-n)的波形图如图3.10(b)所示。 0(0)( )1(0)nu nn 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 图3.10 u(n)Tu(-n)波形图(a)u(n)波形图；(b)u(-n)波形图 01231n011n2(a)(b)u(n)u( n) 信号与线性系统第

11、3章 离散系统的时域分析 例31 试用单位跃迁序列表示单位序列。 解 由 00( )10nu nn可知010(1)11000(1)1000( )10( )( )(1)nu nnnu nnnnnnu nu n 即 而 故 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例32 试用单位序列表示单位跃迁序列。 解 因为 00( )10nnn01(1)1102(2)1203(3)130()1nnnnnnnnnnmnmnm 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 显然我们可以把u(n)看作是无穷多个单位取样序列叠加而成的，故0( )()mu nnm 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例33 试用单

12、位序列表示矩形序列 解由图3.11所示的矩形序列图明显可见R(n)=u(n)-u(n-N),101( )00nNR nnnN010( )()( )()mNmu nnmR nnm 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析图3.11 矩形序列图012NnN11R(n) 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例34 试用单位取样序列表示如图3.12(a)所示序列。 解我们把(a)图看成(b)、(c)、(d)三个图幅度的叠加而成，则所求序列为 x(n)=x(1)(n-1)+x(2)(n-2)+x(-1)(n+1) 由以上几个例子我们不难归纳出如下结论： 任意序列都可以表示成多个甚至无穷多个经标乘的

13、延时的单位序列之和。 一般情况下，序列x(n)可表示为( )( ) ()mx nx mnm 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 图3.12 例34图 x( 1)x(1)x(2)012n 1x(1)012n 1(a)x( 1)012n 1(b)x(2)012n 1(d)(c)x(n) 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例35 试证x(n)=sin(n0)是一个周期序列。 证证 与周期信号的定义相类似，所谓周期序列，是指如果对于所有整数n，关系式x(n)=x(n+N)都成立，则称序列x(n)是周期为N的周期序列。因为 sin(n 0)=sin(n 0 2k) 令N 0 =2k即N=2

14、k/ 0时， x(n+N) =sin(n+N) 0 =sin n 0 +（ 2k/ 0 ） 0 =sin(n 0 2k) =sin(n 0 )=x(n) 所以，x(n)=sin(n 0 )是一个周期序列。 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析3.3 离散时间系统的描述和响应离散时间系统的描述和响应 3.3.1 离散时间系统的描述 离散时间系统的输入和输出信号都是离散时间函数（序列）。这种系统的工作情况，不能用连续时间系统的微分方程来描述，而必须采用差分方程来描述。 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例36假定每对兔子每月可以生育一对小兔，新生的小兔要过一个月才具有生育能力，若第一个

15、月只有一对新生小兔，求第n个月兔子对的数目是多少？并画出系统的模拟图。 解 令y(n)表示第n个月兔子对的数目。已知y(0)=0,y(1)=1,显然， y(2)=1,y(3)=2,y(4)=3,y(5)=5, 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 在第n个月时，应有y(n-2)对兔子具有生育能力，因而这批兔子要从y(n-2)对变成2y(n-2)对；此外，还有y(n-1)-y(n-2)对兔子没有生育能力（它们是在第n-1月新生的），仍按原来数目保留下来，于是可以写出 y(n)=2y(n-2)+y(n-1)-y(n-2)=y(n-1)+y(n-2) 或 y(n+2)=y(n+1)+y(n) （

16、35） 系统的模拟图如图3.13所示。 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析图3.13 例36的系统模拟图DDy(n) 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例37 一空运控制系统，用一台计算机每隔一秒钟计算一次某一飞机应有的高度x(n)，另外用一台雷达在以上计算的同时对此飞机实测一次高度y(n)，把应有高度x(n)与前一秒实测高度y(n-1)相比较得到一个差值，飞机的高度将根据此差值为正或负来改变。设飞机改变高度的垂直速度正比于此差值，即v=kx(n)-y(n-1)米/秒。求计算第n秒飞机应有的高度的关系式。并画出系统的模拟图。 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 图3.14

17、例37的系统模拟图Dkk1x(n)y(n) 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 解由题意可知，在飞机从第n-1秒到第n秒这1秒钟内飞机升高为 kx(n)-y(n-1)=y(n)-y(n-1) 经整理得 y(n)+(k-1)y(n-1)=kx(n) （36） 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例38一离散系统由延时单元，加法器和数乘器组成，如图3.15所示。其中激励信号为x(n)，响应信号为y(n)，试列出描述该系统的差分方程。 解 信号y(n)经延时单元输出为y(n-1)，围绕加法器可以写出 y(n)=x(n)-a1y(n-1) 即 y(n)+a1y(n-1)=x(n)或 y(n

18、+1)+a1y(n)=x(n+1) （37） 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析图3.15 例38的系统模拟图 Da1x(n)y(n) 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例39图3.16表示电阻梯形网络，其各支路的电阻都是R，每个节点对地的电压为U(n),n=0,1,2,3,4，N。已知两节点的电压U(0)=E,U(N)=0。试写出第n个节点的电压U(n)的关系式。 解 对于任一节点n-1，运用节点电流定律不难写出(1)( )(1)(2)(1)U nU nU nU nU nRRR 经整理后得出 U(n)=3U(n-1)-U(n-2)或U(n)-3U(n-1)+U(n-2)=0（3

19、8） 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析图3.16 电阻梯形网络RRRRRRRE012N 1N 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析图3.17 例39的系统模拟图DDy(n)3 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 在上面几个例子中的式（35）、（36）和（37）、（3）具有共同形式 a0y(n)+a1y(n-1)+a N-1 y(n-N+1)+aNy(n-N)=b0 x(n)+b1x(n-1)+b M-1 x(n-M+1)+bx(n-M) （39） a0y(n)+a1y(n+1)+a N-1 y(n+N-1)+aNy(n+N)=b0 x(n)+b1x(n+1)+b M-1 x(

20、n+M-1)+bMx(n+M （310） 利用求和符号可将式（39）和（310）缩写为0000()()()()NMkrkrNMkrkra y nkb x nra y nkb x nr(311) 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 3.3.2 常系数线性差分方程的求解方法 求解常系数线性差分方程的常用方法有以下几种。 1.迭代法 迭代法是采用代入初始值逐次求解的方法。 2.时域经典法 时域经典法与微分方程的时域经典解法类似，先分别求齐次解与特解，然后代入边界条件求待定系数。 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 3.分别求零输入响应与零状态响应 与连续时间系统的情况相类似，可以先利用求

21、齐次解的方法得到零输入响应，再利用卷积和（简称卷积）的方法求零状态响应。 4.变换域方法 利用Z变换求解差分方程有许多优点，它是在实际应用中最简便而有效的方法。我们在第六章将详细讨论它。 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 3.3.3 常系数线性差分方程的经典解 1.齐次解 当一般差分方程(311)中的x(n)及其移位项的系数br均为零时，那么该差分方程就成为齐次方程，其形式为0()0Nkka y nk（312） 0( )(1)()0Nkky nay na y nk 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 1) 特征根均为单根 如果N个特征根0，1，2，,N-2，N-1都互不相同，则差

22、分方程的齐次解（余函数）为10( )Nnciiiy nc（313） 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 ) 特征根有重根 如果1是特征方程的r重根，即有1=2=3=r，而其余N-r个根是单根，则差分方程的齐次解为 111( )rNr inncijjij ry ncnc （314） 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例310 已知差分方程 y(n)+5y(n-1)+6y(n-2)=0，y(0)=3,y(1)=1 试求它的齐次解。 解 该差分方程为齐次方程，其特征方程为2+5+6=0，可求得其解为1=-2，2=-3，它们都是单根代入（313）式，得该方程的通解 信号与线性系统第3章

23、离散系统的时域分析即 yc(n)=c1(-2)n+c2(-3)n y(0)=yc(0)=c1+c2=3 y(1)=yc(1)=-2c1-3c2=1所以，c1=10,c2=-7，于是方程的齐次解为 yc(n)=10(-2)n-7(-3)n（n0）1 1220( )Nnnnciiiy nccc 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例311已知差分方程 y(k)-6y(k-1)+9y(k-2)=0，y(0)=3,y(1)=3 试求它的齐次解。 解方程的特征方程为：2-6+9=0，解之得1=2=3；其 特征根为二重根，于是由（314）式可得该方程的通解 11211( )33rNr ikkkkci

24、jjij ry kckcc kc k 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 y(0)=yc(0)=c2=3 y(1)=yc(1)=(c1+c2)31=3 所以c1=-2,c2=3，于是方程的齐次解为 yc(k)=(3-2k)3k（k0） 当特征方程有共轭复根时，齐次解的形式可以是增幅、等幅或衰减形式的正弦或余弦序列。 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 2.特解 与常系数微分方程特解的求法相类似，差分方程特解的形式也与激励函数的形式有关。表31列出了几种典型的激励所对应的特解。选定特解后，把它代入到原差分方程，求出其待定系数，就得出方程的特解。 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分

25、析 表31 几种典型激励所对应的特解 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 3.全解 要求如式（311）的线性差分方程的完全解，一般步骤如下：()写出与该方程相对应的特征方程；()求出特征根，并写出其齐次解通式；()根据原方程的激励函数的形式，写出其特解的通式；()将特解通式代入原方程求出待定系数，确定特解形式；()写出原方程的全解的一般形式（即齐次解+特解）；()把初始条件代入，求出齐次解的待定系数值；()写出通解的最终表达式。 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例313 解差分方程 解 原差分方程的特征方程为2+2+2=0，因而其特征根为 齐次解为 ( )2 (1)2 (2)s

26、in, (0)1, ( 1)02ny ny ny nyy41,212jje 441212( )(2) ()(2) (cossin44jnjnnncy nc ec eAnAn 12( )sincos22nny nDD 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析212112121221(2)sin(2)cossin,2022212( )sincos5252( )( )( )12( )(2) (cossin)sincos445252cnDDnnnDDDDDDnny ny ny ny nnnnny nAA 所以原差分方程的全解为把初始值y(0)=1,y(-1)=0代入上式，求得待定系数为1231,55A

27、A3112( )(2) ( cossin)sincos54545252nnnnny n 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例314解差分方程 y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=x(n)+x(n-1) 其中 x(n)=(-2)nu(n),y(0)=y(1)=0 分析由于不同区间的激励信号不同，因而需要分区间讨论。 解 (1)当n0时， u(n)=0,x(n)=0,x(n-1)=0,原差分方程变为 y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=0 先解特征方程2+3+2=0，得1=-1,2=-2。所以 yc(n)=c1(-1)n+c2(-2)n，n0 (A) 信号与线性系统第3章 离散

28、系统的时域分析 考虑到已知初始条件y(0),y(1)不满足上式，由差分方程 y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=x(n)+x(n-1) 可推出 y(1)+3y(0)+2y(-1)=x(1)+x(0)=-2+1=-1 y(0)+3y(-1)+2y(-2)=x(0)+x(-1)=1 解 之得c1=2，c2=-3，代入（A）式得 y(n)=2(-1)n-3(-2)n,n0（B） 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析(2)当n=0时，y(0)=0。(3)当n1时，x(n)=(-2)n,x(n-1)=(-2)n-1，原差分方程变为 y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=(-2)n+(-2)

29、n-1先求齐次方程y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=0的齐次解 yc(n)=c1(-1)n+c2(-2)n再根据表3.1得出其特解y*(n)。 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 3.3.4 零输入响应和零状态响应 与连续信号的时域分析相类似，线性非时变离散系统的完全响应除了可以分为自由响应和强迫响应外，还可以分为零输入响应和零状态响应。 线性非时变系统的全响应将是零输入响应与零状态响应之和，即 在零输入情况下，式（311）等号右边的各项均为零，把差分方程化为齐次方程( )( )( )xfy ky kyk00()()0NNkrkra y nkb x nr 信号与线性系统第3章 离

30、散系统的时域分析 若其特征根均为单根，则其零状态响应 1( )nkxxiiiy kc 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例315若描述某离散系统的差分方程为 y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=f(k),f(k)=2k,k0 初始状态y(-1)=0，y(-2)=0.5，试用两种方法求解系统的全响应。 方法1该方程的特征方程为2+3+2=0，解之得1=-1,2=-2，则方程的齐次解为 yc(k)=a(-1)k+b(-2)k 根据激励信号f(k)的形式查表后得到特解y*(k)=D(2)k，把它带回原方程得 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 D(2)k+3D(2)k-1+2D(

31、2)k-2=2k 消去2k项后得到 D+1.5D+0.5D=12( )( 1)( 2)3kkky kab 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析3.4 卷积和卷积和 3.4.1卷积和的概念 我们已经知道 ，即线性非时变系统对任意离散信号x(n)，都可以表示成多个甚至无穷多个经标乘的延时的单位序列之和。( )( ) ()mx nx mnm( )( ) ()ky nx m h nm（316） 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 3.4.2 单位响应 1.经典解法 描述一阶系统的差分方程比较简单，而单位响应是零状态响应，对于因果系统当n0时，有h(n)=0,故可以用迭代法求出h(0)，h(1

32、)，,h(n)。 例316已知描述离散系统的差分方程为y(n)-0.5 y(n-1)=f(n)，试求其单位响应h(n)。 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 解根据单位响应的定义f(n)=(n)，单位响应h(n)满足方程 h(n)-0.5h(n-1)=(n)对于因果系统，n0时该系统的齐次解为1 122441210( )11()()221() (cossin)4421( 1)() (cossin)04421(0)() (cos0sin0)12kkjkjkkkh ncccecekkABhABABhABA 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 所以A=1，B=1则图3.18所示的系统的单

33、位响应11( )() (cossin)4421()2(coscossinsin)444421(1)()cos,042kkkkkh nkkkk 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例318 如图3.19所示的离散系统，试求其单位图3.19 例318图DD112f (n)y(n)712DD 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 2. 利用系统转移算子求法 表32 系统的转移算子及其对应的单位响应 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例319已知描述离散系统的差分方程为 y(n)-0.5y(n-1)=f(n)，试求其单位响应h(n)。 解 原差分方程即得 y(n+1)-0.5y(n)

34、=f(n+1) 先求系统的转移算子 ，由表32的第4号公式可以得到单位响应 。( )0.5sH ss1( )( )( )2nh nu n 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例320 利用系统转移算子求解图3.19离散系统的 解 根据图3.19可以列出描述该系统的差分方程2271( )(1)(2)( )(2)121271(2)(1)( )(2)( )121271() ( )(1) ( )1212y ny ny nf nf ny ny ny nf nf nssy nsx n 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析所以 22271311212( )171711212121274313121

35、21111112123434321451( )1113434ssH sssssssssH sss 由表3-2可知1132 145 1( )( )( )(1)( )(1)(0)3344nnh nnu ku kn 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例321 一离散时间系统用以下差分方程描述： y(n+2)-5y(n+1)+6y(n)=f(n+2)-3f(n) 试求系统的单位响应。 解 系统的的转移算子为 根据表32中的第1、5号公式可得系统的单位响应为 h(n) =(n)+63 n-1 u(n-1)-2 n-1 u(n-1) =(n)+(23n-2 n-1)u(n-1)2223( )565

36、961( )115632sH ssssH sssss 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 3.4.3 卷积和的计算 由卷积和的定义式( )( )( )( ) ()ky nx nh nx k h nk(317) 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例322已知x(n)和h(n)如图3.20所示，求它们的卷积和。 解 根据图3.14所示， h(0)=1,h(1)=2,h(2)=1,h(n)=0(n=3,4,5) 我们按照卷积计算的一般方法，如图3.21所示先将n换为k，即得xk和hk，再将hk反转为h-k；把h-k沿k轴平移n得到hn-k，分别对不同的n计算( )( )( ) ky n

37、x nh nx k h nk 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 其过程如图3.21所示，不难看出，当n2时，y(n)=8。以上结果可表示为 y(n)=x(n)*h(n)=(n)+5(n-1)+8u(n-2) 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 图3.20 例322图 0123456nx(n)01234nh(n)123123 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 图3.21 例322的图解说明 0123456kxk123kh k01221(a) 反转当 n0时,khn k0 n211当 n0时，y(0)111当 n1时， 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 图3.21 例

38、322的图解说明 khn k h k0 1 2211kh1 k0 12111当 n 2时 ，kh2 k021112y(2) 11 32 11 8当 n 3时 ，kh3 k021112y(3) 31 12 31 83 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 表33 常用函数的卷积和运算 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例323已知x(n)=anu(n)(0a1),h(n)=u(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。 解 由卷积的定义式(317)可知： ( )( )( ) kkky nx nh nx k h nka u k unk式中，k为求和变量。 由于当kn时，un-k=0,当0k

39、n时，ukun-k=1，所以求和区间应是0kn，故有 101( )( )1nnkkay nau na 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析3.4.4 卷积运算的基本规律 1.卷积的交换律 u(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n) 证明 由于 设l=n-k，则k=n-l,所以( )( )( )( ) ()ky nx nh nx k h nk( )() ( )( ) ()( )( )lly nx nl h lh l x nlh nx n 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 2.卷积的结合律 y(n)=x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h2(n)*h1(n)=x(n)*h

40、1(n)*h2(n) 式中的方括号表示在其中的两个序列优先作卷积运算。 证明 由图3.22可见 y(n) =x1(n)*h2(n) =x(n)*h1(n)*h2(n) =x(n)*h1(n)*h2(n) =x(n)*h(n) 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 上式中h(n)=h1(n)*h2(n)，又根据卷积的交换律h(n)=h2(n)*h1(n)，故又可得 y(n)=x(n)*h2(n)*h1(n) 卷积的结合律即得证。图3.22 三个LTI系统响应相同 h1(n)h2(n)h1(n)h2(n)x(n)x1(n)y(n)x(n)x2(n)y(n)h1(n) h2(n)*x(n)y(n

41、) 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 上式中h(n)=h1(n)*h2(n)，又根据卷积的交换律h(n)=h2(n)*h1(n)，故又可得 y(n)=x(n)*h2(n)*h1(n) 卷积的结合律即得证。 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 3.卷积的分配律 y(n)=x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)证明 12121212( ) ( )( )( ) ()()( ) ()( )()( )( )( )( )kkkx nh nh nx k h nkh nkx k h nkx k h nkx nh nx nh n 信号与线性系统第3章 离散系统

42、的时域分析 卷积的分配律表明两个并联系统的总单位响应h(n)为两个系统的单位响应的代数和，如图3.23所示。 图3.23 卷积的分配律h1(n)h2(n)h1(n) h2(n)y(n)x(n)y(n)x(n) 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例325对图3.24所示的两个线性非时变系统的级联，已知h1(n)=sin8n，h2(n)=anu(n)，|a|1，输入为 x(n)=(n)-a(n-1)，求输出y(n)。 图 3.24 h1(n)h2(n)x(n)y(n)y1(n) 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 解 显然y1(n)=x(n)*h1(n)，则输出信号y(n)=y1(n

43、)*h2(n)。根据卷积和的运算规则并参考表33的第1号公式 (n)*f(n)=f(n)及(n)=u(n)-u(n-1) 可以得到 y(n) =x(n)*h1(n)*h2(n) =(n)-a(n-1)*sin8n*anu(n) =(n)-a(n-1)*anu(n)*sin8n 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 =(n)*anu(n)*sin8n-a(n-1)*anu(n)*sin8n =anu(n)*sin8n-aan-1 u(n-1)*sin8n =an (u(n)-u(n-1)*sin8n =an(n)*sin8n =ansin8n 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例32

44、6图3.25所示的线性非时变系统的互联。试用h1(n)，h2(n)，h3(n)，h4(n)，h5(n)表示总的单位响应h(n)。 解 根据卷积和的运算规则，可知 h(n)=h2(n)-h3(n)*h4(n)*h1(n)+h5(n) 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 图 3.25 h1(n)h2(n)h4(n)h3(n)h5(n) 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 3.4.5 利用卷积和研究非时变系统的性质 性质1：证明线性非时变系统稳定的充分必要条件是单位响应绝对可和,即 证明 充分性：若h(n)满足 ，输入信号x(n)有界（即对所有的n，都有|x(n)|M）时输出信号也有界。

45、 因为系统的输出响应y(n)=h(n)*x(n)，根据卷积和的定义：( )nsh n ( )nsh n ( )( ) ()ny nh k x nk 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 即y(n)有界。该命题充分性得证。 必要性：若线性非时变系统稳定时，系统的单位响应h(n)绝对可和，即当输入信号x(n)对所有的n，都有|x(n)|M时输出信号也有界，|y(n)|N时h(n)满足所以 ( )( ) ()( )()( )nnny nh k x nkh kx nkMh k 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 反证法 假设 不成立时，即当 时，如果有界输入如下激励信号： ( )nsh n

46、( )nsh n ()( )0()( )0( )0hnh nhnx nh n其输出序列y(n)在n=0点的值为2( )(0)(0) ( )( )kkh kyxk h ksh k 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 例327 一个系统的单位响应为 试判断它的稳定性。 解 因为 1( )( )9 )2nh nu n112( )( )11212nnnsh n所以该系统是稳定的。 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 性质2 证明线性非时变系统是因果系统的充分必要条 例328一个系统的单位响应为h(n)=(4)nu(2-n)，试判断它的因果性。 解 当nM，请看图3.26。 信号与线性系统第

47、3章 离散系统的时域分析 图3.26 用图解法求任意有限长序列的卷积和 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 图3.26 用图解法求任意有限长序列的卷积和 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 由图3.26我们不难得出下面的结论： 当NM时001( )( ) ()() ( ) ( )0nknkMk n Ny nx k h nkx nk h kx NMk h k 其中n，M-1其中nM,N-1 其中nN,N+M-2n为其它值(318) 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 当NM时，只需要把x(N)与h(M)的自变量名互换一下即可得到与式(318)相类似的卷积和计算公式。 当N=M时

48、，进行类似的分析后可得到如下的卷积和公式：01( )( ) ()() ( )0nknk n Ky nx k h nkx NMk h k 其中n，M-1其中nN,2M-2 n为其它值(319) 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 3.5.2 计算机模拟流程图 经过上面的分析，我们再来看看我们需要计算机为我们做些什么：首先，计算机要读入两个有限长序列，把它们放在内存（或文件）中；然后，比较哪个序列的长度长（即找出N和M的关系）；最后，用式(318)或式(319)求出卷积和y(n),并输出y(n)。从而，计算机模拟程序的流程图如图3.27所示。 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析 图3.27 计算机模拟程序流程图开始分别读入两个数组x(N),h(M)N Mx(N)与 h(M)数值互换分配 y(i)M N2个内存i0i M N1输出 y(i)结束y(i)0i Ni Mk0k0k n N1k My(i) x(i k)h(k)k k1i i1k My(i) x(N( M k)h(k)k k1k ny(i) x(k)h(i k)k k1否是否否是是是否是否是否 信号与线性系统第3章 离散系统的时域分析