第二章 连续时间系统的时域分析1

1、第二章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析解题：解题：系统系统 连续时间系统连续时间系统 时域分析时域分析 =时域响应求解的方法时域响应求解的方法分析分析/求解：求解： 对象：线性常系数微分方程求解（系统的响应）对象：线性常系数微分方程求解（系统的响应）方法：方法：p 经典解法：齐次、解特解经典解法：齐次、解特解p 零输入响应、零状态响应解法零输入响应、零状态响应解法p 卷积法卷积法第二章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析主要内容：主要内容： 线性常微分方程求解（系统的响应）线性常微分方程求解（系统的响应）p 经典解法：齐次、特解经典解法：齐次、特解p 零输入

2、响应、零状态响应解法零输入响应、零状态响应解法p自由响应、强迫响应自由响应、强迫响应/暂态响应、稳态响应暂态响应、稳态响应p 冲激函数匹配法冲激函数匹配法p卷积法卷积法 冲激响应、阶跃响应冲激响应、阶跃响应 卷积的概念卷积的概念 、性质及运算、性质及运算 用卷积求系统的响应用卷积求系统的响应第二章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析全课主要内容全课主要内容 信号与系统基础知识信号与系统基础知识 信号：信号：概念概念 分类分类 系统：系统：概念概念 分类分类 （连续（连续 离散离散 LTI 稳定稳定 因果）因果） 信号分析信号分析 常用基本信号分析常用基本信号分析 信号的变换及运

3、算信号的变换及运算（时移、展缩、折迭、相加、相乘、（时移、展缩、折迭、相加、相乘、微分、积分、卷积）微分、积分、卷积） 信号时域频谱的对应关系信号时域频谱的对应关系 系统分析系统分析 连续时间系统分析连续时间系统分析 时域时域 变换域（傅立叶变换变换域（傅立叶变换 拉普拉斯变换）拉普拉斯变换） 离散时间系统分析离散时间系统分析 时域时域 变换域（傅立叶变换变换域（傅立叶变换 Z变换）变换）第二章所处位置N阶系统的微分方程模型：阶系统的微分方程模型：11101011( )( ) .( )( )( ) .( )nnmmnnmmnnmmddddar tar ta r tbe tbe tbe tdtd

4、tdtdt 系统输入输出模型的简历系统输入输出模型的简历你看出这样分析问题的方法了么？抽象成数学模型，然后寻找数学模型的统一解。不是就事论事。系统的方法系统响应（微分方程）的求解有哪几种方法系统响应（微分方程）的求解有哪几种方法 方法一：经典解法：齐次解、特解方法二：零输入响应、零状态响应 涉及：自由响应、稳态响应、暂态响应、稳态响应、零输入响应、零状态响应 以及 冲激函数匹配法2.3 微分方程求解方法一：经典解微分方程求解方法一：经典解 1、齐次解：是、齐次解：是1101( )( ).( )0nnnnnnddar tar ta r tdtdt的解。的解。常微分方程的齐次解由：常微分方程的齐次

5、解由： 形式的函数组成。形式的函数组成。tAe( )tr tAe0.011ttnntnnAeaeAaeAa0.011aaannnn称微分方程的特征方程。称微分方程的特征方程。n,.,21为特征根，也称系统的自然频率或固有频率。为特征根，也称系统的自然频率或固有频率。完全解完全解=齐次解齐次解+特解特解 微分方程的齐次解也称系统的微分方程的齐次解也称系统的自由响应自由响应。齐次解为：齐次解为：1( )( )nhi iir tc r t单根：单根：k重实根：重实根：一对单复根：一对单复根：m重复根：重复根：tcetkkttetctecec121.k,.,2, 1j2, 1tectecttsinco

6、s21j2, 1tetdttedtedtetcttectectmmtttmmttcos.sinsincos.coscos121121经典解：齐次解经典解：齐次解完全解完全解=齐次解齐次解+特解特解 书无表例：求以下微分方程的齐次的解：例：求以下微分方程的齐次的解：特征方程：特征方程：01330226234解：解：j3214, 32, 1方程的齐次解为：方程的齐次解为：432432( )6( )22( )30( ) 13 ( )( )ddddr tr tr tr tr te tdtdtdtdt221234( )cos3sin3ttttytc ec tec etc et齐注意：注意：1、系数待定、

7、系数待定 2、通过特征方程，微分方程转化成代数方程。、通过特征方程，微分方程转化成代数方程。经典解：齐次解经典解：齐次解二重实根二重实根一对单复根一对单复根完全解完全解=奇次解奇次解+特解特解 特解与输入特解与输入e(t)有关有关只讨论几种典型输入所对应的特解只讨论几种典型输入所对应的特解特解也称系统的特解也称系统的强迫响应强迫响应其系数代入方程可其系数代入方程可先先求得求得tec1ttec2tketc3cossinttetet当 输 入 为或时 ：)sincos(21tctcetj当不是特征根时：j当是特征单根时：)sincos(21tctctetmt当输入为 时0111.ctctctcmm

8、mm经典解：特解经典解：特解完全解完全解=奇次解奇次解+特解特解 te当 输 入 为时 ：当当不是特征根不是特征根当当是特征单根是特征单根当当是是k重特征根重特征根E当输入为常数 时B表2-3当输入为基本信号：当输入为基本信号：u(t), (t) 呢？呢？输入为输入为u(t)时，意味着时，意味着1；输入为输入为 (t)时，意味着时，意味着0，但改变，但改变0+条件条件注意：用方程本身可确注意：用方程本身可确定特解的系数。定特解的系数。或者说，特解系数不通或者说，特解系数不通过初始条件就能确定。过初始条件就能确定。经典解：特解经典解：特解特征根为：-1，-2完全解完全解=奇次解奇次解+特解特解

9、tttttttttetrcctetreteetrccetretetetedtdtrtrdtdtrdtdeteete)(, 1)(1)()2(21)(,21)(13)() 1 ()(2)()(2)(3)()()2( ,)() 1 (22特特特特代入方程可求得所以，特解为：是特征单根，代入右端：得代入方程可求得代入方程可求得所以，特解为：不是特征根，代入右端：得特解， 例：求以下微分方程的( )( )( )r trtrt齐特完全解齐次解特解齐次解的系数如何确定？齐次解的系数如何确定？ 利用附加利用附加初始条件初始条件对对完全完全解（解（而非仅齐次解而非仅齐次解）作用，）作用，从而确定齐次解中的系数

10、。注意：初始条件有跳变问题！从而确定齐次解中的系数。注意：初始条件有跳变问题！0- 0+问题：问题： 注意：在利用初始条件确定系数时，初始条件若是注意：在利用初始条件确定系数时，初始条件若是0-条件，条件，一要定转换成一要定转换成0+条件！条件！经典解：完全解经典解：完全解=齐次解齐次解+特解特解电容充电图输入为输入为u(t), (t) 注意：冲激函数会造成初始的零状态的改变！注意：冲激函数会造成初始的零状态的改变！0t 所求的是范围内的系统的响应1、（微分方程右端、（微分方程右端=0）求特征方程及其根）求特征方程及其根2、求齐次解（系数暂待定，不求出）、求齐次解（系数暂待定，不求出）3、求特

11、解（将特解带入方程两端，立即确定系数）、求特解（将特解带入方程两端，立即确定系数）4、齐次解与特解相加得到经典解法的完全解，利用初始条件确定系数、齐次解与特解相加得到经典解法的完全解，利用初始条件确定系数5、初始条件若是、初始条件若是0-条件，要转换成条件，要转换成0+条件条件经典解法解微分方程步骤经典解法解微分方程步骤特解为强迫响应，决定于系统特性和输入函数。特解为强迫响应，决定于系统特性和输入函数。齐次解为自由响应，决定于系统的特性。齐次解为自由响应，决定于系统的特性。齐次解、特解与自由响应、强迫响应的关系齐次解、特解与自由响应、强迫响应的关系 当微分方程用于系统的输入输出描述时，微分方程

12、的解就是系统的当微分方程用于系统的输入输出描述时，微分方程的解就是系统的响应。响应。按照响应的起因不同分类：按照响应的起因不同分类：零输入响应：由初始状态引起零输入响应：由初始状态引起零状态响应：由外加激励引起零状态响应：由外加激励引起按照系统的特性和输入信号的形式分类：按照系统的特性和输入信号的形式分类：自由响应：取决于系统的特征根自由响应：取决于系统的特征根强迫响应：取决于外加激励的形式强迫响应：取决于外加激励的形式按照响应的变化形式分类：按照响应的变化形式分类：暂态响应：随着暂态响应：随着t的增长，响应最终趋于的增长，响应最终趋于0稳态响应：随着稳态响应：随着t的增长，响应恒定或保持为某

13、个稳态函数的增长，响应恒定或保持为某个稳态函数微分方程解的分类微分方程解的分类 零输入响应求解：零输入响应求解：微分方程等号右端为微分方程等号右端为0（表示（表示0输入）输入）求齐次解求齐次解与初始状态条件联立（不考虑初始条件跳变，本来也没跳变），求得齐与初始状态条件联立（不考虑初始条件跳变，本来也没跳变），求得齐次解的系数（次解的系数（零输入解：初始状态起作用）零输入解：初始状态起作用） 零状态响应求解：零状态响应求解：在输入条件下，求得微分方程的在输入条件下，求得微分方程的全解全解齐次解的系数由全解的零初始条件确定，即齐次解的系数由全解的零初始条件确定，即(1)(2)(0 )(0 )(0

14、).0rrr 注意：自由响应、强迫响应与零输入响应、零状态响应无对应关系。注意：自由响应、强迫响应与零输入响应、零状态响应无对应关系。2.5（先讲）微分方程求解方法二：零输入响应（先讲）微分方程求解方法二：零输入响应/零状态响应解法零状态响应解法完全解完全解=零输入解零输入解+零状态解零状态解 注意：由于有输入，考虑注意：由于有输入，考虑0-到到0+ 的跳变！的跳变！222221212:( )4( )3 ( )( )( )( ), (0 )1, (0 )1( )4( )3 ( )00(0 )1, (0 )143013( )tziddr tr tr te tdtdte tu t rrddr tr

15、 tr tdtdtrrr tc ec 例：求以下微分方程的解解：零输入响应（方程右端的输入变成0，由初始状态引起的）：因为没有输入，不引起状态变化，用条件：特征方程：，3312, (0 )1, (0 )12,1,( )(2) ( )tttzierrccr teeu t 微分方程求解方法二：零输入响应、零状态响应微分方程求解方法二：零输入响应、零状态响应22312+312( )4( )3 ( )1(0 )(0 )0, (0 )r (0 )0,11),312),(0 )0, (0 )0311111,)() ( )26263zsttzsttzsddr tr tr tdtdtrrrrtBBrtbeb

16、errbbrteeu t 特零状态响应：初始值无跳变。（）特解：（代入方程得，（ ）全解： （联立（22( )4( )3 ( )( )ddr tr tr te tdtdt！注意，输入可能会引起注意，输入可能会引起0初始条件跳变，在这里一初始条件跳变，在这里一定要考虑！定要考虑！3( )(2) ( )ttzir teeu t3111)() ( )263ttzsrteeu t （3351)() ( )263ttzizsr trtrteeu t全响应：（暂态响应稳态响应100t求零状态响应注意：、求零状态响应时，必须先由系统的条件导出系统的初始条件2、当微分方程的右端含有（）及其导数时，初始条件将产

17、生跳变。微分方程求解：零输入响应、零状态响应微分方程求解：零输入响应、零状态响应+2例输入为输入为u(t)时，意味着时，意味着1；输入为输入为 (t)时，意味着时，意味着0，但改变，但改变0+条件条件解决初始条件跳变的办法：函数匹配法： 在输入出现冲激函数时，初始状态发生变化。用 函数匹配法确定变化后的初始状态。2.4 起始点的跳变起始点的跳变22-22-212-2-12:( )4( )4 ( )( )3 ( )( )( ), (0 )1, (0 )2,( )4( )4 ( )0(0 )1, (0 )2,440-2( )(), (0 )ttzidddr tr tr te te tdtdtdte

18、 te u t rrddr tr tr tdtdtrrr tctc er例：求系统的零输入响应和零状态响应解：零输入响应：为零的输入不会引起初值变化。特征方程：，-2121, (0 )24,1,( )(41)( )tzirccr tte u ttkkttetctecec121.k,.,2, 1K重实根：(0 )0, (0 )00(0 ), (0 )2( ),trrtrrte u t 零状态响应：初始状态为零，即的响应是零状态响应。但要求的是的解，而可能由于输入含有冲激函数而发生变化。将输入代入方程右端，得（有冲激。( )( )te te u t22( )4( )4 ( )( )3 ( )ddd

19、r tr tr te te tdtdtdt怎么办？有阶跃跳变。到说明积分结果为阶跃函数，导数，与右端不符。激函数的阶匹配，高阶则出现冲与最高阶匹配。若与低00函 数 匹 配 法 ：最高阶导数对应最高阶函数项。函数项。222222( )4( )4 ( )2( )( )( )( ),( )( )( )( )( )( ),1tddr tr tr tte u tdtdtdr tatb u tdtdr ta u tdtr tddr tr tr tadtdt 零状态响应求解时，要用到：（设：两边进行不定积分：为连续的，不用写，把、表达式带入方程得( )( )4( )2( )1atb u ta u ttu

20、ta （则：函 数 匹 配 法 ： 把 假 设 的 量 带 入 方 程 ：函数匹配法与最高阶匹配222121200(0 )(0 )1(0 )1(0 )00( )4( )4 ( )21),2)2( )2)()2( ),01,2,tttzszsttzszsrrrrddtr tr tr tedtdtZSrtBeBrte u tZSrtbtb ee u tbbrt 特特对每一项从到的定积分：右端，不变。时，方程变为：（）特解：（代入方程得，（ ）全解： （联立条件得（2)(2)2 ( )ttteeu t 完全解完全解=零输入解零输入解+零状态解零状态解2( )(41)( )tzir tteu t2(

21、)( )( )(31)2 ( )ttzizsr tr trtteeu t22( )( )( )dr tatb u tdt ( )( )dr ta u tdt ( )( )tu t没了，也不写了22( )3( )2 ( )( )4 ( )dddr tr tr te te tdtdtdt系统的微分方程：3( )( )(0 )1, (0 )2te teu trr求求:齐次解、特解、零输入响应、零状态响齐次解、特解、零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应、稳态响应、应、自由响应、强迫响应、稳态响应、暂态响应、完全响应。暂态响应、完全响应。全求出！全求出！先理思路先理思路对系统线性的进一步认识对系统线性的进一步认识 由常系数线性微分方程描述的系统在下述意义上由常系数线性微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。是线性的。(1)(1)响应可分解为：零输入响应零状态响应。响应可分解为：零输入响应零状态响应。(2)(2)零状态线性：零状态线性：当起始