8.2点积叉积2011.3.15

1、 第八章第八章第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1M一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,W1. 定义定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积 (点积) .引例引例. 设一物体在常力 F 作用下, F位移为 s , 则力F 所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为baba,s 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 cosa ba b 变形公式：cosa ba b Prbbj aPraaj bcosa ba b Pr

2、aj b Prbj a a ba a bb 1. 2. 又 a a 2a3. 0baba 4. 0,0ba则 i i 1j j 1k k 1i j 0j k 0k i 05. 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 (1) 交换律(2) 结合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事实上, 当0c时, 显然成立 ;时当0ccbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb2. 运算律运算律 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例1：已知0abc, ,a b c a bb cc

3、a 且为单位向量，求解： abcabc02c a 2b c 2a b 2c2b2a所以a bb cc a 22212abc32 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 设则, 10zzyyxxbababa当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,两向量的夹角公式 , 得3. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 )(MB, )(MA BM例例2：

4、已知三点, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB. A解解:, 1, 1 0, 1,0 1则AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故例例3 3：求向量2,2,1a 2,1,2b 在上的投影解：Prbj a 83a bb 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba思考思考: 右图三角形面积abba21S1. 定义定义 二、两向量的向量积二、两向量的向量积 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 为非零向

5、量, 则，0sin0或即aa0, a b 0baba,0,0时当baba0basinab0讨论讨论:sinabbaii 0jj0kk0ij kjkiki j2. 变形公式变形公式 1. 2. 3. ikj4. 提供了一个求同时与两个向量垂直的向量的方法 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 3. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律cba )(cbcaba )()( ba)(baa bb a(1) 反交换律反交换律 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 )(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则,kajaiaazyx,kbjb

6、ibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 行列式行列式二元方程组11 1122121 12222a xa xba xa xb求该方程组的解消元得112212211122212112212212211121a aa axbab aa aa axb aba上式左端系数可用行列式表示11122122aaaa11122122,aaaa分别叫做元素，竖排叫列横排叫行，i

7、 ja, i j中分别叫做行数和列数11221221a aa a 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 如23127 83327 111213212223313233aaaaaaaaa22233233aaaa11a12a21233133aaaa13a21223132aaaa按第一行展开如2124312354323241253135210 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1233122313123321231322118 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(

8、jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例4：求同时垂直于2,2,1a 4,5,3b 和的单位向量解：c i1j2 k221453ijkec11, 2,23cc2ab 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 , )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面积 . 解解: 如图所示,CBASABC12kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三例例5. 已知三点 目录 上页 下

9、页 返回 结束高等数学高等数学 设1. 向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba内容小结内容小结 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2. 向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0ba0ba 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 思考与练习思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法证明正弦定

10、理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 证证: 由三角形面积公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因ABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACBBabcAC 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 22343cos322)2(17备用题备用题1. 已知向量的夹角且解：解：,43ba ,. |ba求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 22200)2(211ABCD在顶点为三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 边上的高 BD .解：解：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面积为 |21ABACS21S| AC| BD5211| B