行星轨道和位置上海交通大学数学系PPT学习教案

1、会计学1行星轨道和位置上海交通大学数学系行星轨道和位置上海交通大学数学系 他以几乎神一般的思维力他以几乎神一般的思维力, ,最先说明了行星的最先说明了行星的运动和图像运动和图像, ,慧星的轨道和大海的潮汐慧星的轨道和大海的潮汐. . Newton 墓志铭墓志铭第1页/共33页背景介背景介绍绍 哥白尼(波兰，1473-1543) 日心说地球地球我们的家园 金星金星看起来最亮的行星46亿岁 ,赤道半径6378.14公里，比极半径长21公里 半径约为6073公里, 表面温度高达465至485度 ,自转方向与其它行星相反 16世纪前，人们认为太阳只有6大行星 托勒密（古希腊） 地心说 第2页/共33页

2、土星土星最美丽的行星木星木星行星中的巨无霸火星火星离地球最近、人们最关注的行星：半径为2440公里 , 较小，难以观察 水星水星距太阳最近的行星火星上有无生命？ 卫星数目最多,23颗. 光环由无数块冰状物组成的 赤道半径约为71400公里，是地球的11.2倍 第3页/共33页开普勒开普勒(1571(15711630)1630) (观察分析数据) 3.行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴行星运行三大规律行星运行三大规律1. 行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆;2. 从太阳指向某一行星的线段在单位时间内的立方之比值是不随行星而改变的常数.扫过的面积相同;在第谷布拉赫(1546-1601)的基

3、础上提出第4页/共33页 万有引力定律万有引力定律 冥王星冥王星离太阳最远、未知数最多的行星天王星天王星乐师(Herschel)发现的行星 (1781)海王星海王星笔尖上的行星(Adams 1845, Leverrier 1846)“自然哲学的数学原理” (1687 牛顿) 2006年8月24日国际天文学联合大会决定：冥王星降级为“矮行星” (大行星的定义) 太阳只有八大行星！第5页/共33页第6页/共33页实际问题实际问题度为2.929104 m/s,试求: 1) 地球距太阳的最近距离 地球距太阳最远处(远日点)距离为1.5211011 m,此时地球绕太阳运动(公转)的速2) 地球绕太阳运转

4、的周期 3) 在从远日点开始的第100天结束时,地球的位置与速度第7页/共33页行星运动轨迹位于一个平面上 把太阳置于坐标系的原点，记行星的位置向量为 rrGMmamF30/arra于是，000)(ddarvvarvrvrt因为由牛顿第二运动定律及万有引力定律得所以常向量）(hvr即hr，故行星位于一个过原点且垂直于 的平面上.htrr，那么行星的速度为 ，加速度为 .rvra 第8页/共33页数学模型数学模型 在运动学中常采用复坐标系(点用复数表示) i)(retZ)ddidd(ddiddddiiitrtretreetrtZ速度为)dddd2dd( i)dd(dd(dd22222i22ttr

5、trtrtretZ加速度设太阳中心所在位置为复平面之原点,在时刻t,行星位于以下复数代表的点第9页/共33页 根据 Newton 第二定律第二定律22i2ddtZmermMG)dddd2dd( i)dd(dd(22222ii2ttrtrtrtrmeermMG比较虚实部导出微分方程组22ddd20dddrrttt2222)dd(ddrMGtrtr第10页/共33页 方程初始条件 0)dd(dd2trt12ddCtrttttCttr2ddd2112导出行星运行第二定律00rrt00t0dd0ttr000ddrvtt（后两个如 何得到？）右边正是面积第11页/共33页轨道方程轨道方程请尝试推导出行星

6、的轨道方程？cos1 epr( p,e 是常数,根据相关已知数据导出)tCr12d改写前面积分表达式成为101212d)cos-(11TpCe给出时间T1，要求位置即求出1与r，较难！第12页/共33页求解思路求解思路201( )d(1- cos )Fe112-2-211d(1- cos )(1- cos) +(1- cos) 2kkkkkkFFehee00,(),kkkFFFkh1 11 1122,nnCTCTFFpp第13页/共33页function m5_1(h)ep=0.01672;C1=4.455e15;p=1.496e11;T1=100*24*3600;f=C1*T1/p2;the

7、ta(1)=0;F(1)=0;for i=2:1e6 theta(i)=theta(i-1)+h; F(i)=F(i-1)+h*(1-ep*cos(theta(i-1)-2+(1-ep*cos(theta(i)-2)/2; if F(i)f break; endendn=i-2t=n*hr=p/(1-ep*cos(t)dtheta=C1/r2v=r*dthetaMatlab程序程序第14页/共33页hnrv0.05331.65001.49402.98190.011681.68001.49442.98340.0053371.68501.49322.98360.00116861.68601.493

8、12.9837表1其中h,n, , r,v单位分别为 s,次，弧度， m, m/s7101110410第15页/共33页12ddCtr21dtdrC代入2222)dd(ddrMGtrtr232122ddrMGrCtr再设qtrdd代入上式得2321ddrMGrCtq数值方法数值方法将高阶微分方程降阶为一阶方程组再离散化第16页/共33页211kkkrhCEuler 迭代格式迭代格式kkkhqrr1)(23211kkkkrMGrChqq000000qrr221nn计算到第n 步nhT 得到周期由时间T1易得到，r第17页/共33页 将计算所得的数据， 利用 Matlab 作图可得轨道图形轨道图形

9、第18页/共33页改进改进 Euler 迭代格式迭代格式对上面方程组用改进Euler 迭代格式)(11(22*1211kkkkrrhCkkkhqrr*1其中任务：写出这方程组的改进Euler迭代格式并用Matlab 实现第19页/共33页 艾萨克 牛顿 Sir Isaac Newton (英格兰 16431727年) 物理学家 数学家 天文学家哲学家 炼金术士 造币厂总监 科学史上最有影响力的人 较之科学他更多致力于圣经的研究 专心于科学研究到痴情 第20页/共33页 What Descartes did was a good step you have added much several

10、ways & especially in taking the colors of the thin plates into philosophical consideration. If I have seen further it is by standing on the shoulders of Giants. 牛顿的一句名言 性格内向 独身一生 第21页/共33页 在确定行星轨道为椭圆以后可取 t = T/4 （需要取比较小的步长h）近日点的确定近日点的确定处 r 的值为近日点，也可以求 r 的最小值作为近日点距离 相应点的速度怎么求 ？dtdrv回到方程组21rCdtdrCv1第2

11、2页/共33页 可以求得地球的近日点距太阳rmin = 1.4711011 m而在第100天结束时的位置，则只要求这个时间tk所对应的 rk 就可以了，此时r = 1.4931011 m第23页/共33页微分方程的微分方程的 Runge-kutta 方法方法以一元为例00),(xxxtfdtdxt设步长为h,则)(kkktxx,kht记（Taylor 展开展开）)(1htxxkk )(! 3)(! 2)()(32kkkktxhtxhtxhtx其中),()(kkkxtftx)(),(),()(kkkxkktktxxtfxtftx ),(),(),(kkkkxkktxtfxtfxtf可以求出各阶导

12、数第24页/共33页计算高阶导数 代之以 f 在一些点的值的组合当Taylor 展开到四阶项，可取)61626261(43211KKKKhxxkk其中),(1kkxtfK ),(34hKxhtfKkk)2/, 2/(12hKxhtfKkk)2/, 2/(23hKxhtfKkkRunge-Kutte迭代格式在Matlab可以直接调用第25页/共33页function dy=m5_2_fun(t,y)C1=4.455e15;MG=1.989e30*6.672e-11;dy=zeros(3,1);dy(1)=C12/y(2)3-MG/y(2)2;dy(2)=y(1);dy(3)=C1/y(2)2;先

13、定义一阶微分方程组函数组 第26页/共33页再调用Runge-kutte方法专用程序：function T=m5_2(h)t,y=ode45(m5_2_fun,0:h:400*24*3600,0,1.521e11,0);n=max(find(y(:,3)2*pi); %查找小于2pi所对应的最大n值T=t(n);r=y(round(n/2),2);polar(y(:,3),y(:,2)第27页/共33页hTTr0.013.1500364.581.47100.0053.1550365.161.47100.00053.1555365.221.47100.00013.1559365.231.4710表2m两个小软件展示两个小软件展示第28页/共33页实验任务实验任务 任务2.水星距太阳最远处距离为0.69821011m, 此时水星绕太阳运行的线速度为3.886104 m/s,画出水星绕太阳运行的轨道曲线,试求: 1) 水星绕太阳运行的周期 2) 水星到太阳的最近距离 3) 求从远日点开始的第50天(地球天) 结束时水星的位置第29页/共33页任务4. 冥王星在1989年10月处于近日点距太阳44.