例谈三棱锥的一个简单性质的应用

1、例谈三棱锥的一个简单性质的应用本文结合几道高考试题，对三棱锥的一个简单性质在 求锥体体积问题中的运用予以介绍 .预备知识 三角形一边的中线将原三角形分成的两个三角形的面 积相等 .如图，已知点D是厶ABC的边BC上的中点，则由三角 形的面积公式易知 SAABD=S ACD.定理经过一个三棱锥中没有公共点的两条棱中一条棱 的中点和另外一条棱的平面，将该三棱锥截成体积相等的两 部分.如图， 已知在三棱锥 S-ABC 中，点 D 是 SA 的中点， 所 以由预备知识得： SA ABD=S BDS.设C到平面SAB的距 离为 h,贝y VS-BCD=VC-BDS=13S BDSh , VA-BCD=V

2、C-ABD=13S AABDh ，所以 VS-BCD=V A-BCD.下面就举例来谈谈这一性质在求三棱锥的体积中的运 用.例 1（2010 陕西文 18）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底 面 ABCD 是矩形，PA丄平面 ABCD , AP=AB , BP=BC=2 , E, F分别是PB, PC的中点.(I)证明：EF /平面PAD ;(H) 求三棱锥 E-ABC的体积 V(I) 证明略；(H) 分析： 如图，连接 AC ，AE ，C E ，由矩形 ABCD 知三棱锥P-ABC的体积是四棱锥 P-ABCD体积的12.由E为 PB 的中点知三棱锥 E-ABC 的体积是三棱锥 P-ABC 体

3、积的 12.于是，三棱锥E-ABC的体积V是四棱锥P-ABCD的体积 的 14.解连接 AC , AE , CE由 PA丄平面 ABCD , AP=AB , BP=BC=2 ， 知： AP=AB=2.所以 VP-ABCD=13SABCD?AP=13?22?2=43.由矩形 ABCD知VP-ABC=12VP-ABCD.又E为PB的中 点，八)所以 VE-ABC=12VP-ABC=14VP-ABCD=14?43=13.例 2(2012 全国课标理 11)已知三棱锥 S-ABC 的所有 顶点都在球0的球面上， ABC是边长为1的正三角形， SC为球0的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为().A.26

4、B.36C.23D.22分析如图，连接 AO , B0.因为0是SC的中点，所以三 棱锥 S-ABC 的体积是三棱锥 0-ABC 体积的 2倍，于是求出 三棱锥 0-ABC 的体积即可知道三棱锥 S-ABC 的体积 .解连接AO , B0,取AB的中点D，连接0D , CD，作00 丄CD，垂足为O因为0A=0B=0C=1 , ABC是边长为1的正三角形，所以 C0 =2312- (12) 2=33.所以 00 =12- (33) 2=63.又 SA ABC=12?1?1?sin60 =34,所以 VS-ABC=2V0-ABC=2?13?34?63=26.例3( 2012辽宁文18)如图，直三

5、棱柱 ABC=A B C, / BAC=90 ，AB=AC=2，AA =1，点 M , N 分别为 A B 和B C的中点.(I)证明：MN /平面 A ACC(H) 求三棱锥A -MNC的体积.(I) 证明略；(H) 分析：如图，连接BN，由M为A B的中点知 三棱锥 A -MNC 的体积是棱锥 A -BNC 体积的 12.解连接 BN.因为/ BAC=90 , AB=AC=2 , AA =1,所 以 BC= ( 2) 2+( 2) 2=2.又N为B C 的中点，所以 SAABC=12?2?仁1 , A N=1 ，因三棱柱 ABC-A B C是直三棱柱，所以A N丄平面A ACC.所以由M为

6、A B的中点VA -MNC=12V A -BCN=12?13?1?1=16.例 4( 2013 年高考安徽(文) )如图，四棱锥 P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，/ BAD=60 .已知PB=PD=2， PA=6.(I)证明： PC丄BD.(H) 若E为PA的中点，求三棱锥 P-BCE的体积.(I) 证明略.(n)分析：如图，E为PA的中点，所以三棱锥P-BCE 的体积是三棱锥 P-ABC的体积的12.连接AC，则三棱锥 P-ABC 的体积是四棱锥 P-ABCD 的体积的 12，于是三棱锥 P-BCE 的体积是四棱锥 P-ABCD 的体积的 14.解连接AC交BD于0,连接PO.因为四边形 ABCD是 菱形，所以BD丄AC , B0=D0.又PB=PD，所以BD丄P0. 又 AB=AD=2，/ BAD=60 ，所以 B0=1.所以 PO2=3 ,AO2=3. 又PA2=6，所以PA2=PO2+AO2.所以AC丄P0.所以P0丄底 面 A