《实际问题与一元二次方程》面积问题

1、21.321.3 实际问题与一元二实际问题与一元二 次方程次方程（三）（三）面积问题面积问题复习：复习：列方程解应用题有哪些步骤列方程解应用题有哪些步骤对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题。才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题。上一节，我们学习了解决上一节，我们学习了解决“平均平均增长增长( (下降下降) )率问题率问题”，现在，我们要学习解，现在，我们要学习解决决“面积、体积问题面积、体积问题。一、复习引入一、复习引入 1直角三角形的面积公式是什么？直角三角形的面积公式是什么？ 一般三角形的面积公式是什么呢？一般三角

2、形的面积公式是什么呢？ 2正方形的面积公式是什么呢？正方形的面积公式是什么呢？ 长方形的面积公式又是什么？长方形的面积公式又是什么？ 3梯形的面积公式是什么？梯形的面积公式是什么？ 4菱形的面积公式是什么？菱形的面积公式是什么？ 5平行四边形的面积公式是什么？平行四边形的面积公式是什么？ 6圆的面积公式是什么？圆的面积公式是什么？ 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27,宽宽21,正中正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下上、下边衬等宽边衬

3、等宽,左、右边衬等宽左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的应如何设计四周边衬的宽度宽度?2721分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的依题知正中央的 矩形两边之比也为矩形两边之比也为9:7解法一解法一:设正中央的矩形两边分别为设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm依题意得依题意得21274379 xx解得解得 2331x),(2332舍去不合题意x故上下边衬的宽度为故上下边衬的宽度为:左右边衬的宽度为左右边衬的宽度为:8 . 143275422339272927 x4 . 143214222337212721 x分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:

4、7,正中央的矩形两边之比也为正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7解法二解法二:设上下边衬的宽为设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为，左右边衬宽为7xcm 依题意得依题意得212743)1421)(1827(xx解方程得解方程得4336x方程的哪个根合方程的哪个根合乎实际意义乎实际意义?为什么为什么?例例1. 学校为了美化校园环境，在一块长学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽米、宽7米米的长方形花圃的长方形花圃.（1）若请你在这块空

5、地上设计一个长方形花圃，）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案方案.（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由请说明理由.应用解解: (1) 方案方案1：长为：长为 米，宽为米，宽为7米米;719方案方案2：长

6、为：长为16米，宽为米，宽为4米米;方案方案3：长：长=宽宽=8米米;注：本题方案有无数种注：本题方案有无数种（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加圃面积不能增加2平方米平方米.由题意得长方形长与宽的和为由题意得长方形长与宽的和为16米米.设长设长方形花圃的长为方形花圃的长为x米，则宽为（米，则宽为（16-x）米）米.x(16-x)=63+2， 即即x2-16x+65=0，046514)16(422acb此方程无解此方程无解.在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加能增加2平方米平方米1 1、

7、用、用20cm20cm长的铁丝能否折成面积为长的铁丝能否折成面积为30cm30cm2 2的的矩形矩形, ,若能够若能够, ,求它的长与宽求它的长与宽; ;若不能若不能, ,请说明理请说明理由由. .解解:设这个矩形的长为设这个矩形的长为xcm,则宽为则宽为 cm,)220(x30)220( xx即即x2-10 x+30=0这里这里a=1,b=10,c=30,0203014)10(422acb此方程无解此方程无解.用用20cm长的铁丝不能折成面积为长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形的矩形.练习练习2 2：某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长32米米,宽宽20米的长方形场

8、地上修筑若干条道路米的长方形场地上修筑若干条道路,余余下部分作草坪下部分作草坪,并请全校同学参与设计并请全校同学参与设计,现在现在有两位学生各设计了一种方案有两位学生各设计了一种方案(如图如图),根据两根据两种设计方案各列出方程种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分求图中道路的宽分别是多少别是多少?使图使图(1),(2)的草坪的草坪面积面积为为540540米米2 2. .(1)(2)(1)解解:(1):(1)如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米， 则则540)220)(232(xx化简得，化简得，025262xx0) 1)(25(xx1,2521xx其中的其中的 x=25x=25超

9、出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去. .图图(1)(1)中道路的宽为中道路的宽为1 1米米. .则横向的路面面积为则横向的路面面积为 ，分析：此题的相等关系是矩形面积分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于减去道路面积等于540540米米2 2。解法一、如图，设道路的宽为解法一、如图，设道路的宽为x x米，米，32x 32x 米米2 2纵向的路面面积为纵向的路面面积为 。20 x 20 x 米米2 2注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是 x x2 2 米米2 2所列的方程是不是所列的方程是不是32 20 (3220 )540 xx图中的道路面积不是图中的道

10、路面积不是3220 xx米米2 2。(2)而是从其中减去重叠部分，即应是而是从其中减去重叠部分，即应是23220 xxx米米2所以正确的方程是：所以正确的方程是：232 203220540 xxx化简得，化简得，2521000,xx其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去. .取取x=2x=2时，道路总面积为：时，道路总面积为：232 2 20 2 2 =100 (米米2)草坪面积草坪面积= =32 20 100= 540（米（米2）答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2 2米。米。122,50 xx解法二：解法二： 我们利用我们利用“图形经过移

11、动，它的图形经过移动，它的面积大小不会改变面积大小不会改变”的道理，把纵、的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）工，仍可按原图的位置修路）(2)(2)横向路面横向路面 ，如图，设路宽为如图，设路宽为x x米，米，32x32x米米2 2纵向路面面积为纵向路面面积为 。20 x20 x米米2 2草坪矩形的长（横向）为草坪矩形的长（横向）为 ，草坪矩形的宽（纵向）草坪矩形的宽（纵向） 。相等关系是：草坪长相等关系是：草坪长草坪宽草坪宽=540=540米米2 2(20-x)

12、(20-x)米米（32-x)32-x)米米即即3220540.xx化简得：化简得：212521000,50,2xxxx再往下的计算、格式书写与解法再往下的计算、格式书写与解法1 1相同。相同。3.如图是宽为如图是宽为20米米,长为长为32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑要修筑同样宽的三条道路同样宽的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂且互相垂直直),把耕地分成六块大小相等的试验地把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验要使试验地的面积为地的面积为570平方米平方米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?解解: :设道路宽为设道路宽为x x米，米， 则则570)220)(232(

13、xx化简得，化简得，035362xx0) 1)(35(xx1,3521xx其中的其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为1米米.4.如图如图,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周四周外围环绕着宽度相等的小路外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为已知小路的面积为246m2,求小路的宽度求小路的宽度.ABCD解解: :设小路宽为设小路宽为x x米，米， 则则2015246)215)(220(xx化简得，化简得，01233522xx0)412)(3(xx241,(321xx舍去）答答:小路的宽为小路的宽为3米米.1.如图（如图

14、（1），宽为），宽为50cm的矩形图案由的矩形图案由10个全等的小长方个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为形拼成，则每个小长方形的面积为【 】 A400cm2 B500cm2 C600cm2 D4000cm22. 在一幅长在一幅长80cm，宽，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图（色纸边，制成一幅矩形挂图，如图（2）所示，如果要使）所示，如果要使整个挂图的面积是整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为，设金色纸边的宽为xcm，那么那么x满足的方程是满足的方程是【 】 Ax2+130 x-1400=0 Bx2+65x-350

15、=0 Cx2-130 x-1400=0 Dx2-65x-350=080cmxxxx50cmAB图（图（1）图（图（2）补充练习补充练习3.如图，面积为如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积为的正方形的四个角是面积为2m2的小正方形，用计算器求得的小正方形，用计算器求得a的长为（保留的长为（保留3个有效个有效数字）数字）【 】A2.70m B2.66m C2.65m D2.60mCa4如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围，所围的面积为的面积为150m2，则此长方形鸡场的长