2021年陕西省西安市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

1、2021年陕西省西安市高考数学一模试卷理科一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1在复平面内，两共轭复数所对应的点A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称D关于直线y=x对称2集合M=1，0，1，N=x|x=ab，a，bM，且ab，那么集合M与集合N的关系是AM=NBMN=NCMN=NDMN=3两个单位向量的夹角为45，且满足，那么实数的值为A1BCD24直线x+2y5+=0被圆x2+y22x4y=0截得的弦长为A1B2C4D45将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，

2、不同的安排方案共有A12种B10种C9种D8种6某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是，那么正视图中的x的值是A2BCD37函数y=sin2x+的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，那么的一个可能的值为ABC0D8公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3，14，这就是著名的徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，那么输出的n值为参考数据：，sin150.2588，sin7.50.1305A12B24C48D969，那么tan2=ABCD10甲

3、、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲假设早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，假设乙早到那么不需等待，那么甲、乙两人能见面的概率ABCD11F1、F2分别是双曲线=1a0，b0的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，假设ABF2是等边三角形，那么该双曲线的离心率为ABCD12函数fx=alnx+1x2在区间0，1内任取两个实数p，q，且pq，不等式1恒成立，那么实数a的取值范围为A15，+B，15C12，30D12，15二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13直线a、b和平面、，以下命题中假命题的是只填序号假设ab，那么a平行于经过b的任何平

4、面；假设a，b，那么ab；假设a，b，且，那么ab；假设=a，且b，那么ba14有一个游戏，将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为、15ABC的顶点A3，0和顶点B3，0，顶点C在椭圆+=1上，那么=16定义1：假设函数fx在区间D上可导，即fx存在，且导函数fx在区间D上也可导，那么称函数fx在区间D上的存在二阶导数，记作fx

5、=fx定义2：假设函数fx在区间D上的二阶导数恒为正，即fx0恒成立，那么称函数fx在区间D上为凹函数函数fx=x3x2+1在区间D上为凹函数，那么x的取值范围是三、解答题：本大题共5小题，共70分解答写出文字说明、证明过程或演算过程1712分数列an中，a3=5，a5+a6=20，且2，2，2成等比数列，数列bn满足bn=an1nn求数列bn的通项公式；设sn是数列bn前n项和，求sn1812分某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如表方式实施地点大雨中雨小雨模拟实验总次数A甲4次6次2次12次B乙3次6次3次

6、12次C丙2次2次8次12次假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟试验的统计数据I求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即到达理想状态，乙地必须是大雨才到达理想状态，丙地只能是小雨或中雨即到达理想状态，记“甲、乙、丙三地中到达理想状态的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望E1912分如图1：在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=BC=2，AD=6，CEAD于E点，把DEC沿CE折到DEC的位置，使DA=2，如图2：假设G，H分别为DB，DE的中点1求证：GH平面ADC；2求平面DAB与平面DCE的夹角2012

7、分如图，椭圆C： +=1ab0的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：x+22+y2=r2r0，设圆T与椭圆C交于点M与点N1求椭圆C的方程；2求的最小值；3设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|OS|是定值2112分设函数fx=a2lnx+axa0，gx=2tdt，Fx=gxfx1试讨论Fx的单调性；2当a0时，e2Fx1e在x1，e恒成立，求实数a的取值选修4-4：坐标系与参数方程选讲2210分在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos2=2sin，它在点处的切线

8、为直线l1求直线l的直角坐标方程；2点P为椭圆=1上一点，求点P到直线l的距离的取值范围选修4-5：不等式选讲23函数fx=|2x1|，xR，1解不等式fxx+1；2假设对于x，yR，有|xy1|，|2y+1|，求证：fx12021年陕西省西安市高考数学一模试卷理科参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1在复平面内，两共轭复数所对应的点A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称D关于直线y=x对称【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】直接利用两共轭复数的实部和虚部的关系得答案【解答】解：设z=a=bi，那么，两共

9、轭复数的实部相等，虚部互为相反数，那么在复平面内，两共轭复数所对应的点关于x轴对称应选：A【点评】此题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了共轭复数的概念，是根底题2集合M=1，0，1，N=x|x=ab，a，bM，且ab，那么集合M与集合N的关系是AM=NBMN=NCMN=NDMN=【考点】交集及其运算【分析】用列举法写出集合N，再判断集合M与集合N的关系【解答】解：集合M=1，0，1，N=x|x=ab，a，bM，且ab=1，0，集合MN=N应选：B【点评】此题考查了集合的运算与应用问题，是根底题目3两个单位向量的夹角为45，且满足，那么实数的值为A1BCD2【考点】平面向量数量积的运算【

10、分析】运用向量的数量积的定义，可得两个单位向量的数量积，再由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到所求值【解答】解：由单位向量的夹角为45，那么=11cos45=，由，可得， =0，即=0，那么1=0，解得=应选B【点评】此题考查平面向量的数量积的坐标定义和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于根底题4直线x+2y5+=0被圆x2+y22x4y=0截得的弦长为A1B2C4D4【考点】直线与圆的位置关系【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，那么弦长可求【解答】解：由x2+y22x4y=0，得x12+y22=5

11、，所以圆的圆心坐标是C1，2，半径r=圆心C到直线x+2y5+=0的距离为d=所以直线直线x+2y5+=0被圆x2+y22x4y=0截得的弦长为应选C【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关系，是根底题5将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有A12种B10种C9种D8种【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两

12、个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有261=12种应选 A【点评】此题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决此题的关键，属根底题6某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是，那么正视图中的x的值是A2BCD3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面据此可求出原几何体的体积【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面那么

13、体积为=，解得x=应选：C【点评】此题考查了三视图，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键7函数y=sin2x+的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，那么的一个可能的值为ABC0D【考点】函数y=Asinx+的图象变换【分析】利用函数y=Asinx+的图象变换可得函数y=sin2x+的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案【解答】解：令y=fx=sin2x+，那么fx+=sin2x+=sin2x+，fx+为偶函数，+=k+，=k+，kZ，当k=0时，=故的一个可能的值为应选B【点评】此题考查函数y=Asinx+的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题

14、8公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3，14，这就是著名的徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，那么输出的n值为参考数据：，sin150.2588，sin7.50.1305A12B24C48D96【考点】程序框图【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60=，不满足条件S3.10，n=12，S=6sin30=3，不满足条件S3.10，n=24，S=12sin15=120.2588

15、=3.1056，满足条件S3.10，退出循环，输出n的值为24应选：B【点评】此题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于根底题9，那么tan2=ABCD【考点】二倍角的正切；同角三角函数间的根本关系【分析】由题意结合sin2+cos2=1可解得sin，和cos，进而可得tan，再代入二倍角的正切公式可得答案【解答】解：，又sin2+cos2=1，联立解得，或故tan=，或tan=3，代入可得tan2=，或tan2=应选C【点评】此题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的根本关系，属中档题10甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲假设早到应等乙半小时，而

16、乙还有其他安排，假设乙早到那么不需等待，那么甲、乙两人能见面的概率ABCD【考点】几何概型【分析】由题意知此题是一个几何概型，试验包含的所有事件是=x，y|0x1，0y1，写出满足条件的事件是A=x，y|0x1，0y1，yx或yx，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果【解答】解：由题意知此题是一个几何概型，设甲到的时间为x，乙到的时间为y，那么试验包含的所有事件是=x，y|0x1，0y1，事件对应的集合表示的面积是s=1，满足条件的事件是A=x，y|0x1，0y1，yx或yx，那么B0，D，1，C0，1，那么事件A对应的集合表示的面积是1+11=，根据几何概型概率公式得到

17、P=所以甲、乙两人能见面的概率是1；应选A【点评】此题主要考查几何概型的概率计算，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件所对应的区域求出，根据集合对应的图形面积，用面积的比值得到结果11F1、F2分别是双曲线=1a0，b0的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，假设ABF2是等边三角形，那么该双曲线的离心率为ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线的定义，可得F1AF2A=F1AAB=F1B=2a，BF2BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求【解答】解：因为ABF2为等

18、边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1AF2A=F1AAB=F1B=2a，B为双曲线上一点，那么BF2BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由ABF2=60，那么F1BF2=120，在F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a222a4acos120，得c2=7a2，那么e2=7，解得e=应选：D【点评】此题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题12函数fx=alnx+1x2在区间0，1内任取两个实数p，q，且pq，不等式1恒成立，那么实数a的取值范围为A15，+B，15C12，30D12，15【考点】函数单调性的判断

19、与证明【分析】首先，由的几何意义，得到直线的斜率，然后，得到函数图象上在区间1，2内任意两点连线的斜率大于1，从而得到fx=1 在1，2内恒成立别离参数后，转化成 a2x2+3x+1在1，2内恒成立从而求解得到a的取值范围【解答】解：的几何意义为：表示点p+1，fp+1 与点q+1，fq+1连线的斜率，实数p，q在区间0，1内，故p+1 和q+1在区间1，2内不等式1恒成立，函数图象上在区间1，2内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在1，2内恒成立由函数的定义域知，x1，fx=1 在1，2内恒成立即 a2x2+3x+1在1，2内恒成立由于二次函数y=2x2+3x+1在1，2上是单调增

20、函数，故 x=2时，y=2x2+3x+1在1，2上取最大值为15，a15a15，+应选A【点评】此题重点考查导数的应用，函数的几何性质等知识，注意别离参数在求解中的灵活运用，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13直线a、b和平面、，以下命题中假命题的是只填序号假设ab，那么a平行于经过b的任何平面；假设a，b，那么ab；假设a，b，且，那么ab；假设=a，且b，那么ba【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论【解答】解：假设ab，a，b可以确定平面，那么a平行于经过b的任何平面，不正确；假设a，b，那么ab或a，b相交、异面，不

21、正确；假设a，b，且，那么a、b关系不确定，不正确；假设=a，且b，那么b与a关系不确定，不正确故答案为【点评】此题考查线面平行的判定与性质，考查平面与平面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题14有一个游戏，将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4、2、1、3【考点】进行简单的合情推理【分析】根据预测都不正确，即可

22、推出相对应的数字【解答】解：乙丙丁所说为假甲拿4，甲乙所说为假丙拿1，甲所说为假乙拿2；故甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4，2，1，3，故答案为：4，2，1，3【点评】此题考查了合情推理的问题，关键是掌握命题的否认，属于根底题15ABC的顶点A3，0和顶点B3，0，顶点C在椭圆+=1上，那么=3【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意可知：顶点A，B为椭圆的两个焦点，利用正弦定理及椭圆的定义，求得a和b的关系，即可求得=3【解答】解：由椭圆+=1，长轴长2a=10，短轴长2b=8，焦距2c=6，那么顶点A，B为椭圆的两个焦点，三角形ABC中，a=丨BC丨，b=丨AC丨，c=丨AB丨=

23、6，a+b=丨BC丨+丨AC丨=10，由正弦定理可知=2R，那么sinA=，sinB=，sinC=，=3，故答案为：3【点评】此题考查椭圆的定义及正弦定理的应用，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题16定义1：假设函数fx在区间D上可导，即fx存在，且导函数fx在区间D上也可导，那么称函数fx在区间D上的存在二阶导数，记作fx=fx定义2：假设函数fx在区间D上的二阶导数恒为正，即fx0恒成立，那么称函数fx在区间D上为凹函数函数fx=x3x2+1在区间D上为凹函数，那么x的取值范围是，+【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据凹函数的定义求出fx，fx，令fx0，求出x的范围即可【

24、解答】解：fx=x3x2+1，fx=3x23x，fx=6x3，令fx0，解得：x，故答案为：，+【点评】此题考查了新定义问题，考查导数的应用，是一道根底题三、解答题：本大题共5小题，共70分解答写出文字说明、证明过程或演算过程1712分2021西安一模数列an中，a3=5，a5+a6=20，且2，2，2成等比数列，数列bn满足bn=an1nn求数列bn的通项公式；设sn是数列bn前n项和，求sn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】I由2，2，2成等比数列，可得=22，可得2an+1=an+an+2利用等差数列的通项公式可得an，进而得出bnII利用“错位相减法、等差数列等比数列的求和

25、公式即可得出【解答】解：I2，2，2成等比数列， =22，2an+1=an+an+2数列an为等差数列，设公差为d，a3=5，a5+a6=20，a1+2d=5，2a1+9d=20，解得a1=1，d=2an=1+2n1=2n1bn=an1nn=2n11nnII设数列1nn的前n项和为Tn，那么Tn=1+23+1nnTn=12+3+1nn1+1n+1n，2Tn=1+11+1n1n+1n=1n+1n，Tn=+Sn=n2n【点评】此题考查了“错位相减法、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题1812分2021西安一模某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用A

26、、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如表方式实施地点大雨中雨小雨模拟实验总次数A甲4次6次2次12次B乙3次6次3次12次C丙2次2次8次12次假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟试验的统计数据I求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即到达理想状态，乙地必须是大雨才到达理想状态，丙地只能是小雨或中雨即到达理想状态，记“甲、乙、丙三地中到达理想状态的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望E【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算根本领件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列【分

27、析】由人工降雨模拟试验的统计数据，用A，B，C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，求出大雨、中雨、小雨的概率分布表，由此利用相互独立事件概率计算公式能求出甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率设甲、乙、丙三地到达理想状态的概率分别为p1，p2，p3，那么，p2=pB1=，p3=PC2+PC3=，的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和数学期望【解答】解：由人工降雨模拟试验的统计数据，用A，B，C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，得到大雨、中雨、小雨的概率如下表： 方式 实施地点 大雨 中雨 小雨 A 甲 PA1= PA2= PA3= B

28、 乙 PB1= PB2= PB3= C 丙 PC1= PC2= PC3=记“甲、乙、丙三地都恰为中雨为事件E，那么PE=PA2PB2PC2=设甲、乙、丙三地到达理想状态的概率分别为p1，p2，p3，那么，p2=pB1=，p3=PC2+PC3=，的可能取值为0，1，2，3，P=0=1p11p21p3=，P=1=p11p21p3+1p1p21p3+1p11p2p3=+=，P=2=p1p21p3+1p1p2p3+p11p2p3=+=，P=3=p1p2p3=，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 PE=【点评】此题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，

29、注意相互独立事件概率计算公式的合理运用1912分2021西安一模如图1：在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=BC=2，AD=6，CEAD于E点，把DEC沿CE折到DEC的位置，使DA=2，如图2：假设G，H分别为DB，DE的中点1求证：GH平面ADC；2求平面DAB与平面DCE的夹角【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】1证明BE面ACD，GHBE，即可得到GH平面ADC2如图过点D作直线mAB，由ABEC，得直线m就是面DAB与平面DCE的交线，可得ADE就是平面DAB与平面DCE的夹角的平面角，【解答】证明：1在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90

30、，AB=BC=2，AD=6，CEAD于E点，把DEC沿CE折到DEC的位置，使DA=2，AE=CE=2，DE=62=4，DA2+AE2=DE2，CD=，ADAE，ADAB，ADAB=A，AD平面ABCE，面ADCABCE，又因为ABCE是正方形，BEAC，BE面ACD，G，H分别为DB，DE的中点，GHBE，GH平面ADC；2如图过点D作直线mAB，ABEC，直线m就是面DAB与平面DCE的交线，CEAE，面AED面ABCE于AE，CEDE，即DEm，ADAB，ADm，AD面ADB，DEDCE，ADE就是平面DAB与平面DCE的夹角的平面角，在直角三角形ADE中，AE=2，DE=4，可得，AD

31、E=30平面DAB与平面DCE的夹角为300【点评】此题考查了空间线面垂直的判定，及定义法求二面角，属于中档题2012分2021西安一模如图，椭圆C： +=1ab0的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：x+22+y2=r2r0，设圆T与椭圆C交于点M与点N1求椭圆C的方程；2求的最小值；3设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|OS|是定值【考点】椭圆的简单性质【分析】1由题意可知：T2，0，a=2又，a2=b2+c2，联立解出即可得出2设Mx0，y0，Nx0，y0把点M的坐标代入椭圆方程可得： =1利用数量积运算性质可得

32、： =，2x02，再利用二次函数的单调性即可得出3设Px1，y1，直线MP的方程为：yy1=xx1，令y=0，可得xR，同理可得：xS，利用点M，P都在椭圆上，及其|OR|OS|=xRxS即可证明【解答】1解：由题意可知：T2，0，a=2又，a2=b2+c2，联立解得a=2，c=，b=1椭圆C的方程为=12解：设Mx0，y0，Nx0，y0把点M的坐标代入椭圆方程可得： =1=，2x02，当且仅当x0=时， 取得最小值3证明：设Px1，y1，直线MP的方程为：yy1=xx1，令y=0，可得xR=，同理可得：xS=，点M，P都在椭圆上，=4， =4，：|OR|OS|=xRxS=4是定值【点评】此题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、数量积运算性质、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题2112分2021西安一模设函数fx=a2lnx+axa0，gx=2tdt，Fx=gxfx1试讨论Fx的单调性；2当a0时，e2Fx1e在x1，e恒成立，求实数a的取值【考点】利用导数研究函数的单调性；定积分【分析】1求出gx的解析式，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；2求出函数的单