数学】312函数的极值北师大版选修(3)课件

1、第三章 导数应用3.1.2 函数的极值复习复习: : 利用函数的导数来研究函数的单调性其基本的步骤利用函数的导数来研究函数的单调性其基本的步骤为为:求函数的定义域求函数的定义域;求函数的导数求函数的导数 ;)(xf 解不等式解不等式 0得得f(x)的单调递增区间的单调递增区间; 解不等式解不等式 f(x1).o oa aX X1 1X X2 2X X3 3X X4 4b bax xy y)(4xf)(1xf (4)函数的极值点一定出现在区间的内部函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端区间的端点不能成为极值点点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点而使函数取得最大值、最小值的点可能在

2、区间的内部可能在区间的内部,也可能在区间的端点也可能在区间的端点. o oa aX X0 00b bx xy y0)(0 xf0)( xf0)( xfo oa aX X0 0b bx xy y0)(0 xf0)( xf0)( xf求可导函数求可导函数f(x)的极值的极值 一般地一般地,当当函数函数f(x)在在x0处连续处连续时时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的方法是值的方法是: (1):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么,f(x0)是极大值是极大值;, 0)(, 0)( xfxf (2):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么,f(x0)是极

3、小值是极小值., 0)(, 0)( xfxf要注意以下两点要注意以下两点: (2)不可导点也可能是极值点不可导点也可能是极值点. 例如函数例如函数y=|x|,它在点它在点x=0处不可导处不可导,但但x=0是函数的极是函数的极小值点小值点. (1)可导函数可导函数的的极值点极值点一定是导数为一定是导数为零零的点的点, 导数为导数为零零的点的点,不不一定是该函数的一定是该函数的极值点极值点.例如例如,函数函数y=x3,在点在点x=0处的导数为零处的导数为零,但它不是极值点但它不是极值点,例例1:求求y=x3/3 4x+4的极值的极值.解解:).2)(2(42 xxxy令令 ,解得解得x1=-2,x

4、2=2.0 y当当x变化时变化时, ,y的变化情况如下表的变化情况如下表:y 因此因此,当当x=-2时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=28/3;而而,当当x=2时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=- 4/3.总结总结:求求可导函数可导函数f(x)的极值的步骤如下的极值的步骤如下:(2).求导数求导数).(xf (3).求方程求方程 的根的根.0)( xf(4)检查检查 在方程根左右的值的符号在方程根左右的值的符号,如果如果左正右负左正右负, 那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极大大值值; 如果如果左负右正左负右正, 那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根

5、处取得极小小值值 .)(xf (1)求函数的定义域求函数的定义域成表格成表格域分成若干个小区间列域分成若干个小区间列的根顺次将函数的定义的根顺次将函数的定义用方程用方程0)x(f例、例、 的的极极值值？求求函函数数246x3x3xy2216)x(x)x(f/ 先先求求函函数数的的导导数数.x,xx101321 、驻驻点点为为0 00 00 0- - -+ + +减减减减增增增增1 10 01 1的符号状态如下：的符号状态如下：、变化时，变化时，当当)x(f)x(fx/ 导数为零的点不一定是极值点！导数为零的点不一定是极值点！ 1 -1 f x = x 2 -1? 3 +1 x O y练习练习:

6、求函数求函数 的极值的极值.)0()(2 axaxxf解解:函数的定义域为函数的定义域为),0()0 ,( .)(1)(222xaxaxxaxf 令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).0)( xf当当x变化时变化时, ,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:)(xf 故当故当x=-a时时,f(x)有极大值有极大值f(-a)=-2a;当当x=a时时,f(x)有极小值有极小值f(a)=2a.说明说明:本题中的极大值是小于极小值的本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明这充分表明极值与最值是完全不同的两个概念极值与最值是完全不同的两个概念.练习练习:求函数求函数 的极值的极值.216xx

7、y 解解:.)1 ()1 ( 6222xxy 令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1.y 当当x变化时变化时, ,y的变化情况如下表的变化情况如下表:y 因此因此,当当x=-1时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=3;而而,当当x=1时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=- 3.增函数增函数+ + +- -0 00 0增函数增函数减函数减函数极大值极大值极小值极小值总结总结: : (4)(4)函数的不可导点也可能是极值点函数的不可导点也可能是极值点; ;(5)(5)可导函数的极值点一定是使导函数为可导函数的极值点一定是使导函数为0 0的点的点; ;(2)(2)函数的极值是就函数在某一点附近的函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的小区间而言的, ,在函数的整个定义域可能有