第二型曲线积分PPT学习教案

1、会计学1第二型曲线积分第二型曲线积分,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段如果当各小弧段上任意取定的点上任意取定的点为为点点设设个有向小弧段个有向小弧段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数向光滑曲线弧向光滑曲线弧的一条有的一条有到点到点面内从点面内从点为为设设 iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定义定义第1页/共24页.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdx

2、yxPxLyxPxP 记作记作或称第二类曲线积分）或称第二类曲线积分）积分积分的曲线的曲线上对坐标上对坐标在有向曲线弧在有向曲线弧数数则称此极限为函则称此极限为函的极限存在的极限存在类似地定义类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被积函数叫做被积函数其中其中yxQyxP.叫积分弧段叫积分弧段L第2页/共24页( , ),( , )2,.P x yQ x yL当当在在光光滑滑曲曲线线弧弧上上连连续续时时 第第二二类类曲曲线线积积在在条条件件：分分存存在在存存3.组合形式组合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,j

3、dyidxdsjQiPF 其中其中. LdsF第3页/共24页4.4.推广推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 第4页/共24页5.5.性质性质.,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则则和和分成分成如果把如果把则则有向曲线弧有向曲线弧方向相反的方向相反的是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设,)2(LLL 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. LLdyyx

4、QdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(第5页/共24页,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且第6页/共24

5、页证证 LdxyxP),(),(iiP ix ni 10lim ni 10lim ),(iP )(i iit )( ),(tP )(t dtt)( ),(tP )(t )(td 第7页/共24页特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为，终点为起点为起点为 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终点为，终点为起点为起点为 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则注注:第二型曲线积分与曲线给定的方向有关第二型曲线积分与曲线给定的方向有关,在化为在化为关于参数的定积分时关于参数的定积分时,定积分的下限和上

6、限应分别定积分的下限和上限应分别对应于曲线的起点和终点对应于曲线的起点和终点,即即:下限不一定小于上限下限不一定小于上限.第8页/共24页例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算BAxyLxydxL 解解的定积分，的定积分，化为对化为对x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B第9页/共24页(2)y化化为为对对 的的定定积积分分，,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到从从 y 1142dyy.54 xy

7、 2)1, 1( A)1 , 1(B第10页/共24页.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点的上半圆周的上半圆周针方向绕行针方向绕行、圆心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆时半径为半径为为为其中其中计算计算aBxaAaLdxyL 例例2解解,sincos:)1( ayaxL，变到变到从从 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原原式式 daa)sin(sin22 第11页/共24页)0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，变到变到从从aax aadx0原式原式. 0 问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和

8、终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同. 03a)(cos)cos1(2 d 第12页/共24页例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是点依次是点，这里，这里有向折线有向折线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线为为其中其中计算计算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的积分的积分化为对化为对 x, 10,:2变到变到从从xxyL 1022)22(dxxxxx原式原式

9、1034dxx. 1 第13页/共24页) 0 , 1 (A)1,1(B2yx .)2(的积分的积分化为对化为对 y,10,:2变到变到从从yyxL 1042)22(dyyyyy原式原式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式第14页/共24页,上上在在 OA,10, 0变到变到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1变到变到从从yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1,1(B问题问题：被积函数相同，起点和

10、终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同.第15页/共24页.,)()()(:)3( 终点终点起点起点推广推广ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 第16页/共24页例例计算计算 dxx3dyzy23 dzxy2 : 沿直线沿直线)1 , 2 , 3(A)0 , 0 , 0(B解解s)1 , 2 , 3( 3x: 2y z t tx3ty2 tz :t10 dxx3dyzy23 dzxy2 01327ttd3t3 24t td2t3 24t dt48

11、7 第17页/共24页 解: ydzdydx例例 求求 其中其中 为有向闭折线为有向闭折线ABCA A B C依次为点依次为点(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1). AB BC CA 其中其中 AB x x y 1 x z 0 x从从1变到变到0 BC x 0 y 1 z z z z从从0变到变到1 CA x x y 0 z 1 x x从从0变到变到1 故故 ydzdydxydzdydxydzdydxydzdydxCABCAB0111001(1) (1)(1)xdxzz dzdx21第18页/共24页 解： 例例 计算计算 其中其中L为圆周为圆周(x a)2 y2 a2(a 0)及及

12、x轴所轴所围围成的在第一象限内的区域的整个边界成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行按逆时针方向绕行). LxydxLL1L2 其中其中 L1 xaacos t yasin t t从从0变到变到 L2 xx y0 x从从0变到变到2a 因此因此 21LLLxydxxydxxydxadxdttaatata2000)cos(sin)cos1 (3020232)sinsinsin(attdtdta第19页/共24页曲线的切向量是曲线的切向量是 ,x ty tz t,drdx dy dz ,x ty tz tdt也是切向量也是切向量,且其方向与积分路径的方向一致且其方向与积分路径的方向一致

13、,又又 的模正好是弧的模正好是弧微分微分dr,ds222.drdxdydzds的方向余弦是的方向余弦是drcos ,cos,coscos ,cos,cos,drdx dy dzdrds ds ds第一型与第二型第一型与第二型曲线积分之间的曲线积分之间的关系关系: :),(),(),(:tzztyytxxLt 设设第20页/共24页:L空间曲线 上的两类曲线积分之间有如下联系( coscoscos )LLPdx QdyRdzPQRds, , , ,x y zx y zx y z其中.处的切向量的方向角cos,cos,cos.dxdsdydsdzds , ,x y z在点L为有向曲线弧第21页/共24页( ),( )xtLyt 平平面面曲曲线线弧弧为为 ：,),( 为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点