结构动力学之结构的稳定计算

1、COMPANY NAMEm)(xy从稳定性角度考虑，平衡状态具有三种情况：（1）稳定平衡状态；（2）不稳定平衡状态；（3）中性平衡状态； 假设结构原来处于某个平衡状态，后来由于受到轻微扰动而稍微偏离原来位置。当干扰消失后1）若结构能够回到原来的平衡位置， 则原来的平衡状态成为稳定平衡状态。2）若结构继续偏离，不能够回到原来的平衡位置， 则原来的平衡状态成为不稳定平衡状态。3）结构由稳定平衡过渡到不稳定平衡的中间状态 则为中性平衡状态。 研究稳定问题是考虑变形后的状态来进行分析的，分析时有大变形和小变形两种理论。 稳定是指对结构施加一微小干扰，使其离开初始位置，当干扰力撤去以后，结构能恢复到原来

2、的平衡位置。反之，若干扰力撤去以后不能回到原来的位置，则称结构失稳。 工程中通常有两类失稳问题，即第一类稳定问题和第二类稳定问题。对于没有缺陷的完善体系，属于第一类失稳问题；对于存在初弯曲或初偏心等缺陷的结构，其失稳时一般遵循第二类稳定问题的规律。中心压杆的荷载位移曲线特征：当荷载小于临界荷载时，结构无初始位移，受到干扰力作用时，变形可恢复；当荷载大于临界荷载时，结构受到一微小干扰就会突然产生较大的侧移而失稳。 Pcr称为临界荷载，它对应的状态称为临界状态，因为B点为稳定平衡与不稳定平衡的分支点，所以Pcr又称为分支荷载，又由于结构破坏的突然性，Pcr又称屈曲荷载。ABPPcrBAmB不稳定平

3、衡稳定平衡 压杆和梁等结构屈曲后所承担的荷载可略有增加，但由于变形迅速增大，故不考虑此部分承载力。P2POP1DPc rDCAB稳定稳定不稳定不稳定小挠度小挠度大挠度大挠度 第二类稳定问题应按大挠度理论建立应力应变关系，并且在荷载达到临界值之前，结构部分进入塑性状态，不在讨论之列。特征：结构受力开始就有变形，当力大于Pcr时，结构变形发展很快，在此过程中无突然变化，但是由于变形的增大或材料的应力超出许可值导致结构不能工作。 偏心受压杆及荷载-位移曲线(a) 偏心受压杆PePPPOPe(b) 荷载位移曲线（P 曲线）Pc rCAB稳定验算与强度验算区别稳定验算强度验算目的防止出现不稳定的平衡状态

4、保证结构的实际最大应力不超过相应的强度指标内容研究结构同时存在的两种本质不同的平衡状态的最小荷载值，即临界荷载求解结构在荷载下的内力问题分析方法根据结构变形后的状态建立平衡方程求临界荷载采用未变形前的状态建立平衡方程及变形协调条件求内力实质是变形问题是应力问题结构的稳定计算以下图所示单自由度体系为例研究crPP 时，体系处于稳定平衡状态crPP 时，体系处于不稳定平衡状态lABPPcrk结构变形后的平衡状态如图（b），由B点平衡得：0sinkPl方程有两解：1、 0当lkP时，稳定平衡lkP不稳定平衡lkP随遇平衡sin0lkP按大挠度理论分析Lsin（b）PPcrk BAkPk/l（a）ls

5、inHdHd稳定平衡不稳定平衡为求P最大值，令0ddP0)cos(sinsin12lkddP0cossin即tan代入时式（1）可以得到：不考虑分枝点后P的增加，则lkPcr/0时2、随遇平衡不稳定平衡稳定平衡PcrDABCPOsinlkP (1)cos1sintanlklkP因此，按大挠度理论分析 可以为任意值，即结构处于随意平衡状态。大小挠度理论求出的分枝点荷载临界值是相同的，但是失稳后的承载能力结论是不同的。按小挠度理论分析sintan1cos0kPl1、0 P为任意值，即无外界干扰时，结构无挠度，不会失稳。lkP/即有外界干扰时，结构失稳时的临界荷载为：lkPcr/02、由小挠度理论：

6、平衡方程可以简化为：随遇平衡CABPOPcr求图示结构的临界荷载求图示结构的临界荷载. .P PEIlkyP P解解: :应变能应变能ykyVe21PPViie*外力势能外力势能2sin2cos2lllly)ly( l)( l22122222lPy22结构势能结构势能*PePVVE22ylPlk 0ylPlkdydEPlkPcr由势能驻值原理由势能驻值原理得临界荷载得临界荷载无限自由度体系的典型代表：压杆稳定问题无限自由度体系的典型代表：压杆稳定问题静力法解题思路：静力法解题思路： 1 1）先对变形状态建立平衡方程；）先对变形状态建立平衡方程； 2 2）根据平衡形式的二重性建立特征方程；）根据

7、平衡形式的二重性建立特征方程； 3 3）由特征方程求出临界荷载）由特征方程求出临界荷载 无限自由度体系的平衡方程为无限自由度体系的平衡方程为微分方程微分方程而不是代数方程，是区别于有限自由度体系而不是代数方程，是区别于有限自由度体系的不同点的不同点pcryxx)1()( xlRypM)( 1 xlRpyyEIyEIM ）：代代入入式式（将将 离体、写平衡方程离体、写平衡方程解：建立坐标系、取隔解：建立坐标系、取隔)2()( ,2 xlEIRyyEIp 则：则：令令)( sin cos2xlpRxBxAy微分方程，其解：）为常系数二阶非齐次式（程中的常数：程中的常数：由边界条件确定微分方由边界条

8、件确定微分方 0pR0BlsinAlcos0 y lx0pR1BA00 y0 x0pRlB0A10 y0 x 00 sin cos1 0 0 1 ll l D ：稳稳定定方方程程（特特征征方方程程）lltglll 0 sin cos plEIpcrM(x)yRl-x左式为“超越方程”lltg 解解“超越方程超越方程”的两种方法：的两种方法：1、逐步逼近法（试算法）：。而而求求得得使使其其逐逐渐渐逼逼近近于于零零，从从算算初初值值后后，代代入入方方程程，计计给给 , lltg 2、图解法： 以l为自变量，分别绘出z= l和z=tg l的图形，求大于零的第一个交点，确定l。l z02 23 225

9、 493. 4lz ltgz 22222)7 . 0(19.20493. 4 493. 4 lEIlEIEIpEIplcrcr 得：得：代入代入将将例14-1 试求图示结构的临界荷载)1()( ypM ppyyEIyEIM 1 ）：）：代入式（代入式（将将 1离体、写平衡方程离体、写平衡方程、建立坐标系、取隔、建立坐标系、取隔解：解：)2( ,22 yyEIp则则：令令yxxpcrpcrM(x)y plEIlEIABCxBxAyxBxAy cos sin sin cos 解解为为：xBxAyxBxAy cos sin sin cos 解解为为：) sin cos(1 cos sin 3000

10、0020101 0012 BlAllBlAll y-yl xBA y xBA yxlx）（）（）（、边界条件：、边界条件：0sincoscossin l)Bll(l)All( 即即：00 sincoscossin(0 01 01 l) ll(l) ll 于于是是：lltg 13 定定方方程程：、展展开开、整整理理后后，得得稳稳2274. 04lEIEIpcr 、解稳定方程，得：、解稳定方程，得：（另法）试求图示结构的临界荷载)( ypppyMpyMA 离离体体写写平平衡衡方方程程下下半半部部为为隔隔解解：建建立立坐坐标标系系后后，以以yxxpcrplEIlEIABCAyM(x)p pMA xy

11、亦得同样结果。亦得同样结果。（一）用能量原理建立的能量准则（适用于单自由度体系）2、解题思路1、三种平衡状态（1）稳定平衡：偏离平衡位置，总势能增加。（2）不稳定平衡：偏离平衡位置，总势能减少。（3）随遇平衡： 偏离平衡位置，总势能不变。图1图2图3（1）当外力为保守力系时（外外力力势势能能）（变变形形势势能能）（体体系系的的总总势势能能）WU 外力的功）(TWrrTU （2）当体系偏离平衡位置，发生微小移动时。则原体系处于稳定平衡则原体系处于稳定平衡若若, rTU 衡衡。则则原原体体系系处处于于不不稳稳定定平平若若, rTU 荷荷载载。，利利用用此此条条件件确确定定临临界界则则原原体体系系处

12、处于于随随遇遇平平衡衡若若, rTU （3）直杆稳定（刚性杆）rTU 依依能能量量准准则则：)cos1 ()sin(21 2 pllk即即216421 75312542753.!cos.!sin221 22 pl)l (k klpcr k EI lcrp plcrpexydxde dsEANdsGAkQdsEIMUlll 020202212121 )1(变变形形能能：MyEI 不计剪力、轴力影响，不计剪力、轴力影响， (A)ds)yEI(21U l02 lrdeppeT0 )2(外力的功：外力的功： lrBdxypTdxydxdxde0222)()(21)(212)cos1( )(dx)y(d

13、x)y(EIpBA)(llcr2414 30202 ）：式式（）依依能能量量准准则则，令令式式（二）用势能原理建立的能量准则（适用于多自由度体系）设弹性曲线为多参数曲线： niiixaxaxaaxy1332211)()()()( dx)a(EIpdx)a(EIdx)y(EIpdx)y(EITUWUiiiir22222121 2121 总总势势能能： 依“势能驻值原理”：临界状态下真实的变形曲线应使体系的总势能为驻值。), 3 , 2 , 1( 0niai n),1,2,3,(i0)dxP(EIan1jjijij 得： 0SK 这就是计算临界荷载的特征方程，其展开式是关于P的n次线性方程组，可求

14、出n个根，由最小根可确定临界荷载。 00021212222111211212222111211nnnnnnnnnnnnnaaaSSSSSSSSSKKKKKKKKK得：n),1,2,3,(i0)dxP(EIan1jjijij xEIKjiijd xPSjiijd 令：0S)a(K 简写为：弹性支承等截面直杆的稳定计算具有弹性支承的压杆的稳定问题。一般情况下有四类 MA= k ABPc rxxyyEIPc rBxklyxyEIMA= k APc rxyyRBEIyPc rBxkAEI一端固定、一端为弹性支座 xlky)P(M x)(lky)P(MyEI xlkPPyyEI x)(lPk1xBcos

15、xAsinyPc rBxklyxyEIEIP 令令 0BcosclAsin0PkA0Pkl1B00cososiniEIk0EIkl11022 由边界条件：x=0处，y=y=0；x=l处，y=。得到： xlEIkEIPyy 2 kEIlltan3 MA= k ABPc rxxyyEI一端自由、另一端为弹性抗转支座00 1 y:x)( kPy:x)( 0 2EIkltanl 边界条件：)y(PM 平衡方程：稳定方程：一端铰支、另一端为弹性抗转支座0 2 y:lx)( klRy,y:x)(B 0 0 1边界条件： )xl (RPyMB 平衡方程：稳定方程：lkEI)l(lltan 211 MA= k

16、 APc rxyyRBEI一端铰支、另一端为弹性支座 yPc rBxkAEI0)(lcosR)P(lsin0,MBA 考虑在小变形情况下，取sin=、cos=1， 上式改写为 0lRPlB 弹簧的支反力 klRB 临界荷载 ： klPcr )1()()( xlRypMc pxlRpyyEIyEIMc)( 1 ）：代代入入式式（将将 1离体、写平衡方程离体、写平衡方程、建立坐标系、取隔、建立坐标系、取隔解：解：)2()( ,2 EIpxlEIRyyEIpc 则则：令令lpRxBxAyxlpRxBxAycc cos sin )( sin cos 解解为为：0cossin )3(0 sin cos

17、0300 002001 0012 lplRlBlAlyl xlBlAl yxplRBA y xplRBA yxccc ）（）（）（、边界条件：、边界条件：补充例题（补充例题（1）试求图示结构的临界荷载试求图示结构的临界荷载yxxpM(x)y plEIlEIABCpEIABCxEIBCRc)1()()( xlRypMc pxlRpyyEIyEIMc)( 1 ）：代代入入式式（将将 1离体、写平衡方程离体、写平衡方程、建立坐标系、取隔、建立坐标系、取隔解：解：)2()( ,2 EIpxlEIRyyEIpc 则则：令令 )( cos sinxlpRxBxAyc 解为：解为：lllBlAlylxBlAll yxBA yx sincos )3(0 cos sin 02000 0012）（）（、边界条件：、边界条件：补充例题（补充例题（2）试求图示结构的稳定方程及临界荷载试求图示结构的稳定方程及临界荷载yxxpM(x)y plEIlEIABCpEIABCxEIBCRclPRlRPMCCA 0 0lxBxAylxxBxAy sincos cos sin解为：解为：2467. 2 2 0lEIpllcr 临界荷载：临界荷载：稳定方程：稳定方程： 补充例题（补充例题（3）试求图示结构的稳定方程及临界荷载试求图示结构的