第讲定积分的计算与广义积分PPT学习教案

1、会计学1第讲定积分的计算与广义积分第讲定积分的计算与广义积分二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 不定积分一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法第5节 定积分的换元法 第6节定积分的分部积分法 第五五章 第1页/共43页例1解 . d1 1 0 2xx计算 数的一个原函数：先用不定积分求被积函ttxxdcosd1 22 sin tx 令tt d)2cos1 (21Ctt42sin2Cxxx21 21arcsin21 得，莱布尼兹公式由牛顿 . 4 1 21arcsin21d1 1021 0 2xxxxx第2页/共43页例1解 . d1 1

2、0 2xx计算 数的一个原函数：先用不定积分求被积函ttxxdcosd1 22 sin tx 令tt d)2cos1 (21Ctt42sin2Cxxx21 21arcsin21 得，莱布尼兹公式由牛顿 . 4 1 21arcsin21d1 1021 0 2xxxxx10 x20 t2 0 21 0 2dcosd1 ttxxtt d)2cos1 (212 0 20 42sin2tt . 4有什么想法没有？第3页/共43页 就是说，计算定积分时可以使用换元法 . 换元时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到原来的变量，直接往下计算并运用牛顿莱布尼兹公式便可得到定积分的结果 . 第4页/共43页

3、一、定积分的换元法定理 ; ) , ()( ) 1 ( baCxf设且单调； ) , ()( )2(1Ctx，ba)( )( )3( . d)()(d)( tttfxxfba则第5页/共43页1) 当 , 即区间换为，时,定理 1 仍成立 .2) 必需注意换元必换限换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .3) 换元公式也可反过来使用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不换限tfd)(t)(ttfd)(t)(t4) 换元的规则、情况同不定积分 .第6页/共43页例2解 . 1d 8 0 3xx计算 . 1d 3xx考虑 3d, 233，则令dttxtxtx 1d 3

4、xx 1d3 2txt d 13 2xtt d ) 111(3 xtt )1ln(2132ttt8 0 2 0 : 8 0 : ，故时，当tx8 02 02 02 020 C3ln3 第7页/共43页例3解 . d 0 22axxa计算 dcosd sin ，则令ttaxtax 2 0 : 0 : ，故时，且tax . 2 , 0 sin上单调、连续可导在tax 2 0 22 0 22dcosdttaxxaa d) 2cos1 ( 22 0 2tta202 ) 22sin (2tta . 42a22xayxoyaS第8页/共43页例4解 . 1 d 53 21 2 xxx计算 dd 1 2，则

5、令ttxtx 35 2 : 53 21 : ，故时，且tx35 2 253 21 2 1d 1 dttxxx2 35 2 1d tt2352 |1|lntt . 3ln)32ln(第9页/共43页例5证 ) , ()( ，证明：设aaCxf . d)( 2d)( )( ) 1 ( 0 aaaxxfxxfxf为偶函数，则 . 0d)( )( )2( aaxxfxf为奇函数，则 , d)(d)(d)( 0 0 aaaaxxfxxfxxf因为 0: 0: dd ，从而时，且，则故令ataxtxtx0 0 )d)(d)(aattfxxfattf 0 d)( . d)( 0 axxf .d)()( d)

6、(d)(d)( 0 0 0 aaaaaxxfxfxxfxxfxxf于是第10页/共43页，故有为偶函数，则若)()( )( ) 1 (xfxfxf . d)( 2d)( 0 aaaxxfxxf，故有为奇函数，则若)()( )( )2(xfxfxf . 0d)( aaxxf .d)()( d)(d)(d)( 0 0 0 aaaaaxxfxfxxfxxfxxf第11页/共43页例6 . dcosdsin 2 0 2 0 xxxxnn证明：证 dd 2 ，则令txtx 0 2 : 2 0 : ，故时，且tx )d()12 ( (sindsin0 2 2 0 txxnn dcos 0 2 ttn dc

7、os2 0 ttn . dcos2 0 xxn第12页/共43页例7证 . ) ,()( 证明：，且以为周期设Rxf . d)(d)( 0 TTaaxxfxxfRa，有 , d)(d)(d)(d)( 0 0 TaTTaTaaxxfxxfxxfxxf因为 0: : dd ，从而时，且，则故令atTaTxtxTtx d)(d)( 0 aTaTtTtfxxf d)(d)( 0 0 aaxxfttf d)(d)(d)(d)( 0 0 0 aTaTaaxxfxxfxxfxxf于是 d)(d)(d)( 0 0 0 aTaxxfxxfxxf . d)( 0 Txxf第13页/共43页二、定积分的分部积分法定

8、理 , )( )( 上可导，在，设函数baxvxu ) ,()( )( ，则，且baRxvxu . d)()( )()(d)()( bababaxxvxuxvxuxxvxu . 部积分公式该公式称为定积分的分证明与不定积分的情形类似 . . d bababauvuvudv可改写为: 第14页/共43页什么情况下运用分部积分法呢？定积分与不定积分的情形相同！第15页/共43页例8解 . dln 5 1 xx计算 dln 5 1 xx lnd-ln 5 1 51xxxxdx 5ln5 5 1 dxxx 1-1ln15ln5 5 1 515ln5 x45ln5 第16页/共43页例9解 . dcos

9、 0 xxex计算 dsin cosdcos2 0 20 2 0 xxexexxexxx dsin12 0 xxex dcos sin12 0 20 xxexexx dcos12 0 2xxeex . ) 1 ( 21dcos 22 0 exxex故 dcos dcos xxexxxe考虑第17页/共43页例10解 . d)(ln1 2 1 2exxx计算 d)(ln1 2 1 2exxx d)(ln 2 1 221exxx d)(ln2 2 1 212exx)(ln d)(ln2 2 1 21122122xxxxee d1)(ln2)(ln2 22 1 211221xxxxxxee d)(l

10、n2)(ln2 22 1 211221xxxxxee第18页/共43页例11解 . d |ln| 1 eexx计算eeeexxxxxx 1 1 1 1 d ln d )ln( d |ln| eeeexxxxxx 1 1 1 1 11dlnd ln . ) 11 ( 2e第19页/共43页第八节 广义积分 一、无穷区间上的积分 二、瑕积分 函数三、常义积分积分限有限被积函数有界推广反常积分 (广义积分)第20页/共43页 我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界函数的积分， 利用的是牛顿公式，但在科学技术和工程中，往往会遇见不满足牛顿公式的积分问题，比如需要计算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条

11、件的函数的积分，有时还需计算不满足有界条件的函数在无穷区间上的积分. 这就需要我们将定积分的概念及其计算方法进行推广. 我们将运用极限的方法来完成这个工作.第21页/共43页)()(d)(aFbFxxfba记作)(xFab成立的条件：1：f(x)在a,b上是连续的（有界的）2：f(x)的原函数F(X)存在3： a,b是有限常量如果这些条件不满足的话，怎么处理呢？第22页/共43页一、无穷积分 无穷区间上的广义积分1. 无穷积分的概念)()(d)(aFbFxxfba牛顿公式：若a,b是不有限常量，即： , d)().1 ( axxf d)( )2( bxxf d)( )3( xxf都称为无穷积分

12、第23页/共43页 . ) , )( 上有定义在设函数axf . ) , ()( , , 记且AaRxfaARA , d)(limd)( AaAaxxfxxf . ) , )( 上的无穷积分在称之为axf限值称此无穷积分收敛，极若式中的极限存在，则 该无穷积中的极限不存在，则称即为无穷积分值；若式 . 分发散2. 无穷积分的定义：第24页/共43页 类似地可定义： . )( d)(limd)( ) 1 ( bBxxfxxfbBBb d)(d)(d)( )2(ccxxfxxfxxf . d)(limd)(lim AcAcBBxxfxxf. d)( d)( d)( 收敛则称同时收敛，与若xxfxx

13、fxxfcc . d)( , d)( d)( 发散则至少有一个发散与若xxfxxfxxfcc d)( 的可加性，而言，由定积分对区间对xxf . 0 . cc为方便起见，通常取值无关与显然其收敛性第25页/共43页例1解 . d 0 2xexx计算AxAxxexxex 0 0 d limd 22 2xu 令2 0 d21limAuAue20 )(21limAuAe) 2121 (lim2AAe . 21第26页/共43页 )( )( 的一个原函数，则约定是为书写方便起见，若xfxF . )()(lim )(d)(0 aFxFxFxxfxa . )(lim)( )(d)( xFbFxFxxfxb

14、b . )(lim)(lim )(d)( xFxFxFxxfxx这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了. 第27页/共43页例2解 . 1d 0 2 xx计算0 0 2 arctan1dxxx 0arctanarctanlimxx . 2第28页/共43页例3解 . 1d 2 xx计算 arctan1d 2xxx arctanlimarctanlimxxxx ) 2 ( 2 . Oxy211xy1第29页/共43页例4解 . d1 0 2xxx计算02 0 2 )1 ln(21d1xxxx 0)1 ln(21lim2xx , . d1 0 2发散故积分xxx第30页/共43页例5解 )

15、0( d 的敛散性，积分讨论axxPap . 为任意常数其中P : 1 时当P |lnd aaxxxaxxln |lnlim , . 1 积分发散时，故Pp : 1 时当Papapxxx 1d1 . 1 , 1 , 1 , 1 ppapp 发散 收敛第31页/共43页综上所述， . 1 1 时发散时收敛；当积分当ppP )0( d axxPap积分第32页/共43页4. 无穷积分的基本运算性质 均存在，则设以下所有出现的积分 . d)(d)(d)( )2( Rcxxfxxfxxfccaa . d)( d)( d)()( )3( aaaxxgxxfxxgxf . d)()( )()(d)()(

16、)4( aaaxxvxuxvxuxxvxu . )5(分的换元法进行计算无穷积分也可按照定积 . d)(d)( ) 1 ( aaxxfxxf . d)(d)( , )()( ) , )6( aaxxgxxfxgxfa则上若在其它类型的无穷积分的情形类似于此. 第33页/共43页二、瑕积分1. 瑕积分的概念无界函数的广义积分(1) 瑕点的概念为内无界，则称点在，若函数 ),(U )( 0 00 xxxf . )( 的一个瑕点函数xf 1)( 的一个瑕点；是例如：axxfax . )1ln()( 1 2的瑕点是xxgx . 1)( 22的瑕点是axxhax第34页/共43页(2) 瑕积分的概念 .

17、 , ,( )( 为其瑕点上有定义在设axbaxf , ) , ()( , 0 记若baRxf , d)(limd)( 0 babaxxfxxf . , )( 上的瑕积分在称之为函数baxf , , 极限值即则称该瑕积分收敛若式中极限存在 . , ; 则称该瑕积分发散若式中极限不存在为瑕积分值第35页/共43页 . d)(limd)( 0 babaxxfxxf类似地，可定义, ) 1 (为瑕点时当bx , )( )2(为瑕点时当bcacxbccabaxxfxxfxxf d)(d)( d)( , )(limd)(lim0 0 b ccadxxfxxf . d)( , d)( d)( 才收敛同时收

18、敛时与仅当babccaxxfxxfxxf . d)( , d)( d)( 发散至少有一个发散时与babccaxxfxxfxxf第36页/共43页与无穷积分的情形类似，瑕积分也有下列运算形式： . ) ( , )(lim)( )(d)( 为瑕点axxFbFxFxxfaxbaba . ) ( , )()(lim )(d)( 为瑕点bxaFxFxFxxfbxbaba这样就将瑕积分的计算与定积分的计算联系起来了. 第37页/共43页2. 瑕积分基本运算性质 , 叙述为唯一瑕点的情形进行以下均以积分下限ax . 形仍成立其结论对其它瑕点的情 均存在，则设以下所有出现的积分 . d)(d)(d)( )2( Rcxxfxxfxxfbccaba . d)( d)( d)()( )3( bababaxxgxxfxxgxf