高等数学习题课一阶微分方程的解法及应用课件

1、一阶微分方程的解法及应用一阶微分方程的解法及应用 第七章第七章(1) 1. 一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型辨别方程类型 , 掌握求解步骤掌握求解步骤2. 一阶非标准类型方程求解一阶非标准类型方程求解 变量代换法变量代换法 代换代换自变量自变量代换代换因变量因变量代换代换某组合式某组合式几个标准类型几个标准类型: 可分离变量方程可分离变量方程, 齐次方程齐次方程, 线性方程线性方程; 01)1(32 xyeyy提示提示: (1),33xyxyeee 因因故为分离变量方程故为分离变量方程:通解通解;)2(22yyxyx ;21)3(2yxy .2336)4(32

2、23yyxyxxy xeyeyxydd32 Ceexy 331方程两边同除以方程两边同除以 x 即为齐次方程即为齐次方程 , ,0时时 xyyxyx 22)2(时，时，0 x21uux 21uux xyxyy 21 xyxyy 21令令 y = u x ,化为分化为分离变量方程离变量方程.221)3(yxy ,2dd2yxyx 用线性方程通解公式求解用线性方程通解公式求解 .32232336)4(yyxyxxy 方法方法 1 这是一个齐次方程这是一个齐次方程 .*方法方法 2 化为微分形式化为微分形式 0d)23(d)36(3223 yyyxxyxx故这是一个全微分方程故这是一个全微分方程 (

3、下册内容下册内容).xyu 令令xQyxyP 6解解 此方程为一个可分离变量的微分方程分离此方程为一个可分离变量的微分方程分离因因变量，变量，得得例例2 求解方程求解方程 0d)4(d2 yxxxy，24ddxxxyy ，xxxxxxd411414d2 两边积分，得两边积分，得即得原方程的通解即得原方程的通解，Cxxyln|)4|ln|(ln41|ln xCxy )4(4解解 原方程变形后为齐次方程原方程变形后为齐次方程例例3 求解方程求解方程 ， 0tan yxyxyx32 xyxyxyytan 作变换作变换 ，xyu ，uuxuxutandd 移项，得移项，得，xxuuud1dsincos

4、 则有则有两边积分，得两边积分，得，Cxuln|ln|sin|ln 将将 代入，有代入，有xyu ，xCxy sin即满足初始条件的解为即满足初始条件的解为由初始条件由初始条件 ，32 xy, 1 C得得，xxy1sin xxy1arcsin 即原方程的解为即原方程的解为解解 原方程变形为原方程变形为即即例例4 求微分方程求微分方程 的通解的通解0dd)3(24 xxyyxy，133dd xyxyyx，3222)(6d)d(yxyyx 此是关于函数此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微的一阶线性非齐次线性微)(2yfx 由求解公式得由求解公式得分方程，分方程，6436d12CyyCyyy Cyy

5、xyyyyde2ed63d62)lnln()1(yxyyyx 提示提示: (1)令令 u = x y , 得得yyxxyxy22363)2(22 uxuxulndd )(ln)(yxyyx (分离变量方程分离变量方程)原方程化为原方程化为令令 y = u tyyxxyxy22363)2(22 )1(2)1(3dd22 xyyxxy(齐次方程齐次方程)ytytty23dd22 令令 t = x 1 , 则则tyxttyxydddddddd 可分离变量方程求解可分离变量方程求解化方程为化方程为 求以求以1)(22 yCx为通解的微分方程为通解的微分方程.提示提示:1)(22 yCx02)(2 yy

6、Cx消去消去 C 得得1)1(22 yy 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:xyyyx2)1( 提示提示: 令令 u = x y , 化成可分离变量方程化成可分离变量方程 :uu2 )ln(2dd)3(xyyxy 提示提示: 可化为可化为关于关于 x 的一阶线性方程的一阶线性方程yyxyyxln22dd )1ln(ln)2( xxayxyx提示提示: 这是一阶线性方程这是一阶线性方程 , 其中其中,ln1)(xxxP )ln11()(xaxQ 原方程化为原方程化为 yxxy 2)10(xyxu 2, 即即,22uuxy 则则xydduxuuxu dd)(22故原方程通解故原方程通解Cy

7、xxyx 23)(33222dd xuuxuuexd2 Cueuu d2d2 Cuuu d21222232uCu u2xuxdd2xuudd2 提示提示: 令令分离变量，得分离变量，得两边积分，得两边积分，得例例6 求解微分方程求解微分方程 32232yyxxyy 解法解法1作代换作代换 ，uxy ，23dd2 uuxuxu，xxuuuud3d)1(2322 此方程为齐次方程，此方程为齐次方程，则有则有故方程的通解为故方程的通解为即即由于由于，Cxuuuuln|ln3d)1(2322 uuuuuuuud)12(d)1(23222，12)1ln(21|ln2Cuu ，3221xCuu Cyxy

8、222*解法解法2故方程的通解为故方程的通解为代回原变量，得代回原变量，得422 Cyyx，132dd yxxyyx此方程为贝努利方程，此时令此方程为贝努利方程，此时令 ,2xz ，yzyyz64dd ，42 Cyyz方程变形为方程变形为则有则有设设F(x)f (x) g(x), 其中函数其中函数 f(x), g(x) 在在(,+)内满足以下条件内满足以下条件:, 0)0(),()(),()( fxfxgxgxf且且(1) 求求F(x) 所满足的一阶微分方程所满足的一阶微分方程 ;(2) 求出求出F(x) 的表达式的表达式 .解解 (1) )()()()()(xgxfxgxfxF )()(22

9、xfxg )()(2)()(2xgxfxfxg )(2)2(2xFex 所以所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程满足的一阶线性非齐次微分方程:.2)()(xexgxf (2) 由一阶线性微分方程解的公式得由一阶线性微分方程解的公式得 CxeeexFxxx d4)(d22d2 Cxeexx d442代代入入上上式式，将将0)0()0()0( gfF1 C得得于是于是 xxeexF22)( xexFxF24)(2)( xxCee22 例例8 设河边点设河边点 O 的正对岸为点的正对岸为点 A , 河宽河宽 OA = h, 一鸭子从点一鸭子从点 A 游向点游向点利用共性建立微分方程利用共性建立

10、微分方程 ,利用个性确定定解条件利用个性确定定解条件.为平行直线为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点且鸭子游动方向始终朝着点O ,h提示提示: 如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系. 设时刻设时刻t 鸭子位于点鸭子位于点P (x, y) ,设鸭子设鸭子(在静水中在静水中)的游速大小为的游速大小为bP求鸭子游动的轨迹方程求鸭子游动的轨迹方程 . O ,水流速度大小为水流速度大小为 a ,两岸两岸 ),(ab )0,(aa abyxAo则则关键问题是正确关键问题是正确建立数学模型建立数学模型, 要点要点:则鸭子游速则鸭子游速 b 为为定解条件定解条件 a由此得微分方程由此得微分方程yxvvyx d

11、dyxybyxa 22即即v鸭子的实际运动速度为鸭子的实际运动速度为( 求解过程参考求解过程参考P306例例2 ).0 hyx yxdd yxyxba 12( 齐次方程齐次方程 ) b 0PObb ,dd,ddtytxv bav hPabyxAo2222,yxybyxxb 2222,yxyyxx 思考思考: 能否根据草图列方程能否根据草图列方程?),(yxMyxo练习题练习题:P354 题题 5 , 6 已知某曲线经过点已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程求它的方程 .提示提示: 设曲线上的动点为设曲线上的动点为 M (x,y

12、),)(xXyyY 令令 X = 0, 得截距得截距,xyyY 由题意知微分方程为由题意知微分方程为xxyy 即即11 yxy定解条件为定解条件为.11 xyyxxtanx此点处切线方程为此点处切线方程为它的切线在纵它的切线在纵,m630303 ,CO%12. 02的的其中含其中含的新鲜空气的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空分钟后使车间空2CO气中气中的含量不超过的含量不超过 0.06 % ?提示提示: 设每分钟应输入设每分钟应输入,m3k t 时刻车间空气中含时刻车间空气中含2CO,m3x为为则在则在,ttt 内车间内内车间内2CO x两端除以两

13、端除以 ,t 并令并令0 t25005400ddkxktx 与原有空气很快混合均匀后与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出以相同的流量排出 )得微分方程得微分方程tk 10004. 0txk 54005400( 假定输入的新鲜空气假定输入的新鲜空气 2CO%04. 0现以含现以含输入输入 , 的改变量为的改变量为 t = 30 时时5406. 0540010006. 0 x2504ln180 k25005400ddkxktx 5412. 00 tx解定解问题解定解问题)04. 008. 0(545400 tkex因此每分钟应至少输入因此每分钟应至少输入 250 3m新鲜空气新鲜空气 .初

14、始条件初始条件540010012. 00 tx5412. 0 得得 k = ? 一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数比例系数选用题选用题 小船从河边点小船从河边点 出发驶向对岸出发驶向对岸(两岸为平行线两岸为平行线)，设，设O船速为船速为 船行方向始终与河岸垂直又设河宽为船行方向始终与河岸垂直又设河宽为 ， 河中任河中任ah为为 )，求小船的航行路线，求小船的航行路线k解解 如图建立坐标系统，并使水流方向与如图建立坐标系统，并使水流方向与 的正向一的正向一x致设时刻致设时刻 时，小船位于时，小船位于t 处，则处，则)(),(tytx

15、Ph),(yxPxyO，atyyhyktx dd)(dd，)(ddtahtkatx 其初始条件为其初始条件为，0|0|00 ttyx先解得先解得 ，再由初始条件得，再由初始条件得 ，即，即1Ctay 01 C 代入到第一个方程中，即有代入到第一个方程中，即有tay 解得解得，232232Ctkatkahx 再由初始条件，得再由初始条件，得 即小船的航行曲线为即小船的航行曲线为02 C ，atytkatkahx32232或消去参数或消去参数 ，得，得t)23(632yyhakx 1求下列方程的通解：求下列方程的通解：1) ；0d)(d222yyxxxy2) ；0d)(d)e1 (yxyxyx3) ；31ddyxyxxy4) ；0dsin)cos2(d