PISA数学素养测试及其对我国青少年数学素养评价的启示

1、pisa数学素养测试及其对我国青少年数学素养评价的启示魏爱芳，天津师范大学教育学院硕士生（天津300385）. 国际学生评价项目（以下简称pisa）是由28个经合组织成员国和4个非成员国参与组织实施的，以15岁中学生为对象，主要评价学生现实生活和终身学习所必需的知识、技能等基本素养，并由此分析学生成绩与教育背景、学校因素以及情感态度之间的关系.数学是现代文化的重要组成部分，对人的发展具有重要意义.在思考数学对个人的意义时，必须考虑到个人对数学知识的掌握和运用程度.pisa数学素养测试从评价学生使用学科语言的能力出发，将测试问题置于现实情境中，考查学生是否具有应对未来生活挑战的能力.2009年开

2、始，我国部分城市也参与了pisa测试试点，对pi-sa数学素养的研究可以更好地反思我国的基础教育，提高我国青少年的数学素养，使其在未来的国际挑战中处于有利的地位. 一、数学素养的内涵 在我国数学教育发展史上，21世纪以前很少提及“数学素养”这个词语，用得比较多的是“数学能力”、“数学素质”、“数学学习水平”等.21世纪以来，这个词比较多地出现在各种文献与文件中.如张奠宙先生在数学教育研究导引中提出数学素质应该包括数学意识、问题解决、逻辑推理和信息交流四个部分.1全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）提出：“使学生在高中阶段继续受到数学教育，提高数学素养，对于提高全民族素质，为培养社会主义现

3、代化建设所需要的人才打好基础是十分必要的.”2这是首次在官方文件中提出“数学素养”.随后全日制九年义务教育数学课程标准（实验稿）（2001）和普通高中数学课程标准（实验稿）（2003）再次提及“数学素养”.随着新课程改革的不断深入，越来越多的教育工作者关注数学素养，对数学素养给出了不同的概念，并从数学素养的构成、对学生数学素养的培养等方面进行了一定的探索. 例如，郑强、贾如鹏把数学素养界定为“在数学课程学习过程中，学生通过数学知识的学习，内化数学文化的成果，最终在自己身上体现一种新的价值或达到新的水平”3.上海市中小学数学课程标准（试行稿）在课程理念中对数学素养有专门的描述：“数学素养是人们通

4、过数学教育以及自身的实践和认识活动，所获得的数学基础知识、基本技能、数学思想和观念，以及由此形成的数学思维品质和解决问题能力的总和.”4pisa2003、2006以及2009三次测试对数学素养所下的定义均一致，认为数学素养是个体认识、理解数学在现实社会中所起作用的能力，作出有根据的数学判断的能力，以及作为一个有独创精神、关心他人、有思想的公民参加数学活动以满足现实和未来生活需要的能力.5比较后可以发现pisa是建立在“终身学习”的动态模型基础之上的，在注重对数学素养的内涵进行新的诠释的同时，还强调不但要考查学生对学校数学课程内容的掌握情况，更要重视他们在不同的问题背景下对所学数学知识与技能的灵

5、活运用能力. 二、pisa数学素养测试的理论基础和测试框架 （一）理论基础数学化 pisa希望学生个体在把握数学知识和技能的基础上，创造性地将其应用于各种情境中，在知识和情境之间转换，这一过程叫做“数学化”.“数学化”的过程包括以下五个步骤：1.从现实中的问题开始；2.根据数学概念形成数学问题，识别相关数学知识；3.通过假设、普遍化和正式化等数学过程逐渐转换现实问题；4.解决数学问题；5.从现实情境角度理解数学解决方法，包括识别问题解决条件.6这一过程的最后步骤对数学化整个过程和结果进行反思，数学化过程的所有阶段都包含反思，但是在问题结论阶段的反思更加重要. （二）测试框架 pisa数学素养评

6、估的是学生在遇到真实问题时充分运用数学的能力.pisa数学框架为这种评估提出了理论依据并作了描述，要清楚地描述这个评估领域，必须区分以下三个组成成分. 1.数学情境 在处理那些可以应用数学知识解决的问题时，数学方法的选择往往取决于问题出现的情境，这是大家公认的.对pisa而言，距离学生最近的情境是学生的个人生活，其次是学校生活、职业生活和休闲生活，然后是日常生活中遇到的地方社区和社会生活，最远的是学术情境.pisa为求解的问题进行定义并使用的四种情境类型分别为个人情境、学校或职业情境、公众情境、学术情境.7而我国测试中的数学问题基本属于pisa中离学生距离最远的学术情境，长期进行这样的教学和测

7、试，可能反而会降低学生解决实际生活问题的能力，这是我国当前数学测试中应该注意的问题. 2.数学内容 pisa最近三次的数学素养测评内容都使用了四个“宏概念”来适应各方面的需要，如下面表1所示. pisa的测评重点虽不完全来源于传统的数学课程，但是仍将传统的数学课程内容作为数学素养评估的一小部分，这部分内容主要包含数字、测量、代数学、函数、几何学、统计学、离散数学等，pisa成员国的数学课程都包含这些内容，而且pisa也设计题目来评价这些内容，并确保其题目与学校数学课程相关题型的分布的均衡.9通过分别报告四个领域的学生成绩，pisa意识到不同学校系统在建构其全国课程时侧重点都有所不同.这种结果的

8、报告形式，使不同的学校系统能够根据其他国家或地区的选择对自己的课程重点进行定位，同时也使不同的学校系统能够通过评价得出这四个评估领域数学知识的水平和增长的均衡程度. 3.数学过程 这一部分主要是指学生运用数学解决现实问题的一种基本方法，要成功地在四个“宏概念”范围之内、不同情境下把具体问题数学化，一个人需要拥有许多数学能力.为了鉴别和考查不同的能力，pisa采用了niss等人的著作中提出的八种典型的数学能力：思维和推理、论证、传递交流、建立模型、提出和解决问题，表述、使用语言并进行操作、使用辅助工具.10当然，上述各种能力之间有很多重叠部分，在解决数学问题时通常必须运用多种能力，如果单独评价一

9、种能力可能结果会不太准确.根据认知活动的需要，pisa将上述八种能力划分为三个能力群：再现能力群、联系能力群、反思能力群.再现能力群在相对熟悉的题目中起作用，主要是要求学生再现训练过的知识进行直接计算.联系能力群基于再现能力群，解决的不再是简单的问题，通常会涉及一些熟悉的背景或对背景的扩展和超越.反思能力群建立在联系能力群基础之上，要求学生在运用相关数学概念或联系相关知识以获得答案时有创造性的表现.这种基于认知活动的能力划分细化、明确、层层递进，方便教师对学生的能力进行评价. 三、pisa测试对数学素养的评估 （一）抽样和测试 pisa选取的样本是年龄在15岁3个月到16岁2个月之间的在校学生

10、，不管学生在哪个年级或哪种教育机构就读，也不考虑他们接受的是否是全日制教育，但是不包括未在教育机构就读的15岁学生.pisa采用概率与抽样元素规模大小成比例的抽样法（简称pps抽样）.抽样前必须确定抽样的外显分层变量和内隐分层变量，分层的目的是为了等概率地抽取各学段各类不同教育质量的学校.第一阶段为学校抽样，首先由研究中心统计上报全市每所有15岁在校生的学校中15岁在校生数，然后由pisa国际专业协作组织用pps抽样法抽取学校；第二阶段为学生抽样，要求第一阶段被抽中的学校上报所有7年级及以上的15岁学生名单，由pisa研究中心运用keyquest软件从每所样本学校中随机抽取35名学生，不足35

11、名的则全部抽取. 在测试方法上，pisa采用纸笔测试，学生除了完成相应的试题外还要做一份2030分钟的问卷，回答与学习态度和家庭背景有关的问题，学校领导则要做一份约30分钟的问卷，回答与学校有关的情况.利用试卷和问卷，既可以了解学生学业表现的一般情况，又可以掌握学生学习的背景状况，使评价不仅仅是对学生的表现进行横向和纵向的比较，还可以分析影响学生成绩的因素，使教育研究者、教育决策者能够看清教育系统各个环节对学生学业成绩的影响，促进教育决策者关注并努力改善教育环境. （二）试题类型 pisa将几种类型的试题结合起来评估数学素养，包括多项选择型试题、封闭式建构型试题和开放式建构型试题等.这些题型中

12、，每一种都有大致相同数量的试题.多项选择适合快速和低成本地判断学生是否已掌握特定的技能、知识或信息收集能力.根据前几年试题命题和使用经验，专家们普遍认为多项选择型试题最适合用来评估与再现能力群和联系能力群相关联的试题.此类试题有明确的、数量有限的答案选项，答题时学生必须把这个问题转化成数学语言，设计一个模型来代表试题所描述环境的特征，并且把这个模式扩展开来，使其结果与试题选择项中的一项相匹配.封闭式建构型试题考查多项选择型试题类似的问题，但要求学生给出一种易于阅卷人员判断正误的回答.对这种类型的试题，不必担心猜测因素，也没有必要提供迷惑解.大约有三分之一的数学试题是开放式建构型试题，评卷工作需

13、要专门训练过的人员根据一套编码标准进行编码.这些试题的评卷员之间可能会有意见分歧，pisa将开展评卷员信度研究，用来监控评卷员之间的差异.下面的例题是利用多项选择的方式设计的题目： 样题111：一只海豹即使在睡觉的时候也要呼吸.马丁对海豹观察了一个小时.开始时，海豹跳入海底睡觉.8分钟后，慢慢浮出水面开始呼吸.3分钟后，它又回到海底，整个过程从开始到结束都非常有规律.一小时后，海豹： a.在海底b.在上浮的过程中 c.呼吸d.在下沉的过程中. 从表面上看，这是现实问题，而其数学本质却是周期问题.虽然它是封闭的选择题，但这样的现实题材更有利于考查学生将现实问题“数学化”的本领.学校以外的现实生活

14、问题和情境会与数学知识相联系，但一般不会以这样熟悉的形式出现.学生必须把情境或问题转换成与数学相关并可运用数学的形式，学生如果没有练习过类似的过程，就不可能充分体现使用数学解决生活问题的潜力. （三）报告学生数学素养水平 为归纳测试结果，pisa创立了一个描述性考试成绩量表，量表通过统计程序制定，使用项目反应模型为排序后的成绩数据定级，用总体量表描述考试成绩的特性.pisa为学生的数学素养设计了六个能力水平，水平1到水平6，由低到高，每个水平都规定了具体能达到的要求.12 水平1（357.8420.1分）（357.8分数420.1，下文各水平分数区间划定方法同此）：学生能回答熟悉的情境中包含所

15、有相关信息且明确界定的问题.他们能根据清晰情境的直接指示确定信息并进行常规的操作，他们能执行显而易见的操作，并能立即仿效一定的操作. 水平2（420.1482.4分）：学生能解释和识别不需要太多间接推测的情境，他们能从单一的信息源中找出相关的信息并使用单一的表征模式.处于这个水平的学生能使用基本的算法、公式、过程或步骤.他们能进行直接的推理，对结果作出一些字面解释. 水平3（482.4544.7分）：学生能够执行清晰地描述的过程，包括那些需要作出一系列决定的过程.他们能选择和应用简单的问题解决策略.这一水平的学生能对不同信息源的表征进行理解和应用，并进行直接推理.他们能进行简短的交流，报告他们

16、的解释、结果和推理. 水平4（544.7607.0分）：学生能够有效地处理较复杂的情境，提出清晰的模型，这些情境可能包括一些限定条件或要求作出一些假设.他们能选择和整合不同的表征（包括符号化的表征），直接将其与现实情况相联系；学生能基于对实际情况的分析，较灵活地运用技能和推理.他们能提出解释，能基于他们的解释、论据和行动方案进行解释. 水平5（607.0669.3分）：学生能够对复杂情境建立模型并利用模型解决问题，能确定其限定条件并作出假设.他们能对与这些模型相关的处理复杂问题的解决策略进行选择、比较并对其合理性进行评价.处于这个水平的学生能有效地利用广泛的、得到很好发展的思考和推理能力.他们

17、能反思他们的行为，形成并交流他们的解释和推理. 水平6（大于669.3分）：学生在对复杂问题情境进行研究和建模的基础上，能够对所获信息进行概念化，概括并加以运用.他们能将不同的信息源和表征联系起来并自由转换.该水平的学生能进行高水平的数学思维和推理.他们运用这种领悟力和理解力，以及所掌握的符号化和形式化的数学运算与关系，可以提出新的方法和策略来破解陌生情境中的问题，能够准确地交流他们的做法以及他们对自己的发现、解释、观点及对实际情境适用性的反思. 六个能力水平的划分可以把分数在连续量表某一范围的学生归入其中一组.pisa采用了一个容易理解的标准来划分学生，即每个学生被归到预期他们能够正确回答出

18、大多数的测试题目的最高水平组.如：在1个题目全都是第4水平（544.7607.0分）的测试中，处于这个水平的学生都可以至少做对50%的题目.处于该水平底部的学生（544.7分）预计会做对将近50%的题目；位于该水平中间或靠近顶部的学生将会做对更多比例的题目.表2是2006年pisa数学素养测试结果的节选. 由表2可知，中国台湾、芬兰、中国香港和韩国，超过50%的学生成绩达到了水平4；日本有42.4%的学生成绩达到水平4.通过查看相应数据，可以看出本国或本地区学生的数学素养处于某一水平上的比例，还可以将本国或本地区的水平与oecd整体进行比较.除了对测试内容评价分层之外，国家或地区也可以对影响学

19、生成绩的因素从国家或地区层面、学校层面、学生个人层面进行分层调查与分析. 四、pisa数学素养测试对我国数学评价的启示 （一）改革评价理念 我国传统的评价观念是与精英教育的人才观念相联系的，考查的重点是学生对知识的掌握程度，这样的评价观念与国际上着眼于学生终身可持续发展的理念相距甚远.pisa是为终身学习能力的发展而建构的评价，评价学生对现实生活中所需要的重要数学知识和技能的掌握情况，以及应用数学知识和技能解决实际问题的能力.此外，它还要求学生报告学习动机、自我概念和学习策略等.所以，针对国际形势，改革那些实质上是以评价精英的数学水平，而不是以评价大众的数学素养为目的的数学教育评价是当前我国数

20、学教育研究的重要任务.数学教育评价不应单纯地评价学生掌握数学知识的“多寡”和数学技能的“高低”，而应以数学素养作为评价的中心内容，使评价成为“泵”而不是“筛”.14 （二）拓宽评价维度 数学评价的根本目的不是为了决出学生在数学水平上的高低，而是从各个渠道激励学生学习数学的信心，着力于学生的数学素养提高，如数学意识的提升、学习情感的升华、数学思考习惯的养成等等，从而促进学生的全面发展.评价既要关注学生的数学学习体验和数学素养，也要关注学生的个性化发展和创造性表现.传统的教育评价注重学生获得怎样的答案，而不是怎样获得答案.这样，学生获得答案的过程都被摒弃于评价视野之外.过程性评价则能深入到学生发展

21、的进程中，及时地、动态地了解学生在发展中遇到的问题、困惑与收获，从而可以对学生的良性发展和持续进步实施有效的、适时的指导.15pisa还将学生的学习结果的数据与学生个人特征数据以及学校内外影响他们学习的关键因素联系起来综合评价.根据pisa报告得知，学生不同的家庭背景、各国不同的教育制度、教学方式和其他社会因素都有可能在学生的测试结果中表现出差异，因此，可以认为评价的结果在某种程度上折射出了学生家庭、文化、教育、经济等背景上的差异.所以，对于评价结果的分析不应是孤立的，应将其置于具体的背景中加以分析解释，要考虑学生的个体差异性.16 （三）关注数学情境 我国的教育中常常会出现这样的现象，考试中

22、的问题学生会做，而将同样的问题放在实践中学生却不知所措.究其原因是因为考试中的问题一般都是孤立的，缺乏与生活实践的联系，所测题目对学生将来的生活实践很少有预见性的价值.当然，我们的试题中也有应用题，但主要还是根据所学的相关知识进行人为的编制，对测试的学术情境关注过多.pisa所有数学测试题的呈现方式是以一个主题为单元，文字描述实际背景，学生需要经历将实际问题“数学化”的过程，突出了数学试题的现实性，强化了对文字的理解，以及在真实的新情境下解决问题的能力.因此，要特别强调关注学生将所学知识、技能应用于实践之中的能力，评价问题的设计要尽量具有真实性、情境性.在评价中注重培养学生对现实生活的领悟能力

23、、解释能力、创造能力和自我控制能力.在新课程三维目标评价中，“过程与方法”、“情感、态度与价值观”的评价是难点，对此，我们可以从pisa的样题中得到一定的启示和借鉴. 样题217：存款 把1000 zed存入银行储蓄账户.储户有两种选择：一是可以得到年利率4%的利息；二是立即拿到10 zed红利，但利息的年利率是3%. 问题：一年后哪种选择的收益更高？两年以后呢？ 该题的情境是“财政与金融”.其情境来自地方社区和社会，pisa把它们划入“公众情境”.该题的环境涉及的是某种货币和银行账户利率，在这种环境下数学的应用确实能解决问题，所以它提供了一种应用数学的真实环境.这种数学应用的真实性是pisa

24、试题设计和试题分析的重要方面，它与数学素养的定义密切相关.情境越真实或接近事实，越能有效地评价学生利用所学知识，发现、处理和解决真实情境中的问题的能力.这也是与建构主义学习理论一致的，即学习情境越是真实，学习主体建构的知识也就越可靠，从而准确评价学生是否从学习中获得了“真实的知识”. （四）更新评价内容 当前，我国的数学评价是评价学生通过数学课堂教学后所掌握的数学知识的程度，即在寻找学生正确解答问题的过程和结果时，发现他们的缺陷，并用分数加以显化.同时，对于某些可以区分思维层次的问题，又采用一刀切，未能充分挖掘学生思维的合理成分.这样的评价对激励学生的数学学习和促进教师的课堂教学未能发挥积极的

25、作用.18针对此现状，真正实现对学生数学素养的评价必须在测评内容上有所突破和创新.我们要突破数学试题“书”中取材的局限和“已知求解”、“已知求证”的问题模式，力求使问题与学生的生活经验、社会生活实际联系起来，并以此引导数学教学的努力方向.当学生确实体会到数学在他们的实际生活中有用时，他们的数学学习就会变得更加有意义.此外，由于实际生活中的问题往往不会只涉及数学中的某一部分内容，而是会涉及多个方面，如几何、算数、代数、统计等，所以我们应该将数学评价问题与社会经济、生态环境、科技发展等不同学科领域的知识有机地联系起来，要求学生综合地运用自己所学的各门课程的知识来解决问题. （五）变革评价标准 荷兰

26、大学教授梁兆兵面对记者采访时曾谈到他的评分标准，他认为，掌握了教师教的、书本上有的基础知识，表明用功了，可以得6分（10分制），但要得6分以上的成绩则必须有创见提出新观点并通过逻辑推理加以证明.因此应该对那种看似公正的以考分为单一尺度的评价观再认识，以求正视由于这种被异化了的考试功能作用而出现的“怎样考，就怎样教”的教育现象.19长期以来，通过测验或考试对学生数学学习进行评价的标准往往注重解题的结果，对于解题过程严格按步骤给分.因此，导致教师教学中过度强调数学解题方法、步骤的规范和答案的准确，学生则注重自己在解题时是否运用了教师或教科书中所教的方法、是否丢掉了“必要”的解题步骤、是否得到了准确的答案等.为了阅卷方便，对于考试试题通常给出唯一正确的“标准”答案，答案的编制一定程度上也限制了学生的创造思维.而pisa评卷中是有层次地区分学生的思维，努力发掘学生解答中所蕴涵的合理成分，甚至只要学生回答的其他要素是不相关的而不是矛盾的，那么不相关的内容可