排列组合问题之捆绑法-插空法和插板法

1、行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然 后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。例1 若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻 位置，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆 绑”，视其为“一个人”，也即对“ A，B”、C D E “四个人”进行排列，有 上:种排法。又因为捆绑在一起的 A B两人也要排序，有 J种排法。根据分步 乘法原理，总的排法有 茁J 二二种。例2.有8本不同

2、的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。 若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起 的排法共有多少种？【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆 绑”在一起看成一本大书，与其它 3本书一起看作5个元素，共有-种排法； 又3本数学书有 三种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排 法： 1 1 乂种。【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑” 起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先 将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插

3、入已排好元素的间隙或两端位置， 从而将问题解决的策略。例3.若有A、B、C、D E五个人排队，要求 A和B两个人必须不站在一 起，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D E三个人排列, 有匕种排法；若排成D C E，则D C E “中间”和“两端”共有四个空位 置，也即是： D C E,此时可将 A B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有 点种插法。由乘法原理，共有排队方法：例4.在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再 添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个

4、空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有 7个空位），有厂种 方法；再用另一个节目去插 8个空位，有丄种方法；用最后一个节目去插 9个 空位，有二方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为 丄：二 n =504种。例4.一条马路上有编号为1、2、9的九盏路灯，为了节约用电， 可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关 灯方法有多少种？【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插 7个空位，共有工种方法（请您想想为7什么不是上-），因此所有不同的关灯方法有 ，种。3x2x1【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合问题时

5、，一定要注意插空位置 包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变, 再添加进去2个新节目，有多少种安排方法？（国考 2008-57）A. 20 B . 12 C . 6 D . 4插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求每组至少一个元素；若对于“可空”问题，即每组可以是零个元素，又该如何解题呢？下面先给各位考生看一道题目：M 1.现有iu今完全感闫他球全部分给？尽班级.搏班至少I人議问共有多少种 不同的分法？【聲析】題目屮球的分法苑三类：第一失 育3个班毎个班分到2个球、瓦余4

6、个班毎班分到个球.瓦分注冲垃为第二类：有！个班分到3个球，I个班分到2个球.其余5个班每班分到I个球.梵分法那蛮第三类：右1个詆分到4个球.其氽匹b个班每班分到丨个球.苴廿法冲故Q听头id个球分給丁个班*毎班至少一人球的分法幷址为；+ =84,从上面婴题过程來春 对这类间翹芒行分类汁算比姣脣锁.若是上題中諭的数目 絞名处理起来将更加固难因此我们需要寻求一种簌的模式翼决问题.我们创设这样一种 虚拟的情境一板。将IU个唱同的球排成一行汕个球之间岀观了 9个空栏，現圧我们用”拦板”把10 个球超或有孚的7份每个班级依次按躬级序号分到对应也置的儿小球可能是1个、2 个、3个、4个几誉助手这样的蛊拟样拦

7、er分配物从的方法称之为插胶法-曰上述分祈可知分瑟的方法实际上対拦板泊拯注：U1是在9个空栏之申搔入6入 “拦板円”小拦板叮把球分为？爼）H方法秤盐为住由上述问题的分柝可看到这种播板法解决起来非常简单.但同时也霖讀各傥考生* 这类闵题橈型的适用就提相当严楼.必须同时满足A F 3卜条L：X 听妾分旅九離必须定仝感冋:所要分的元素必须分完，决不允许有剩余参与分元素的每组至少分到 1 个，决不允许出现分不到元素的组下面再给各位看一道例题：例2.有 8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有 ( ) 种不同方法 .A.35 B.28 C.21 D.45【解析】这道题很多同学错选 C,错误的原因是直接套用

8、上面所讲的“插板 法”，而忽略了“插板法”的适用条件。例 2和例 1的最大区别是：例 1的每组 元素都要求“非空”,而例 2 则无此要求,即可以出现空盒子。其实此题还是用“插板法”,只是要做一些小变化,详解如下：8个设想把这呂个球一令接一今排起衮邸 OOOOOOOO，共形成9令空样 （此时的空档包括中阖了个空档和两熾2个空档）.然后用2个捋板把这8个球分成3爼, 先插第一个搭板.也于可以有空盒.所以有g个空栏可以摘：再擂第二兮医.旳山几空 栏可以疑.砂于商令*5是不可分的（也就是说芳的个拦皈疋邻时-吳然是曲种擢法但 实游上是一冲分法人祈以共 = 45种.例3. （1）已知方程亠*如求这个方程的

9、巫萼救解的个数.（2）已虻方程求这个方程的扉衣如衣矍的个热-* b 【整析】“）将20分成2D个1列出來匸1 1 n 1 1 ） I 1 M 1 1 1 1 1 M 1 1 ftS 20 个数中何的19小空中播入2厶板子.将曲分成3剂分.毎f剖分对应的人数.按L列j =: 十 即是正整數牌.故正整数鰐的个数曲解法非常简单.（2）此題和傥2的輕法完全绘同清各也考生仃己考虑一入从以上例盟的分析来看.在利用“插扳法-m这种相同元索排列组令问超时.一定芸 注意“空”与“不空的分析防止障入陷跖 例3的商题旃比势 可比很明显地看出 哙 与1*不空”的区别.叮F空问题疑板法题日泉型为：没有材个疋同元袁.分成加（丹玄卅）经每经至 少一朕元衰的分统方法共有CH：町空”何趣撼板法问题原型为，设有厅人卓网元素. 分成加（