理论力学011理力-动量定理

1、12实际上的问题是： 1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。 2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运 动，仅需要研究质点系整体的运动情况。动力学普遍定理概述动力学普遍定理概述 对质点质点动力学问题：建立质点运动微分方程求解。对质点系质点系动力学问题：理论上讲，n个质点列出3n个微分方程， 联立求解它们即可。 从本章起，将要讲述解答动力学问题的其它方法， 而首先要讨论的是动力学普遍定理动力学普遍定理（包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理）。3 它们以简明的数学形式，表明两种量 一种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同力相关的量(冲量、力

2、矩、功等) 之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷 。 本章中研究质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变动量的改变与力的冲量之间的关系与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形式质心运动定理质心运动定理。4 101 质点系的质心质点系的质心 内力与外力内力与外力 102 动量与冲量动量与冲量 103 动量定理动量定理 104 质心运动定理质心运动定理第十章第十章 动量定理动量定理5一一. .质点系的质心质点系的质心 质点系的质量中心称为质心质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的

3、一个重要概念。 10-1 10-1 质点系的质心质点系的质心 内力与外力内力与外力)( imMiiCiiCrmrMMrmr 或则设,kzjyixrcccc MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC , ,质心 C 点的位置： 6 在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。内力内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。 对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）

4、的主矩恒等于零。即：。或 0)( 0)( ; 0)()()(iixiiOiiFmFmF二、质点系的内力与外力二、质点系的内力与外力外力外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。710-2 10-2 动量与冲量动量与冲量 一、动量一、动量 1.1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积质点的动量：质点的质量与速度的乘积mv 称为称为质点的动量。质点的动量。 是瞬时矢量，方向与v 相同。单位是kg m/s。 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。例如例如：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。 8 2.2.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和质点系的动量：质点系中

5、所有各质点的动量的矢量和。CiivMvmK) (求导CiirMrm 质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。则：CCzzCCyyCCxxzMMvKyMMvKxMMvK , , 3.刚体系统的动量刚体系统的动量：设第i个刚体则整个系统：ciivm ,CiivmKCiiCizizCiiCiyiyCiiCixixzmvmKymvmKxmvmK9解解: 曲柄OA：滑块B：连杆AB： （P为速度瞬心） ABlPC;252 例例 曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转动，设OA=AB=l ，曲柄OA及连杆AB都是匀质杆，质量各为m ，滑块B的质量也为m。求求当 = 45时系统的动量。lvmC21 , 1

6、llvmABC2525 ,2lvmC2 ,310)101252221()2103252221()sin2545cos21()2cos2545sin21(jimljllilllm2122jimlivvvmvmvmvmKCCCCCC)cossin( 321321)sincos(21jvvCC系统的动量为112力是变矢量：（包括大小和方向的变化）元冲量元冲量： 冲量冲量：F)(12tt FItddFI 21dtttFI1力是常矢量：F二冲量二冲量 力与其作用时间的乘积称为力的冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力作用较短的

7、时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。12 3合力的冲量合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和 itttttttttIFFRIddd212121冲量的单位：m/skg sm/skg sN2 与动量单位同。212121dI ,d ,dttttttzzyyxxtFtFItFI1310-3动量定理动量定理一质点的动量定理一质点的动量定理FvmdtdFdtvdmam)( 质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）Itmdd)d( FvIFvvtmmttd2112质点的动量定理 微分形式微分形式：（动量的微分等于力的元冲量） 积分形式积分形式

8、：14 投影形式：投影形式：xxFmvdtd)(yyFmvdtd)(zzFmvdtd)(2112ttxxxxdtFSmvmv2112ttyyyydtFSmvmv2112ttzzzzdtFSmvmv 质点的动量守恒质点的动量守恒若，则常矢量，质点作惯性运动若，则常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动0F0 xFvmxmv二质点系的动量定理二质点系的动量定理)()()(ddeiiiiiFFvmt )0()(dd)()(iieiiiiiFFFvmt而 )(ddeiFtK质点系的动量定理对整个质点系：对质点系内任一质点 i，15 质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的质点系动量对时间的导数等

9、于作用在质点系上所有外力的矢量和。矢量和。 质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。矢量和。 在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和。质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和。 积分形式积分形式)(12eiIKKeiKieIdtF微分形式微分形式)()(dd16 投影形式：投影形式：)(eixxFdtdK)(eiyyFdtdK)(eizzFdtdK21)()(12tteixexxdtFSixKK21)()(12ttei

10、yeyydtFSiyKK21)()(12tteizezzdtFSizKK 质点系的动量守恒质点系的动量守恒若则常矢量。若则常量。, 0)(eiF, 0)(eixFiivmKixixvmK 只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。17 例例22 设作用在活塞上的合力为F，按规律 变化，其中为活塞的质量为 ， 。已知 ，活塞的速度 m/s，方向沿水平向右。试求 s时活塞的速度。解解 以活塞为研究对象。已知作用在活塞上的合力F随时间的变化规律及 ，欲求

11、，故采用积分形式的动量定理。取坐标轴Ox向右为正，根据公式，有)1 (4 . 0ktmgFm11.6 sk01t2 . 01v5 . 02t21、tv2vxxxImvmv12 在给定条件下，2211 22 d0.4(1)d0.4(1)2ttxxttkIFtmgkttmgtt(a)(b)18将式(b)及 代入式(a)，得2211vvvvxx 、)21 (4 . 0)(2212tkmgtvvm解得 m/s 38. 1)5 . 026 . 11 (5 . 08 . 94 . 02 . 0)21 (4 . 02212tkgtvv 例例3 3 有一质量 kg的邮包从传送带上以速度 m/s沿斜面落入一邮车

12、内，如图所示。已知邮车的质量 kg，原处于静止，不计车与地面间的摩擦，求邮包落入车内后车的速度 。10m31v50M2v19 解解 将邮包及邮车分别视为两质点，组成一质点系。因作用于质点系上的外力在 轴上投影的代数和等于零，即 ，故质点系的动量在 轴上的投影应保持不变，即 x0)(exFx22o1030cosMvmvmv解得 m/s 433. 0501030cos31030cosoo12Mmmvv20例例4 4 如图所示物块 ，重量各 为(W1W2)，挂在绳子两端，绳子绕在重量为W的均质滑轮上，设 下降时其加速度为 。求支座对滑轮的约束反力。解解 两物块和滑轮组成一质点系。作用于质点系上的外力

13、有重力 和支座对滑轮的约束反力 。设M1下降时，其速度为 ，应用质点系的动量定理微分形式，在坐标轴 上有：21MM 、12WW、1M1a12WWW、NFvy( )ddyeypFt 21其中质点系的动量及作用于质点系上的外力分别为代入上式得 解得 WWWFFvgWWvgWgWvmvmpeyy21N)(12212211)(WWWFagWW21N12agWWWWWF1221N22 例例55 质量为M的大三角形柱体， 放于光滑水平面上， 斜面上另放一质量为m的小三角形柱体，求小三角形柱体滑到底时，大三角形柱体的位移。0)(axmvvM解解：选选两物体组成的系统为研究对象。研究对象。受力分析受力分析，

14、, 0)(exFxK水平方向常量。由水平方向动量守恒及初始静止由水平方向动量守恒及初始静止；则0)()(vvmvMrx)( bamMmSmMmSrxrvravvvv设大三角块速度 ，小三角块相对大三角块速度为 ，则小三角块运动分析运动分析， mmMSSmmMvvrxrx23运动分析，设经过时间后，流体AB运动到位置ab， 例例66 流体流过弯管时， 在截面A和B处的平均流速分别为 求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。 设流体不可压缩，流量Q(m3/s)为常量， 密度为 (kg/m3）。),m/s(,21vv)()(12aBAaBbaBABabKKKKKKK 1212 )()(vtQvtQK

15、KKKKAaBbaBaB 解：解： 取截面A与B之间的流体作为研究的质点系。 受力分析如图示。由质点系动量定理；得RPPWvvQtKtKt21120)(limdd 24静反力静反力 ， 动反力动反力)(21PPWR)( 12vvQR计算 时，常采用投影形式 R)( 12xxxvvQR)( 12yyyvvQR与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力。 RRPPWvvQtKtKt21120)(limdd)()(1221vvQPPWR即即2510-4质心运动定理质心运动定理将 代入到质点系动量定理，得CvMK)()(ddeiCFvMt若质点系质量不变，则 或)(eiCFaM)(eiCFrM 上式

16、称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。质点系质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。和（外力系的主矢）。1. 投影形式：投影形式：。 , , )()()(eizCCzeiyCCyeixCCxFzMMaFyMMaFxMMa 。 0 , , )()(2)(eibeinCCneiCFFvMMaFdtdvMMa26)(eixCiiCixiFxmam )(eiyCiiCiyiFymam )(eizCiiCiziFzmam 3. 质心运动定理是动量定理的另一种表现形式

17、，与质点运动微分方程形式相似。对于任意一个质点系，对于任意一个质点系， 无论它作什么形无论它作什么形式的运动，式的运动， 质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动，质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动， 并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上，并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上， 所有外所有外力也集中作用在质心这个点上力也集中作用在质心这个点上。2. 刚体系统：刚体系统：设第 i 个刚体 mi，vCi，则有 或)(eiCiiFam)(eiCiiFrm )(eiCFaM)(eiCFrM 27 4. 质心运动守恒定律质心运动守恒定律若，则 常矢量，质心作匀速直线运动； 若开始时

18、系统静止，即 则常矢量,质心位置守恒。若则 常量，质心沿x方向速度不变；若存在 则 常量，质心在x 轴的位置坐标保持不变。 0)(eiFCCvoa , 00CvCr,)( 0eixFCxCxva , 000CxvCx 5质心运动定理可求解两类动力学问题：质心运动定理可求解两类动力学问题： 已知质点系质心的运动, 求作用于质点系的外力(包括约束反力)。 已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。 只有外力才能改变质点系质心的运动只有外力才能改变质点系质心的运动, 内力不能改变质心内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。的运动，但可以改变系统内各质点的运动。28 解解: 取整个电动机作为质点系研究，分析受力， 受力图如图示。运动分析：定子质心加速度a1=0，转子质心O2的加速度a2=e2，方向指向O1。 例例77 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1, 转子质量为m2 , 转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差, 转子的质心O2到O1的距离为e 。求转子以角速度 作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束反力。2