流体静力学基础

1、2.1 流体的受力分析流体的受力分析 固体在确定的剪切力的作用下产生固定的变形，固体在确定的剪切力的作用下产生固定的变形，流体在剪切力作用下产生连续的的变形，即连续运流体在剪切力作用下产生连续的的变形，即连续运动。先看看一般物体所受到的力。动。先看看一般物体所受到的力。2.1 流体的受力分析流体的受力分析风鼓起帆，风鼓起帆，船破水前船破水前行，海鸟行，海鸟在天空飞在天空飞翔，流体翔，流体的力在我的力在我们的生活们的生活中无处不中无处不在。在。2.1 流体的受力分析流体的受力分析流体力学中习惯按照作用形式将物体受到的作用力分为两类：一类是不需要接触，作用于全部流体上的力，称为体积力或质量力；另一

2、类是直接与物体相接触而施加的力，称为表面力。 2.1 流体的受力分析流体的受力分析重力（万有引力）和磁力都属于体积力，如果分析问题时采用非惯性坐标，则惯性力也是一种体积力。压力和粘性力都属于表面力，压力是正应力，就是说流体中任何表面上的压力都与该面垂直。流体内部的切应力完全由粘性力产生，而正应力中也有粘性力的贡献。在多数情况下，粘性正应力比起压力来说小到可以忽略，所以通常认为粘性只产生切应力。 2.1 流体的受力分析流体的受力分析在静止的流体中或者运动的无粘流体中，任一点的压力大小与其作用方向无关。这个性质使流体的压力具有标量属性，可以看作是流体的一种状态参数。我们可以这样理解压力与方向无关的

3、特性：对于静止的或者运动的无粘流体，压力是唯一的表面力。对流体中的某一点而言，体积力（重力和惯性力）趋向于零，来自四面八方的表面力之间要达成平衡，就必须全部相同。 2.1 流体的受力分析流体的受力分析 右右图帆船上所受的力，图帆船上所受的力，包括包括风给风给予帆船推进力，帆船前进的阻力予帆船推进力，帆船前进的阻力主要由水产生，同时帆船浮在水主要由水产生，同时帆船浮在水面上，浮力与重力平衡。在这些面上，浮力与重力平衡。在这些力之中，只有重力是体积力，浮力之中，只有重力是体积力，浮力、推进力、阻力都是表面力的力、推进力、阻力都是表面力的合力。合力。当风突然加大时，推进力增大，当风突然加大时，推进力

4、增大，与当时水的阻力之间不平衡，与当时水的阻力之间不平衡，船就会加速前进，这时推进力除船就会加速前进，这时推进力除需要克服阻力外，还需要克服船需要克服阻力外，还需要克服船本身的惯性。以运动的船为参照本身的惯性。以运动的船为参照物，惯性表示为惯性力，惯性力物，惯性表示为惯性力，惯性力是体积力。是体积力。体积力直接作用于流体体积上的力称为体积力,体积力与该流体微团周围有无流体无关。体积力又称质量力。流体力学中经常采用的是单位质量的体积力，用 表示。如作用于 体积上的体积力为 ， 体积中的流体密度为 ，则fFFf0lim外界作用于该团流体上的体积力为 。绝大多数流体力学问题中，流体是处于重力场中，令

5、 为重力加速度，则dfggf 2.1 流体的受力分析流体的受力分析2.1 流体的受力分析流体的受力分析 表面力为具有直接分子起因的所谓表面力为具有直接分子起因的所谓短程力短程力。它们随着。它们随着互相作用的微元间距离的增大而急剧减小，而且仅仅在量互相作用的微元间距离的增大而急剧减小，而且仅仅在量级为流体的分子间距的距离上它们才是显著的。因此，除级为流体的分子间距的距离上它们才是显著的。因此，除非在两个互相接触的微元间存在直接的机械接触，如同两非在两个互相接触的微元间存在直接的机械接触，如同两个刚体互相作用那样，短程力都是可以忽略不计的。个刚体互相作用那样，短程力都是可以忽略不计的。 如果流体质

6、元受到此微元以外的物质的反作用产生的如果流体质元受到此微元以外的物质的反作用产生的短程力作用，这些短程力仅仅能够作用在紧贴该流体微元短程力作用，这些短程力仅仅能够作用在紧贴该流体微元边界的很薄一层内，薄层厚度等于力的穿透深度。因而作边界的很薄一层内，薄层厚度等于力的穿透深度。因而作用在微元上的总的短程力就决定于微元的表面积，而与微用在微元上的总的短程力就决定于微元的表面积，而与微元的体积没有直接关系。元的体积没有直接关系。 2.1 流体的受力分析流体的受力分析只要短程力的穿透深度与此面元的线性尺度相比是小量，只要短程力的穿透深度与此面元的线性尺度相比是小量，通过此面元作用的总力就正比于其面积通

7、过此面元作用的总力就正比于其面积 ，在时刻，在时刻 ，位，位置为的置为的 面元上这个力的值可写为向量面元上这个力的值可写为向量一般来说，体力对于固体或流体局部特性的影响是明显的，一般来说，体力对于固体或流体局部特性的影响是明显的，至少对重力或由于采用加速坐标参照系引起的虚拟力而言至少对重力或由于采用加速坐标参照系引起的虚拟力而言是如此的，但是面力对于流体局部性质及运动的影响则需是如此的，但是面力对于流体局部性质及运动的影响则需要仔细加以考虑。要仔细加以考虑。Atx( , , )f n x tA2.1 流体的受力分析流体的受力分析物体由于外因而变形时，在物体内各部分之间产生物体由于外因而变形时，

8、在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置。在所使物体从变形后的位置回复到变形前的位置。在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。 静止流体保持恒定的变形，不存在任何方向的变形速率，所以没有用以抵抗不断变形的切向应力，流体表面的作用力只有法向应力。由于流体除承受很小的表面张力外，不能承受切应力，所以法向应力只能是压应力，于是静止流体的应力只有法向的压应力。2.1 流体的受力分析流体的受力分析再看一个有点诡异的实验再看一个有点诡异的实验2.1 流

9、体的受力分析流体的受力分析“诸诸位，位，我我只只用用一一点点水，水，就就可可以以把把这这个个木木桶桶撑撑裂裂”你可以给出解释吗你可以给出解释吗?还是从看起来简单一些的处于静止状态的流体的受力开还是从看起来简单一些的处于静止状态的流体的受力开始始2.1 流体的受力分析流体的受力分析 流体的静止状态指的是流体各部分之间没有流体的静止状态指的是流体各部分之间没有相对运动，或者说流体的形状不发生改变。根据相对运动，或者说流体的形状不发生改变。根据流体的定义可知，这时粘性完全不发生作用，流流体的定义可知，这时粘性完全不发生作用，流体中的表面力只有压力，因此流体静力学的核心体中的表面力只有压力，因此流体静

10、力学的核心问题就是压力与体积力的平衡关系。问题就是压力与体积力的平衡关系。2.2 流体静止时的受力分析 流体静力学流体静力学研究处于静止状态的流体（简称静研究处于静止状态的流体（简称静止流体）应遵循的规律，它主要讨论静止流体的压止流体）应遵循的规律，它主要讨论静止流体的压力以及静止流体与它的边界之间的作用力。力以及静止流体与它的边界之间的作用力。 因为体积力一般为重力和惯性力，所以静力学因为体积力一般为重力和惯性力，所以静力学的问题主要分两类：的问题主要分两类： 一一类是重力场中静止的流体的问题；类是重力场中静止的流体的问题； 另一类是流体不变形地做变速运动的问题。另一类是流体不变形地做变速运

11、动的问题。2.2 流体静止时的受力分析当流体处于静止状态时，流体内部没有相对运动，根据牛顿内摩擦定律，静止流体的切应力为零，显然，这时流体也不呈现粘性。因此流体静力学所得出的结论对理想流体（ ）或实际流体（ ）都是适用的。 002.2 流体静止时的受力分析流体静止时的受力分析对于任何一个静止的处于其他微团包围之下的流体对于任何一个静止的处于其他微团包围之下的流体微团而言，四周流体给予它的微团而言，四周流体给予它的表面力表面力（压力）之和（压力）之和必然和它所受的必然和它所受的体积力体积力相互抵消。在直角坐标系中，相互抵消。在直角坐标系中，压力产生的合力沿任一坐标方向的投影都与那个方压力产生的合

12、力沿任一坐标方向的投影都与那个方向的体积力大小相等方向相反。向的体积力大小相等方向相反。下面我们将针对一个下面我们将针对一个流体微团流体微团进行分析，并导出一进行分析，并导出一般形式的关系式。般形式的关系式。2.2 流体静止时的受力分析流体静止时的受力分析如图所示，在静止的流如图所示，在静止的流体内部取一个六面体，体内部取一个六面体，让其六个面分别垂直于让其六个面分别垂直于3个坐标轴。个坐标轴。3个方向的边个方向的边长分别为长分别为dx，dy和和dz，于是该六面体的体积为于是该六面体的体积为dxdydz，质量为，质量为dxdydz。如果用。如果用Fb表表示体积力，用示体积力，用fb表示单位表示

13、单位质量的体积力，则有如质量的体积力，则有如下关系式：下关系式：在直角坐标系中，上式可以写成分量形式，即：在直角坐标系中，上式可以写成分量形式，即：2.2 流体静止时的受力分析流体静止时的受力分析与体积力平衡的压力具有标量属性与体积力平衡的压力具有标量属性。也就是说对于一点来说，也就是说对于一点来说，压力沿任何方向的大小都是一样的。压力与其作用的面积相乘压力沿任何方向的大小都是一样的。压力与其作用的面积相乘是表面力，表面力是有方向的，因为压力的作用面是有方向的。是表面力，表面力是有方向的，因为压力的作用面是有方向的。比如对于浸入水中的物体来说，只有作用在朝下的面的水压力比如对于浸入水中的物体来

14、说，只有作用在朝下的面的水压力才能产生向上的浮力，而朝上的面上作用的水压力都是向下的。才能产生向上的浮力，而朝上的面上作用的水压力都是向下的。由于要平衡作用于其内部的体积力，环绕微元体外表面的压力由于要平衡作用于其内部的体积力，环绕微元体外表面的压力不能相同，而是有压差，正是这个压差产生的力与体积力不能相同，而是有压差，正是这个压差产生的力与体积力实现实现平衡。平衡。2.2 流体静止时的受力分析流体静止时的受力分析对于图对于图中中所示的流体微团来说，如果在所示的流体微团来说，如果在x方向上有图中所示向右的体积力的方向上有图中所示向右的体积力的话，则微团右侧面的表面力一定要大于左侧面的力才能平衡

15、。假定微团中话，则微团右侧面的表面力一定要大于左侧面的力才能平衡。假定微团中心处的压力是心处的压力是p，则其左侧面上的压力小于，则其左侧面上的压力小于p，右侧面上的压力大于，右侧面上的压力大于p。那。那如何将侧面上的压力用中心点处的压力表示出来呢？这就要用到一种如何将侧面上的压力用中心点处的压力表示出来呢？这就要用到一种数数学学中常用的方法中常用的方法泰勒展开泰勒展开，如右上图，如右上图。即使物理量的变化规律不是线性。即使物理量的变化规律不是线性，只要两点距离足够近，只用线性来表示，只要两点距离足够近，只用线性来表示，泰勒展开也是足够精确的。应泰勒展开也是足够精确的。应用泰勒展开，并忽略二阶以

16、上小量后，左用泰勒展开，并忽略二阶以上小量后，左、右侧面的压力可以写为右侧面的压力可以写为2.2 流体静止时的受力分析流体静止时的受力分析 结合我们已经得到的体积力和表面力，就可以的得结合我们已经得到的体积力和表面力，就可以的得到相应的到相应的x方向的力的平衡关系式：方向的力的平衡关系式：2.2 流体静止时的受力分析流体静止时的受力分析结合我们已经得到的体积力和表面力，就可以的得结合我们已经得到的体积力和表面力，就可以的得到相应的到相应的x方向的力的平衡关系式：方向的力的平衡关系式：化简化简x方向的力的平衡关系式得：方向的力的平衡关系式得：类似地，可得到类似地，可得到y和和z方向的方向的平衡平

17、衡关系式，于是我们关系式，于是我们就得到了直角坐标系下分量形式的力平衡关系式：就得到了直角坐标系下分量形式的力平衡关系式： 2.2 流体静止时的受力分析流体静止时的受力分析直角坐标系下分量形式的力平衡关系式：直角坐标系下分量形式的力平衡关系式： 可将可将上述分量形式的力平衡关系式上述分量形式的力平衡关系式写成矢量形式：写成矢量形式：根据梯度的定义：根据梯度的定义：无论是分量形式还是矢量形式，反映的无论是分量形式还是矢量形式，反映的是静止的流体是静止的流体内部压力与体积力的关系，称为欧拉静平衡方程，是内部压力与体积力的关系，称为欧拉静平衡方程，是欧拉最先得出的。欧拉最先得出的。2.2 流体静止时

18、的受力分析流体静止时的受力分析直角坐标系下的力平衡关系式：直角坐标系下的力平衡关系式：即即欧拉静平衡方程。欧拉静平衡方程。可以看到，当流体处于静止状态时，其内部的压力分可以看到，当流体处于静止状态时，其内部的压力分布只与体积力相关，压力沿体积力作用方向增加。布只与体积力相关，压力沿体积力作用方向增加。在重力场中下层流体的压力比上层的高，在离心力场在重力场中下层流体的压力比上层的高，在离心力场中旋转半径大的地方的流体压力比旋转半径小的地方中旋转半径大的地方的流体压力比旋转半径小的地方的大。的大。这也可以这样理解：在重力场中上层流体的重量全靠这也可以这样理解：在重力场中上层流体的重量全靠下层流体来

19、支撑，在离心力场中内层流体的向心力全下层流体来支撑，在离心力场中内层流体的向心力全靠外层流体提供。靠外层流体提供。下面讨论重下面讨论重力场中的静力场中的静止流体止流体2.3重力场中的静止流体重力场中的静止流体当静止或做匀速运动（内部无相对运动）当静止或做匀速运动（内部无相对运动）的流体处于重力场中时，其内部的压力分的流体处于重力场中时，其内部的压力分布只受到重力的影响。对于布只受到重力的影响。对于右右图所示的处图所示的处于重力场中的液体而言，根据于重力场中的液体而言，根据欧拉静平衡欧拉静平衡方程方程若取垂直向上为坐标若取垂直向上为坐标z的正向，则欧拉静平衡方程可以写为的正向，则欧拉静平衡方程可

20、以写为当认为重力加速度当认为重力加速度g与流体密度与流体密度都为常数时，都为常数时，上式上式积分得到积分得到液体内的压力公式：液体内的压力公式：式中，式中，p0为液面处的大气压力为液面处的大气压力，h为深度。为深度。2.3重力场中的静止流体重力场中的静止流体当静止或做匀速运动（内部无相对运动）当静止或做匀速运动（内部无相对运动）的流体处于重力场中时，其内部的压力分的流体处于重力场中时，其内部的压力分布只受到重力的影响。布只受到重力的影响。液体内的压力公式液体内的压力公式式中，式中，p0为液面处的大气压力为液面处的大气压力，h为深度。为深度。可见，液体内的压力只与大气压、液体可见，液体内的压力只

21、与大气压、液体密度和深度有关。根据该公式可以有如密度和深度有关。根据该公式可以有如下的论述：形状不同而底面积相等的容下的论述：形状不同而底面积相等的容器，内装有深度相等的水，虽然容器中器，内装有深度相等的水，虽然容器中水的重量不同，但水对底面的力却是相水的重量不同，但水对底面的力却是相同的。例如同的。例如右下右下图给出了四种不同形状图给出了四种不同形状的容器，水对底面的力都是相等的。的容器，水对底面的力都是相等的。2.3重力场中的静止流体重力场中的静止流体可见，液体内的压力只与大气压、液体密度和深度有关。可见，液体内的压力只与大气压、液体密度和深度有关。图图中中四种不同形状的容器，水对底面的力

22、都是相等的。帕斯四种不同形状的容器，水对底面的力都是相等的。帕斯卡提出的，在当时是令人迷惑的，卡提出的，在当时是令人迷惑的，后后被人们称为被人们称为“流体静力流体静力学悖论学悖论”很显然很显然，图中的各个容器内水的重量相差很大，因此对桌面施图中的各个容器内水的重量相差很大，因此对桌面施加的力也各不相同。然而其内部的水对容器底部的力却是相同加的力也各不相同。然而其内部的水对容器底部的力却是相同的，均为的，均为(P0+gh)A，这两者是不是矛盾呢？，这两者是不是矛盾呢？2.3重力场中的静止流体重力场中的静止流体图中的各个容器内水的重量相差很大，而其内部的水对容器底图中的各个容器内水的重量相差很大，

23、而其内部的水对容器底部的力却是相同的，均为部的力却是相同的，均为(P0+gh)A，这两者是不是矛盾呢？，这两者是不是矛盾呢？回答回答是是不矛盾不矛盾。因为水对容器底部施加的力与容器对桌面施加因为水对容器底部施加的力与容器对桌面施加的力的力并无并无直接关系。设想容器如果是密封的，其内部的水是上直接关系。设想容器如果是密封的，其内部的水是上百个大气压，显然水对容器底部施加的力是很大的，但水对容百个大气压，显然水对容器底部施加的力是很大的，但水对容器的上部也施加力。这两者方向相反，大部分都相互抵消了，器的上部也施加力。这两者方向相反，大部分都相互抵消了，最终水对容器的作用力的合力也就是水的重量而已。

24、最终水对容器的作用力的合力也就是水的重量而已。敞口容器敞口容器也是一样的道理也是一样的道理。2.3重力场中的静止流体重力场中的静止流体敞口容器也是一样的道理敞口容器也是一样的道理。图中用小箭头表示了各壁面上的水图中用小箭头表示了各壁面上的水压力作用方向，可见容器压力作用方向，可见容器(b)中的水虽然多，但在底面积投影中的水虽然多，但在底面积投影之外部分的水是被杯壁支撑着的，容器之外部分的水是被杯壁支撑着的，容器(c)和和(d)中的水虽然少中的水虽然少，但其容器内部有被水向上支撑的表面，这部分的力会抵消一，但其容器内部有被水向上支撑的表面，这部分的力会抵消一部分水对庶部的力。部分水对庶部的力。还

25、记得本章开始时的那个神奇的实验吗？还记得本章开始时的那个神奇的实验吗？2.3重力场中的静止流体重力场中的静止流体帕斯卡曾经利用液体压力的特性帕斯卡曾经利用液体压力的特性进行过一个有趣的表演：进行过一个有趣的表演：在一个密闭的葡萄酒桶的桶盖上在一个密闭的葡萄酒桶的桶盖上插入一根细高的管子，事先在桶插入一根细高的管子，事先在桶内装满水，细管内也预装一定高内装满水，细管内也预装一定高度的水。表演时，他站在度的水。表演时，他站在梯子梯子上上向细管内灌水，结果只用一杯水向细管内灌水，结果只用一杯水就把桶压裂了，这就是历史上有就把桶压裂了，这就是历史上有名的名的帕斯卡桶裂实验帕斯卡桶裂实验。对当时的。对当

26、时的人们这是不可思议的，即使是现人们这是不可思议的，即使是现在，这个实验也颇具表演性。在，这个实验也颇具表演性。这个实验的关键是管子要比较细这个实验的关键是管子要比较细，一杯水就可以让水增加足够的，一杯水就可以让水增加足够的深度，从而在桶内产生很大的压深度，从而在桶内产生很大的压力。力。2.3重力场中的静止流体重力场中的静止流体帕斯卡桶裂实验帕斯卡桶裂实验这个实验的关键是管子要比较细这个实验的关键是管子要比较细，一杯水就可以让水增加足够的，一杯水就可以让水增加足够的深度，从而在桶内产生很大的压深度，从而在桶内产生很大的压力。力。还记得我们前面给出的静止流体还记得我们前面给出的静止流体的压力公式

27、（的压力公式（欧拉静平衡方程欧拉静平衡方程）吗吗上述公式是不是可以解释这个上述公式是不是可以解释这个不可不可思议的实验思议的实验呢！呢！2.3重力场中的静止流体重力场中的静止流体帕斯卡桶裂实验帕斯卡桶裂实验，我再提一个问，我再提一个问题：题：实验实验所用到的额外的那一点水能不所用到的额外的那一点水能不能少到极致（充分少）？能少到极致（充分少）？也就是说也就是说当细管的直径充分小时，当细管的直径充分小时，帕斯卡桶帕斯卡桶裂实验裂实验能否成功？能否成功？回答是当直径小到一定程度时，水回答是当直径小到一定程度时，水 的表面张力将不可忽略，并抵消重的表面张力将不可忽略，并抵消重力场中的压力，从而管中的

28、水根本力场中的压力，从而管中的水根本不会流出。也许，你在生活中也利不会流出。也许，你在生活中也利用过表面张力来达到目的呢！能想用过表面张力来达到目的呢！能想起来吗起来吗？可以用实验的方法，也可？可以用实验的方法，也可以用理论推导的方法得出当细管的以用理论推导的方法得出当细管的直径小到一定程度时，直径小到一定程度时，帕斯卡桶裂帕斯卡桶裂实验实验将失败！将失败！2.3重力场中的静止流体重力场中的静止流体 我们身边的大气压力和深海中的压力是两个由重力引起的巨我们身边的大气压力和深海中的压力是两个由重力引起的巨大压力的例子。大压力的例子。 空气的密度虽然很小，但厚厚的大气层还是会在地面附近产空气的密度

29、虽然很小，但厚厚的大气层还是会在地面附近产生很大的压力。计算大气压力不能使用简单的生很大的压力。计算大气压力不能使用简单的P=gh，因为，因为大气的密度与压力和温度都相关，不同高度的密度相差是很大大气的密度与压力和温度都相关，不同高度的密度相差是很大的。一般来讲，认为平流层的大气温度是恒定的，在对流层内的。一般来讲，认为平流层的大气温度是恒定的，在对流层内温度则随着高度线性降低。根据这个关系，以及完全气体的状温度则随着高度线性降低。根据这个关系，以及完全气体的状态方程，就可以使用欧拉静平衡方程式计算得到不同高度的大态方程，就可以使用欧拉静平衡方程式计算得到不同高度的大气压力。气压力。2.3重力

30、场中的静止流体重力场中的静止流体当一个民航客机在当一个民航客机在1.1万米的高度飞行对，飞机外面大概是万米的高度飞行对，飞机外面大概是0.2个大气压多一点。人是无法适应这样的低压缺氧环境的，于是个大气压多一点。人是无法适应这样的低压缺氧环境的，于是机舱内要进行增压。我们坐过飞机就会知道，起降过程中机舱机舱内要进行增压。我们坐过飞机就会知道，起降过程中机舱内的压力是变化的，也就是说在高空飞行时机舱内并没有增压内的压力是变化的，也就是说在高空飞行时机舱内并没有增压到地面的大气压力，而是要低一些。一般现代的飞机可增压到到地面的大气压力，而是要低一些。一般现代的飞机可增压到0.8个大气压左右，这大概相

31、当于个大气压左右，这大概相当于2km高度的压力。可以大概高度的压力。可以大概认为，认为，2km以上时飞机内的压力恒定为以上时飞机内的压力恒定为0.8个大气压，当飞机个大气压，当飞机降落到高度低于降落到高度低于2km时，机舱开始逐步与外界压力趋于相同，时，机舱开始逐步与外界压力趋于相同，这会引起很多人在降落时耳朵不适。之所以客舱不增压到一个这会引起很多人在降落时耳朵不适。之所以客舱不增压到一个大气压显然是出于对机体强度的考虑，随着材料和强度设计的大气压显然是出于对机体强度的考虑，随着材料和强度设计的进步，新型的客机有望提高在高空飞行时的机舱压力，让人们进步，新型的客机有望提高在高空飞行时的机舱压

32、力，让人们在进行空中旅行时更舒适。在进行空中旅行时更舒适。2.3重力场中的静止流体重力场中的静止流体有一种说法，深海与太空一样对人类是神秘莫测的，其中的主要有一种说法，深海与太空一样对人类是神秘莫测的，其中的主要原因就是海水在深处产生的巨大压力使人们到达那里十分困难。原因就是海水在深处产生的巨大压力使人们到达那里十分困难。如果不考虑往返的旅程，只考虑当地的情况的话，深海甚至比外如果不考虑往返的旅程，只考虑当地的情况的话，深海甚至比外太空还要危险得多。在外太空，飞船内外的压差也就是一个大气太空还要危险得多。在外太空，飞船内外的压差也就是一个大气压，在深海，这个压差可以有几百甚至上千个大气压，这对

33、潜水压，在深海，这个压差可以有几百甚至上千个大气压，这对潜水艇的密封和强度都是巨大的挑战。艇的密封和强度都是巨大的挑战。2.3重力场中的静止流体重力场中的静止流体关于重力场中流体受到的力，有一关于重力场中流体受到的力，有一种叫做种叫做“浮力浮力”的力要请大家课后的力要请大家课后思考并给出解释。当然，为了使问思考并给出解释。当然，为了使问题更有现实意义，我们并不假定流题更有现实意义，我们并不假定流体是静止的！体是静止的！2.4惯性力作用下流体内部的压力分布惯性力作用下流体内部的压力分布当流体做加减速运动时，只要加速度恒定，其内部就不当流体做加减速运动时，只要加速度恒定，其内部就不会发生相对运动。

34、这时如果与流体一起运动，则可以把会发生相对运动。这时如果与流体一起运动，则可以把加速度转化为惯性力，因此这一类问题也属于流体静力加速度转化为惯性力，因此这一类问题也属于流体静力学问题。学问题。这类问题只有两种：即沿直线的恒加速运动和围绕某一这类问题只有两种：即沿直线的恒加速运动和围绕某一中心的恒速转动。中心的恒速转动。下下图表示了这两种情况下流体内部微图表示了这两种情况下流体内部微团上的压力分布团上的压力分布。在图中，表示了这两种情况在图中，表示了这两种情况下流体内部微团上的压力分下流体内部微团上的压力分布。在这两种运动中，惯性布。在这两种运动中，惯性力与重力同时作为体积力发力与重力同时作为体

35、积力发生作用。计算中只要把这两生作用。计算中只要把这两个力进行矢量叠加，再应用个力进行矢量叠加，再应用欧拉静平衡方程进行求解就欧拉静平衡方程进行求解就行了。行了。2.4惯性力作用下流体内部的压力分布惯性力作用下流体内部的压力分布对匀加速直线运动的情况对匀加速直线运动的情况(a)，我们，我们可以看出，沿任一可以看出，沿任一方向压力的变化只取决于沿那个方向的体积力。方向压力的变化只取决于沿那个方向的体积力。因此求解具体问题时，沿哪个方向的体积力和深度容易因此求解具体问题时，沿哪个方向的体积力和深度容易得到，就可以沿哪个方向进行计算，而不必求解完整的得到，就可以沿哪个方向进行计算，而不必求解完整的欧

36、拉静平衡方程。仿照重力场下液体内部的压力分布公欧拉静平衡方程。仿照重力场下液体内部的压力分布公式，重力和惯性力共同作用下的液体内部任一点的压力式，重力和惯性力共同作用下的液体内部任一点的压力为为 p= P0+ah式中，式中，h为沿为沿加速度加速度a方向方向从自由液面到从自由液面到该点的距离。该点的距离。2.4惯性力作用下流体内部的压力分布惯性力作用下流体内部的压力分布对匀加速直线运动的情况对匀加速直线运动的情况(a)，仿照重力场下液体内部仿照重力场下液体内部的压力分布公式，重力和惯性力共同作用下的液体内部的压力分布公式，重力和惯性力共同作用下的液体内部任一点的压力为任一点的压力为p= P0+a

37、h。式中，式中，h为沿加速度为沿加速度a方方向从自由液面到该点的距离向从自由液面到该点的距离。 这里的加速度这里的加速度a并不一定指的是总的加速度，而是指并不一定指的是总的加速度，而是指沿任何方向的加速度。沿任何方向的加速度。如图所示，水中一点处的压力可以使用欧拉静平衡方如图所示，水中一点处的压力可以使用欧拉静平衡方程沿任何方向和路径积分来求解，结果都是一样的。程沿任何方向和路径积分来求解，结果都是一样的。2.4惯性力作用下流体内部的压力分布惯性力作用下流体内部的压力分布下下图表示了一种典型的流体静力学问题，当水箱沿斜面图表示了一种典型的流体静力学问题，当水箱沿斜面下滑时，水箱受到重力、支撑力

38、和摩擦力三者的共同作下滑时，水箱受到重力、支撑力和摩擦力三者的共同作用。如果摩擦力与重力沿斜面的分力平衡，用。如果摩擦力与重力沿斜面的分力平衡，如图如图(a)，则水箱静止或匀速下滑，这时其内部的水只受重力作用则水箱静止或匀速下滑，这时其内部的水只受重力作用，水面是水平的。如果水箱与斜面间无摩擦力，水面是水平的。如果水箱与斜面间无摩擦力，如图如图(b)，则水箱自由下滑，这时沿斜面方向无体积力的作则水箱自由下滑，这时沿斜面方向无体积力的作用，水面是平行于斜面的。对于最一般的有摩擦的情况用，水面是平行于斜面的。对于最一般的有摩擦的情况，如图如图(c)，水面介于上述两种情况之间。水面介于上述两种情况之

39、间。2.5流体与固体对力的传递的异同流体与固体对力的传递的异同最后，请思考最后，请思考流体与固体对力的传递的异同流体与固体对力的传递的异同。作为启发。作为启发，我们看看下图。，我们看看下图。2.5流体与固体对力的传递的异同流体与固体对力的传递的异同一个人最大可以发出和自己体重同等数量级的力，如果要搬动更重的一个人最大可以发出和自己体重同等数量级的力，如果要搬动更重的东西，则可以利用杠杆和滑轮等省力装置。理论上，使用了这类省力东西，则可以利用杠杆和滑轮等省力装置。理论上，使用了这类省力装置后，想要多大的力都是可以的，但是要耗费更长的作用距离，原装置后，想要多大的力都是可以的，但是要耗费更长的作用

40、距离，原则是功或者功率不变。这类原理在流体里面也是一样的。使用液压传则是功或者功率不变。这类原理在流体里面也是一样的。使用液压传动装置，可以用很小的力来产生巨大的力，比如一个小孩子就可以用动装置，可以用很小的力来产生巨大的力，比如一个小孩子就可以用液压千斤顶轻松抬起一辆汽车，这需要足够长的作用距离才能做到，液压千斤顶轻松抬起一辆汽车，这需要足够长的作用距离才能做到，体现为多次按压把柄。体现为多次按压把柄。不仅功不会凭空产生，力也是不会凭空产生的，省力装置增加的力都不仅功不会凭空产生，力也是不会凭空产生的，省力装置增加的力都是有来源的。如图是有来源的。如图 (a)所示的杠杆，如果长的力臂是短的力

41、臂的所示的杠杆，如果长的力臂是短的力臂的3倍，倍，则在长端向下按的力为则在长端向下按的力为F时，另一端向上抬起的力是时，另一端向上抬起的力是3F。分析杠杆的。分析杠杆的受力可知，在支点上杠杆受到向上的力为受力可知，在支点上杠杆受到向上的力为4F。可见，增加这部分力来。可见，增加这部分力来源于支点。源于支点。2.5流体与固体对力的传递的异同流体与固体对力的传递的异同对于流体，图对于流体，图 (b)显示了液压省力装置的示意图，如果大显示了液压省力装置的示意图，如果大活塞截面积是小活塞的活塞截面积是小活塞的3倍，当向下按小活塞的力为倍，当向下按小活塞的力为F时，时，大活塞获得的向上抬起的力是大活塞获

42、得的向上抬起的力是3F。这个力也不是凭空产生。这个力也不是凭空产生的，实际上整个容器给予内部液体的合力是向上的，大小的，实际上整个容器给予内部液体的合力是向上的，大小为为4F。流体与固体的本质差别是流体在静止时其内部没有剪切力。流体与固体的本质差别是流体在静止时其内部没有剪切力。就是这个差异使流体和固体对力的传递有着本质的不同。可就是这个差异使流体和固体对力的传递有着本质的不同。可以概括为：以概括为：“固体传递同等大小的力，流体传递同等大小的固体传递同等大小的力，流体传递同等大小的压力（单位面积的力）压力（单位面积的力）”。2.5流体与固体对力的传递的异同流体与固体对力的传递的异同下图形象地表

43、示了人们是如何利用流体和固体的这种差异下图形象地表示了人们是如何利用流体和固体的这种差异的。按图钉的时候，手用多大的力，图钉就获得多大的力的。按图钉的时候，手用多大的力，图钉就获得多大的力，由于图钉的帽和尖的面积相差很乡，手并不会受伤，但，由于图钉的帽和尖的面积相差很乡，手并不会受伤，但比手坚固得多的木板却会被图钉穿透。这是因为单位面积比手坚固得多的木板却会被图钉穿透。这是因为单位面积的力才是引起材料破坏的关键。如图的力才是引起材料破坏的关键。如图(a)。2.5流体与固体对力的传递的异同流体与固体对力的传递的异同流体与固体不同，图流体与固体不同，图 (b)所示的装置中，手施加的力在流所示的装置

44、中，手施加的力在流体中并不会被同等地传递到前端，等量传递的是压力。因体中并不会被同等地传递到前端，等量传递的是压力。因此这时手推动小活塞时，在大活塞端产生更大的力，这部此这时手推动小活塞时，在大活塞端产生更大的力，这部分多出来的力是由包围流体的容器来承受的。分多出来的力是由包围流体的容器来承受的。固体中力的等量传递容易理解，固体中力的等量传递容易理解，流体中压力的等量传递怎么流体中压力的等量传递怎么理解理解呢？呢？2.5流体与固体对力的传递的异同流体与固体对力的传递的异同实际情况是，为保证压力在流体内向各个方向的传递，必须实际情况是，为保证压力在流体内向各个方向的传递，必须有固体容器的包裹才行

45、。从有固体容器的包裹才行。从外部看，这个容器和其内部的流外部看，这个容器和其内部的流体一起可以看作是一个固体，对这个固体来说力也是等量传体一起可以看作是一个固体，对这个固体来说力也是等量传递的。内部的流体对容器内壁各处的力都垂直于当地壁面，递的。内部的流体对容器内壁各处的力都垂直于当地壁面，这种可以把力改变方向进行传递的根本原因就是流体内部没这种可以把力改变方向进行传递的根本原因就是流体内部没有剪切力。有剪切力。固体中力的等量传递容易理解，流体中压力的等量传递怎么固体中力的等量传递容易理解，流体中压力的等量传递怎么理解呢？理解呢？2.5流体与固体对力的传递的异同流体与固体对力的传递的异同为了便

46、于理解，用光滑小球来代替流体充满一个容器为了便于理解，用光滑小球来代替流体充满一个容器，如图所示。在不考虑球的重量的情况下，只要球与，如图所示。在不考虑球的重量的情况下，只要球与球之间没有摩擦力，这些小球就会把某处的力传遍整球之间没有摩擦力，这些小球就会把某处的力传遍整个容器内部，并保持力的大小不变，这与流体的情况个容器内部，并保持力的大小不变，这与流体的情况是完全一样的。借助于其他小球和壁面，力在传递中是完全一样的。借助于其他小球和壁面，力在传递中可以改变方向。可以改变方向。固体中力的等量传递容易理解，流体中压力的等量传固体中力的等量传递容易理解，流体中压力的等量传递怎么理解呢？递怎么理解呢

47、？2.6 流体静压强及其特性流体静压强及其特性 v在流体内部或流体与壁面间存在的单位面积上的法向作用力在流体内部或流体与壁面间存在的单位面积上的法向作用力一、静压强定义一、静压强定义v流体处于静止状态时，流体的压强称为流体静压强流体处于静止状态时，流体的压强称为流体静压强v流体处于静止状态时，在流体内部或流体与固体壁面间存在流体处于静止状态时，在流体内部或流体与固体壁面间存在的单位面积上负的法向表面力的单位面积上负的法向表面力没有给出方向没有给出方向没有给出方向、大小没有给出方向、大小给出方向给出方向负法向负法向给出大小给出大小表面力表面力压强定义压强定义一、静压强定义一、静压强定义v流体处于

48、静止状态时，在流体内部或流体与固体壁面间存在流体处于静止状态时，在流体内部或流体与固体壁面间存在的单位面积上负的法向表面力的单位面积上负的法向表面力PAP表面力表面力静压强静压强2.6 流体静压强及其特性流体静压强及其特性 一、静压强定义一、静压强定义v流体处于静止状态时，在流体内部或流体与固体壁面间存在流体处于静止状态时，在流体内部或流体与固体壁面间存在的单位面积上负的法向表面力的单位面积上负的法向表面力v说明：说明： 表面力：外界表面力：外界 流体内部流体内部 静压强：流体内部静压强：流体内部 外界外界静压强静压强表面力表面力2.6 流体静压强及其特性流体静压强及其特性 o流体静压强方向与

49、作用面相垂直，并指向作用面的内法流体静压强方向与作用面相垂直，并指向作用面的内法线方向。线方向。二、静压强两个特征二、静压强两个特征静止流体中任意一点流体压强的大小与作用面的方向无关，静止流体中任意一点流体压强的大小与作用面的方向无关，即任一点上各方向的流体静压强都相同。即任一点上各方向的流体静压强都相同。nzyxpppp2.6 流体静压强及其特性流体静压强及其特性 o流体静压强方向与作用面相垂直，并指向作用面的内法线流体静压强方向与作用面相垂直，并指向作用面的内法线方向。方向。二、静压强两个特征（证明）二、静压强两个特征（证明）v 假假 设：设： 在静止流体中，流体静压强方向不与作用面在静止

50、流体中，流体静压强方向不与作用面相垂直，与作用面的切线方向成相垂直，与作用面的切线方向成角角切向压强切向压强p pt t法向压强法向压强p pn nv 则存在则存在流体要流动流体要流动与假设静止流体相矛盾与假设静止流体相矛盾2.6 流体静压强及其特性流体静压强及其特性 pnptp切向压强切向压强静压强静压强法向压强法向压强2.6 流体静压强及其特性流体静压强及其特性 二、静压强两个特征（证明）二、静压强两个特征（证明） 取一微元四面体的流体微团取一微元四面体的流体微团ABCDABCD，边长分别为边长分别为dxdx，dydy和和dzdz2.nzyxpppp v 证证 明：明： 由于流体处于平衡状

51、态，故作用在其上的一切力在任意由于流体处于平衡状态，故作用在其上的一切力在任意 轴上投影的总和等于零。轴上投影的总和等于零。 0 xF 0yF 0zF2.6 流体静压强及其特性流体静压强及其特性 pypxpzpn作用在作用在ACD面上面上的流体静压强的流体静压强作用在作用在ABC面上面上的流体静压强的流体静压强作用在作用在BCD面上面上的静压强的静压强作用在作用在ABD面面上的静压强上的静压强2.6 流体静压强及其特性流体静压强及其特性 二、静压强两个特征（证明）二、静压强两个特征（证明）v 流体微团受力分析流体微团受力分析x x方向受力分析方向受力分析 表面力：表面力： 质量力：质量力：zy

52、xpxPdd21 cosdcosnAnpnP zynpdd21 zyAndd21cosd xxfzyxW)ddd61( 流体微团质量流体微团质量X X方向单位质量力方向单位质量力2.6 流体静压强及其特性流体静压强及其特性 二、静压强两个特征（证明）二、静压强两个特征（证明） 0 xFv 因为流体平衡因为流体平衡0cos xnxWPP v 在轴方向上力的平衡方程为在轴方向上力的平衡方程为0ddd61dd21dd21 xnxzfyxzypzyp v 把把 Px ，Pn和和Wx的各式代入得的各式代入得2.6 流体静压强及其特性流体静压强及其特性 二、静压强两个特征（证明）二、静压强两个特征（证明）

53、v 化简得化简得v 由于等式左侧第三项为无穷小，可以略去，故得由于等式左侧第三项为无穷小，可以略去，故得v 同理可得同理可得0d31 xfppxnx nxpp nypp nzpp nzyxpppp v 所以所以n n的方向可以任意选择，从而证明了在静止流体的方向可以任意选择，从而证明了在静止流体中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。中任一点上来自各个方向的流体静压强都相等。v 结论结论2.6 流体静压强及其特性流体静压强及其特性 二、静压强两个特征（二、静压强两个特征（几点说明几点说明）（1） 静止流体中不同点的静压强一般是不等的，是空间坐标的连续静止流体中不同点的静压强一般是不等的，是空

54、间坐标的连续 函数。同一点的各向静压强大小相等。函数。同一点的各向静压强大小相等。 （2） 运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则由于粘运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则由于粘 性性 会产生切应力，这时同一点上各法向应力不再相等。会产生切应力，这时同一点上各法向应力不再相等。 流体动压强定义为三个互相垂直的压应力的算术平均值，即流体动压强定义为三个互相垂直的压应力的算术平均值，即 nzyxpppp （3）运动流体是理想流体时，由于）运动流体是理想流体时，由于 ，不会产生切应力，所以理，不会产生切应力，所以理 想流体动压强呈静水压强分布特性，即想流体动压强呈静水压强分布特性，

55、即0 )(31zyxpppp 2.6 流体静压强及其特性流体静压强及其特性 v 静压强是空间坐标的连续函数静压强是空间坐标的连续函数),(zyxfp 求静压强分布规律求静压强分布规律v 研究平衡状态的一般情况研究平衡状态的一般情况v 推导平衡微分方程式推导平衡微分方程式流体静力学流体静力学最基本方程组最基本方程组2.7 流体平衡微分方程流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式一、流体平衡微分方程式(推导推导)v 在静止流体中任取一平行六面体的流体微团，在静止流体中任取一平行六面体的流体微团， 边长为边长为 dxdx，dydy，dzdz的微元，中心点静压强为的微元，中心点静压强为p(x,y,z)v

56、 x方向方向受力分析受力分析 表面力表面力 质量力质量力zyxfxddd只有静压强只有静压强如何求解是关键如何求解是关键2.7 流体平衡微分方程流体平衡微分方程zyxxppddd21pzyxxppddd21图2-3 微元平行六面体x方向的受力分析CAB dx2.7 流体平衡微分方程流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式一、流体平衡微分方程式(推导推导)v作用在六个平面中心点上的静压强可按作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒级数泰勒级数展开展开200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf nnxxnxf)(!)(.00 2.7 流体平衡微分方程流体平衡微分方程 3332222

57、d612d212dxxpxxpxxpp一、流体平衡微分方程式一、流体平衡微分方程式(推导推导)v 在垂直于在垂直于x轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为 3332222d612d212dxxpxxpxxppv 略去二阶以上无穷小量后，分别等于略去二阶以上无穷小量后，分别等于xxppd21 xxppd21 2.7 流体平衡微分方程流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式一、流体平衡微分方程式(推导推导)v 垂直于垂直于x x轴的左、右两微元面上的总压力分别为轴的左、右两微元面上的总压力分别为zyxxppddd21 zyxxppddd21 0 xFv 因为

58、流体平衡因为流体平衡2.7 流体平衡微分方程流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式一、流体平衡微分方程式(推导推导)v 将质量力和表面力代入上式，则将质量力和表面力代入上式，则0dddddd21ddd21 zyxfzyxxppzyxxppx v 整理上式，并把各项都除以整理上式，并把各项都除以dxdydz，则得则得01 xpfx 2.7 流体平衡微分方程流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式一、流体平衡微分方程式(推导推导)01 xpfx v 同理得同理得01 zpfz 01 pf 01 ypfy v 写成矢量形式写成矢量形式流体平衡微分方程式流体平衡微分方程式欧拉平衡微分方程式欧拉平衡微分方

59、程式2.7 流体平衡微分方程流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式一、流体平衡微分方程式(推导推导)v 物理意义物理意义 在静止流体中，某点单位质量流体的质量力在静止流体中，某点单位质量流体的质量力 与静压强的合力相平衡。与静压强的合力相平衡。 静止或相对静止状态的静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩可压缩和不可压缩流体。流体。v 适用范围适用范围它是流体静力学最基本的方程组，流体静力学的其它是流体静力学最基本的方程组，流体静力学的其他计算公式都是从此方程组推导出来的。他计算公式都是从此方程组推导出来的。01 pf 2.7 流体平衡微分方程流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式一、流体平衡微分

60、方程式01 xpfx 01 zpfz 01 ypfy 乘以乘以dx乘以乘以dy乘以乘以dzv三式相加，整理三式相加，整理0d1d xxpxfx 0d1d yypyfy 0d1d zzpzfz zzpyypxxpzfyfxfzyxddd)ddd( 2.7 流体平衡微分方程流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程式一、流体平衡微分方程式v所以所以zzpyypxxpzfyfxfzyxddd)ddd( v 流体静压强是空间坐标的连续函数，它的全微分为流体静压强是空间坐标的连续函数，它的全微分为zzpyypxxppdddd )ddd(dzfyfxfpzyx 压强差公式压强差公式在静止流体中，空间点的坐标增在