药学高数14分部积分法课件

1、药学高数14分部积分法 第三节第三节 分部积分法分部积分法 分部积分法分部积分法 ( integration by parts ) 是不定积分的是不定积分的另一个重要的基本积分方法另一个重要的基本积分方法 , 它由两个函数乘积的求它由两个函数乘积的求导法则推出。导法则推出。 定理定理3-4 （分部积分法）（分部积分法）如果函数如果函数 u(x) , v(x) 都可都可导，则导，则 证证 由于由于故故得得( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v x dxu x v xu x v x dx ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x( ) (

2、) ( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )u x v x dxu x v xdxu x v x dx( ) ( )( ) ( )u x v xu x v x dxduvuvudv分部积分公式分部积分公式药学高数14分部积分法 例例3-33 求求 解解 取取 , 则由分部积分公式则由分部积分公式,得得 如果选取如果选取 ，则有，则有 更复杂了更复杂了! 显然，显然，u , dv 选择不当，积分更难进行。选择不当，积分更难进行。cosxxdx,cossinux dvxdxdxcossinxxdxxdxsinsinxxxdx

3、sincosxxxC2cos ,()2xux dvxdxd22coscossin22xxxxdxxxdx药学高数14分部积分法 选取选取 u 和和 dv 要考虑如下两点：要考虑如下两点：（1）v 要容易求出：要容易求出：（2） 要比原积分要比原积分 更容易求出。更容易求出。 若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）的若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）的乘积乘积 , 设幂函数为设幂函数为 u。 例例3-34 求求 解解 设设vduudv2xxe dx212xxde221122xxxee dx221124xxxeeC2xxe dx221,2xxux dve dxde药学高数14分部积分法

4、 若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）的乘积，设对数函数或反三角函数为的乘积，设对数函数或反三角函数为 u。 例例3-35 求求 解解 设设 arctan ,ux dvdxarctan xdxarctan xdxarctanarctanxxxdx2arctan1xxxdxx2211arctan(1)2 1xxdxx21arctanln(1)2xxxC药学高数14分部积分法 例例3-36 求求 解解 设设 45logxxdx45logxxdx4551log,5ux dvx dxdx5555loglog55xxxdx5451log55ln5xxx

5、 dx5551log525ln5xxxC药学高数14分部积分法 有些积分需要连续多次应用分部积分法。有些积分需要连续多次应用分部积分法。 例例3-37 求求 解解 设设 2sin2xxdx2cos2,sin22xuxdvxdxd2sin2xxdx22cos2cos222xxxdx 2cos2cos22xxxxdx 2cos2sin222xxxxd 2cos2sin2sin2222xxxxxdx 2cos2sin21cos2224xxxxxC 药学高数14分部积分法 若被积函数是指数函数与三角函数乘积时若被积函数是指数函数与三角函数乘积时 , , 二者皆可作为二者皆可作为u, ,但作为但作为u的

6、函数的类型不变。的函数的类型不变。 有些不定积分在连续应用几次分部积分后会有些不定积分在连续应用几次分部积分后会出现与原来相同的积分项出现与原来相同的积分项, ,经过移项、合并后可经过移项、合并后可得所求积分。得所求积分。解题技巧解题技巧:的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序, 前者为 后者为u.v药学高数14分部积分法 例例3-38 求求 解解:方法一方法一移项合并后得移项合并后得cosaxebxdxcosaxebxdx1cosaxbxdea11coscosaxaxebxe dbxaa1cossinaxaxbebxebxdxaa21coss

7、inaxaxbebxbxdeaa21cos(sinsin)axaxaxbebxebxe dbxaa21cos(sincos)axaxaxbebxebxb ebxdxaa22sincoscosaxaxbbxabxebxdxeCab药学高数14分部积分法方法二方法二 设设 原式原式设设 原式原式移项合并后可得移项合并后可得axuecosdvbxdxaxduae dx1sinvbxb1sinsinaxaxaebxebxdxbbaxuesindvbxdxaxduae dx1cosvbxb 11sin(coscos)axaxaxaaebxebxebxdxbbbb22sincoscosaxaxbbxabx

8、ebxdxeCab药学高数14分部积分法 在积分过程中往往要同时使用换元积分法和分部积在积分过程中往往要同时使用换元积分法和分部积分法。分法。 例例3-39 求求 解解 令令 , 则则 ,由换元积分由换元积分法法 , 得得再应用分部积分法，得再应用分部积分法，得1xedx1xu 21,2xudxudu12xuedxe udu12xuedxe udu2uude2()uuuee du22uuueeC11212xxxeeC药学高数14分部积分法vu计算格式 :vu例例3-40 求xxId)ln(sin解解: 令,lnxt 则txxttded,ettItdsinettesinttecostttttdcosesinetsinteIttt)cos(sineCttIt)cos(sine21Cxxx)cos(ln)sin(ln21药学高数14分部积分法uxxuuded,e例例3-41求求.d)(ln43xxx解解: 令则原式原式,lnxu u3e4uuudeuuude444uu4e34u212uu24240u441eu441e2u441e3u441e4u441e5原式原式 =u4e414u3u243uu83323CCxxxxx323ln83ln43lnln412344药学高数14分部积分法vu内容小结内容小结 分部积分公式分部积分公式xvuvuxvudd1. 使用原则使用原则 :xvu