高等数学第四节反常积分课件

1、高等数学第四节反常积分1第四节 反常积分250P adxxf)(.)(lim babdxxf定义,)(,收敛反常积分则称右端极限存在adxxf.)(,发散则称否则 adxxfax)(xfy b:几何意义,s的面积曲边梯形.,为有限值其面积伸此曲边梯形右端无限延s bdxxf)(.)(lim baadxxf定义,)(,收敛反常积分则称右端极限存在bdxxf.)(,发散则称否则 bdxxfs广义积分广义积分高等数学第四节反常积分2 dxxf)(.)()( 00dxxfdxxf定义 dxxf)(,则称反常积分右端两反常积分都收敛,收敛.)(发散否则称 dxxfaxbs)(xfy )(xfy abxs

2、) .)(发散则右端两积分有一个发散 dxxf bdxxfs)( dxxfs)(高等数学第四节反常积分3 dxex.1例 00dxedxexx 00 xxee 00eeeexxxxlimlim)()(1001 21xdx xarctan 22 .2 . 高等数学第四节反常积分4 02dxxekx sinI.例xeDDkx sin 1)(0 kkxkxekke 2xx sincos211 01xekx cos 02xekkx sin 022dxxekkx sin)()(001012 kI22 k .122I k .I22 k解出高等数学第四节反常积分5,象计算普通积分一样计算无穷限反常积分就先求

3、原,再以积分限代入函数,或如果积分限为则理解.xx或为 dxxx2123.例 )ln(21x,)(lnlim不存在因为21xx.所以原积分发散00122 bbbbdxxxlimlim.注.收敛并不能说明反常积分dxxx212.)?(对照定义为什么),(奇函数对称区间高等数学第四节反常积分6 14pxdx.例,时当1 p 1pxdx 111pxp.11 p,收敛 1pxdx,时当1 p 1pxdx 1xln. ,发散 1pxdx,时当1 p 1pxdx 111pxp. .发散 1pxdx 1pxdx11 p )(发散)(收敛1 p1 p )(积分p高等数学第四节反常积分7,),()(无界在 aa

4、xf badxxf)(定义 badxxf )(lim0,)()(,收敛瑕积分反常积分则称右端极限存在badxxf.)(发散否则称 badxxfsaxb)(xfy asdxxfba )( badxxf)(定义 ,),()(无界在bbxf 反常积分则称右端极限存在 ,)()(收敛瑕积分 badxxf.)(发散否则称 badxxf badxxf)(lim0广义积分广义积分高等数学第四节反常积分sba)(xfy x bsdxxfba )(. )( ,),()(bcaccxf 无界在 badxxf)(定义 bccadxxfdxxf)()(,)(,收敛称反常积分右端两反常积分都收敛badxxf.)(发散否

5、则称 badxxf) .)(,(发散就称散右端积分只要有一个发 badxxfcabx)(xfy )(xfy s高等数学第四节反常积分9 axadxx302235.例)(0 a.的无穷间断点是2233xaxax axadxx30223030223 axa.解.)(aa330 .lim220333xaaax 代入的含义是上限#高等数学第四节反常积分10.ln.0161111xdxx例!错.点是被积函数的无穷间断忽视了0 x100111111xdxxdxxdx1001xxlnln,lnlimxx0因为,发散所以011xdx.发散111xdx高等数学第四节反常积分11,)(时以后计算定积分 badxxf,)(baxf在要先检查,上是否连续,是否有无穷间断点,有间断点要分段积分.)(,是反常积分则若有无穷间断点badxxf baaxxd )(.7例),(0 ab.,()(.是其无穷间断点上连续在解axbaax 1,时当10 baax011 )( baaxxd )(.)( 11ab.反常积分收敛高等数学第四节反常积分12,时当1 baaxxd )( baaxxd )(),(0 abbaax0 )(ln.