地球物理勘探 1-3固体弹性力学的基本理论

1、1本章包括：本章包括：应力分析应力分析应变分析应变分析应力与应变关系应力与应变关系, ,弹性参数弹性弹性参数弹性弹性波的波动方程：弹性波的波动方程：NavierNavier方程、纵波传方程、纵波传播方程、横波传播方程播方程、横波传播方程2 固体弹性力学的基本理论2内部应力的重新分布；内部应力的重新分布；几何形态的改变；几何形态的改变；2 固体弹性力学的基本理论3 如，液体在外力的作用下，只会引起大小变化（体变），不会产生形变。2 固体弹性力学的基本理论4 面力通过物体接触面传递的力，也称作表面力,如水的压力 体力作用于物体内部所有质点的力，如重力，吸引力 应力是在面力或体力作用下，物体内部假想

2、面上单位面积上的一对大小相等、方向相反的力，是作用在该面上的力的大小的度量。2 固体弹性力学的基本理论52.1 应力分析2.1.1 应力的概念弹性体受外力（震源）作用后会发生弹性形变：一方面这些外力在物体内部传递，另一方面在物体内部也会产生一种反抗形变的内力，以和外力想抗衡，最后达到平衡，这种抗衡的内力成为内应力，简称应力。应力定义为单位面积上所受的内力。应力并不是一个力，因为它的量纲不是力而是单位面积上的力。 6 = P(作用力) / A( 面积) 或dP / dA（当应力分布不均匀时） 力的强度 类似的表达：压强，密度 2.1 应力分析72.1 应力分析8A0PPAnA02.1 应力分析9

3、 压应力为正 张应力为负 与材料力学中的规定相反AnA010 使物体沿逆时针方向旋转的剪应力为正 使物体沿顺时针方向旋转的剪应力为负 与材料力学中的规定相反AA0112.1 应力分析1213 最大主应力是空间一点上量值最大的正应力量值最大的正应力。14当xx=yy=zz时，为均压，称作静水压力或流体静压力。这种状态只引起物体体积变化，不改变其形状 ij = ji上式为剪切应力成对定理15 平移 崎变（狭义变形） 旋转 体变16 应变的概念应变-当弹性体受到应力作用后，将发生体积和形状的当弹性体受到应力作用后，将发生体积和形状的变化，即应变。变化，即应变。体积形变体积形变-指物体指物体只发生体积

4、变化而无形状变化只发生体积变化而无形状变化的的应变。它是受应变。它是受正应力正应力作用的结果。作用的结果。形状形变形状形变-物体物体只发生形状的变化只发生形状的变化。它是。它是剪切应剪切应力力作用的结果。作用的结果。理论力学是研究理论力学是研究物体的整体运动物体的整体运动。弹性力学不仅要考虑物体的整体运动，而且要研究物弹性力学不仅要考虑物体的整体运动，而且要研究物体内部体内部各质点的相对运动，相对运动是产生应变的必各质点的相对运动，相对运动是产生应变的必要条件要条件。 17)()1 ()()()(220101001平方长度比长度比伸长时取正值eLLLLSLLLeL0L11819根据物体内部根据

5、物体内部应变状态是否变化应变状态是否变化划分为均匀变形和非均匀变形划分为均匀变形和非均匀变形20 变形前的直线变为非直线 平行线变为非平行线 圆变为非椭圆2122),(wvuu1,zwyvxuwvu ,23),(zyxr称为称为M点的位移向量点的位移向量 。记为。记为 。 )()(rudrruudMM)(ru),(wvuudrrMN )(drru(r)udr)(ruudxyzurrdrr d1rdudrdMNMNN )(drru)(ru（x+x,y+y,z+z)（x,y,z)(x+dx,y+dy,z+dz)(x+dx+xy+dy+yz+dz+z)24zdzwdyywdxxwdwdzzvdyyv

6、dxxvdvdzzudyyudxxudu其分量形式是其分量形式是dzdydxrdzwywxwzvyvxvzuyuxuAdwdvduud rdAud21（1-1）)(1AIdrdrAdruddrdr252、M点的应变分析点的应变分析 因为因为 MN=dr, 则其长度为则其长度为形变后，形变后， ,它相当于它相当于 点经过点经过 位移到位移到 点。则点。则它的长度为它的长度为 的相对伸长的相对伸长e可表达为可表达为N1drNM N MN222dzdydxdrds312)(2)(2)(11dwdzdvdydudxdrds41111dsdsdsdsdse61ud26)()()()()()()(w)(v

7、)(u1dwdv,du,4-1)(111wvu)(1)(121222222222dsdzsyywzvdsdxszxwzudsdysxxvyudsdzzdsdyydsdxxdwdzdvdydudxdszyxdwdvdudsdwdzdvdydudxdsdsds代入）中的将（代入，假设是小变形，即szsysx,式中式中 是是 的方向余弦，记为的方向余弦，记为 。并令：。并令：)( MNrd),(nml27ywzveexwzueexvyueezweyvexuezyyzxzzxyxxyzzyyxx212121（1-5）28 通过计算化简，则得到通过计算化简，则得到M点在任意方向点在任意方向 上的伸长度上

8、的伸长度 为为 为应变张量。它是由为应变张量。它是由9个分量组成，也是一个对称张量。可由（个分量组成，也是一个对称张量。可由（1-5）式求出）式求出 zzzyzxyzyyyxxzxyxxzzzyzxyzyyyxxzxyxxyzxzxyzzyyxxeeeeeeeeeEnmleeeeeeeeenmlmnenlelmenemelee),(2*22222),(nmle7181 E290 , 0 , 1,nmlxueexx0szsyyveeyyzweezz1sx（1-7）3031的分量可表示为的两个分量可表示为dxxudxxvdxxwdxedxxvdvdxedxxuduxyMNxxMN11dyedyyv

9、dvdyedyyuduyyMPxyMP2232yuyvyudyyvdydyyudvdutgMNMN1221yv1xuxvxuxvdxxudxdxxvdudvtgMNMN11133xyxyeyuxv2xvyuexy21（1-10）令：令：同理可推出：（三维空间中）同理可推出：（三维空间中）zxzxyzyzee22（1-11）zxyzxy,xzyzxyeee，,zxyzxy,34dzdydxdvzdydxdvd （1-12）dxdydzeeevdzzyyxx)1)(1)(1 (（1-13）35uudivzwyvxueeeeeeeeeeeeeeeeeedvdvvdzzyyxxzzyyxxxxzzzz

10、yyyyxxzzyyxxzzyyxx1)1)(1)(1 (将（将（1-12）式和（）式和（1-13）式代入）式代入由于由于 ，略去高次项，略去高次项1,xzyzxyeee，式中式中 为哈密顿算子为哈密顿算子36zzyyxxeeezwyvxudivuu（1-14）uzyx,372.3 应力和应变的关系2.3.1 应力和应变的关系方程前面分析了某一点处的应力和应变状态前面分析了某一点处的应力和应变状态, ,但还未涉及到但还未涉及到弹性体本身的特性。弹性体本身的特性。应变是应力产生的，应力和应变之间应该有一定的关应变是应力产生的，应力和应变之间应该有一定的关系，找出这个关系，就可以反映出弹性体本身的

11、物理系，找出这个关系，就可以反映出弹性体本身的物理特性，这个关系就是物态方程。它是从实验总结出来特性，这个关系就是物态方程。它是从实验总结出来的规律，这个规律就是广义虎克定律。的规律，这个规律就是广义虎克定律。广义虎克定律说明：广义虎克定律说明：当固体在弹性极限内时，应力和当固体在弹性极限内时，应力和应变成正比。即在弹性极限内应变成正比。即在弹性极限内, ,固体中任何一点的固体中任何一点的6 6个个应力分量都与所对应的应力分量都与所对应的6 6个应变分量成线性函数。个应变分量成线性函数。38xyzxyzzzyyxxxyxyzxyzzzyyxxzxxyzxyzzzyyxxyzxyzxyzzzyy

12、xxzzxyzxyzzzyyxxyyxyzxyzzzyyxxxxecececececececececececececececececececececececececececececececececececec666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211其数学表达式为其数学表达式为（1-15）式中系数式中系数 是弹性系数，它反映了介质的物理特性。是弹性系数，它反映了介质的物理特性。（1-15）式中共有）式中共有36个未知的弹性系数。个未知的弹性系数。) 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1,

13、 (jicij39 弯曲的波前可近似地表示为平面波的线性叠加，弯曲的波前可近似地表示为平面波的线性叠加， 反射波可近似地表示为各层反射的线性叠加反射波可近似地表示为各层反射的线性叠加（褶积模型）。（褶积模型）。 地震数据处理的许多方法，都用到了线性叠加地震数据处理的许多方法，都用到了线性叠加原理。原理。jiijcc 40拉梅系数 和 ）22332211665544323123211312cccccccccccc（1-16）yzyzxzxzxyxyzzzzyyxxzzyyzzyyxxyyxxzzyyxxxxeeeeeeeeeeeeeee222222（1-17）41zxyzxyzzyyxxzxyz

14、xyzzyyxx000000000000000000200020002 可把上式写成矩阵形式：可把上式写成矩阵形式：42yzyzxzxzxyxyzzzzyyyyxxxxeeeeee222222（1-18）zzyyxxeee432.3 应力和应变的关系2.3.2 2.3.2 弹性系数弹性系数( (模量模量) )分析分析当应力在弹性极限范围内当应力在弹性极限范围内, ,应力与应变成正比，其比例系应力与应变成正比，其比例系数就是弹性系数。数就是弹性系数。拉梅系数拉梅系数 和和 。当固体是各向同性介质时。当固体是各向同性介质时, ,弹性系数弹性系数可以减少到可以减少到2 2个个, ,它们就是拉梅系数。

15、它们就是拉梅系数。杨氏模量杨氏模量E E。反映弹性体的抗压（拉）能力反映弹性体的抗压（拉）能力, ,E E越大抗压能越大抗压能力越强。力越强。泊松比泊松比 。反映弹性体横向拉伸（或压缩）对纵向拉伸。反映弹性体横向拉伸（或压缩）对纵向拉伸（或压缩）的影响。泊松比越大，纵向压缩越小。（或压缩）的影响。泊松比越大，纵向压缩越小。负号表示纵、横向应变增量的方向是相反。负号表示纵、横向应变增量的方向是相反。)23(xxxxeE2xxzzxxyyeeee（1-19）（1-20）4445剪切模量剪切模量 。阻止弹性体产生切应变的弹性系数。在切应阻止弹性体产生切应变的弹性系数。在切应力相同的条件下，力相同的条

16、件下， 越大则切应变越大则切应变 越小越小压缩模量压缩模量( (体变系数体变系数) )K K。反映介质的耐压特性。K越大则体形变越小。xzyzxyeee，,xzxzyzyzxyxyeee212121322132133EHEHeeezzyyxxzzyyxx（1-21）（1-22）（1-23）46，E）（5.021021472.4 弹性波传播方程一、弹性波动方程的建立 弹性动力学研究的是弹性体内质点的相对运动状态相对运动状态。因此，位移向量不仅是空间的函数空间的函数，而且也是时间的函数时间的函数。其内任一单元的运动状态应符合牛顿第二定律（弹性体运运动微分方程）动微分方程） 可将应力、应变和运动微分

17、方程归纳为三组基本方程：可将应力、应变和运动微分方程归纳为三组基本方程： 1 1、应力、应变的关系方程：反映了物体受力后的弹性状态，、应力、应变的关系方程：反映了物体受力后的弹性状态，也称物态方程。即（也称物态方程。即（1-181-18）式。）式。 2 2、应变和位移的关系方程：反映了弹性体在空间的几何关、应变和位移的关系方程：反映了弹性体在空间的几何关系。即（系。即（1-91-9）式）式 3 3、运动微分方程：反映了弹性体受外力作用后的运动状态。、运动微分方程：反映了弹性体受外力作用后的运动状态。 482.4 弹性波传播方程222222twFzyxtvFzyytuFzyxzzzzyzxyyz

18、yyyxxxzxyxxzyxFFF,222222222)()()(twFzwtvFyvtuFxuzyx（1-25）（1-24）492.4 弹性波传播方程Navier方程方程222)(tUFU2222222zyxzwyvxuu（1-26）502.4 弹性波传播方程u0Urot22222ttUdivUdivgraddivFdivt2222（1-27）51统称为力位统称为力位u0Udiv22220tWtUrotWUrotgradrotFrotWtW222rotgradFFFrotgradUUUspsp（1-28）（1-29）u，F52这个方程将震源特征和波的特征这个方程将震源特征和波的特征联系在一起进行研究，称为联系在一起进行研究，称为“波的激发问题波的激发问题”。 考虑到在地震勘探中外力作用的时间很短，经过一段时间后力位函考虑到在地震勘探中外力作用的时间很短，经过一段时间后力位函数可视为零，数可视为零，因此上述方程可以改写为齐次方程因此上述方程可以改写为齐次方程22222222222ssPpVVtVVt0022222222spVtVt（1-30）（1-31）pVsV53000222222222222ysyzszpVtVtVt 横波（横波（S波）波）有两个质点振动方向：沿有两个质点振动方向：沿Z Z轴振动的轴振动的S S波分量