南邮信号与系统B第2章b

1、信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB南京邮电大学南京邮电大学通信与信息工程学院通信与信息工程学院2011.8SIGNALS AND SYSTEMS信号与系统信号与系统第二章 信号与系统的时域分析信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB第二章 信号与系统的时域分析2.1 典型连续时间信号2.2 典型离散时间信号2.3 连续时间信号的基本运算2.4 离散时间信号的基本运算2.5 信号的时域分解2.6 连续系统的冲激响应2.7 离散系统的单位脉冲响应2.8 连续系统的零状态响应2.9 离散系统的零状态响应2.10 系统的全响应作业返回信号与系统SIGNALS AND

2、SYSTEMS ZB2.1 典型连续时间信号2.1.1 复指数信号jsest为复数，称复频率为复数，称复频率0s时1ste，为直流信号为直流信号当当时tstee0，为单调增长或衰减的为单调增长或衰减的实指数信号实指数信号当当0时tjteetjstsincos实部为等幅余弦实部为等幅余弦信号信号，虚部为等幅正弦信号，虚部为等幅正弦信号当(4) 一般情况下, 实部为增长（实部为增长（00）或衰减（）或衰减（ 0 00）或衰）或衰减（减（ 0 0 时，从波形上看，时，从波形上看， 是把是把 的波形以坐的波形以坐标原点为基准，沿时间轴压缩（或扩展）至原来的标原点为基准，沿时间轴压缩（或扩展）至原来的

3、倍。倍。)(tf)(atfa1信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.3.2 信号的相加与相乘信号的相加与相乘 两个信号相加与相乘，是将它们在同一瞬间的值相加或相乘。例：例：)(2tft202)()(21tftft10122)(1tft10122211000222000)(1010100)(21tttttttttttfttttf222110100)()(21tttttttftf信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB)(2tft202)(1tft10122211000222000)(1010100)(21tttttttttttfttttf101000)()(21

4、tttttftf)()(21tftft101信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.3.3 信号的导数和积分)(tft101)( tft（1）01（1） 在在 f (t) 的不连续点处，导数中会含的不连续点处，导数中会含有冲激函数。有冲激函数。dttdf)()( tf或或f (t) 在任意时刻在任意时刻 t 的变化率。的变化率。，它的值是信号，它的值是信号信号的导数：信号的导数：记作记作信号的积分信号的积分:)()1(tftdf)(，记作记作或或从图形上看，它在任意从图形上看，它在任意 t 时刻的值是时刻的值是从从 - 到到 t 区间，区间，f (t) 与时间轴所包围与时间轴

5、所包围的面积。的面积。 )()1(tft101信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.4 离散时间信号的基本运算2.4.1 替换自变量的运算(1)翻转: f (-k ) 与与 f ( k ) 关于坐标纵轴对称，或者说将关于坐标纵轴对称，或者说将f ( k ) 以以纵轴为中心翻转纵轴为中心翻转180度。度。f (k) 右移右移n位位: f (k-n), 左移左移n位位: f (k+n)(2)移位:信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB(3)尺度变换：设设 m0 为整数，从波形上看，为整数，从波形上看， f(mk) 是将是将 f(k) 的的波形压缩，表示在序列波形

6、压缩，表示在序列 f(k) 中每隔中每隔 m-1 点抽取一点抽取一点，也称为序列点，也称为序列 f(k) 的的 m倍抽取。倍抽取。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：已知序列例：已知序列2)1()(kkkf2) 1()(kkkf则则)( kf 6311331k)(kf6311331k) 1( kf6311331k) 2( kf631131k2) 1() 1(kkkf2) 3)(2()2(kkkf信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.4.2 相加与相乘(1) 序列相加：序列相加：两个序列同序号的数值逐项对应相加。两个序列同序号的数值逐项对应相加。)()(

7、)(21kfkfkf(2) 序列相乘：序列相乘：两个序列同序号的数值逐项对应相乘。两个序列同序号的数值逐项对应相乘。)()()(21kfkfkf例：已知序列例：已知序列15210)(1kkkfk0202)(2kkkkfk)()()()(2121kfkfkfkf和求信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB0521710)(1kkkkfk解：0212112)(2kkkkkfk072121512)()(21kkkkkfkfkk01052212710)()(121kkkkkkfkfkk15210)(1kkkfk0202)(2kkkkfk信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS Z

8、B2.4.3 差分与累加(1)(1)序列差分序列差分( (对应于连续信号的微分对应于连续信号的微分) )一阶前向差分一阶前向差分二阶前向差分二阶前向差分一阶后向差分一阶后向差分)() 1()(kfkfkf)() 1()()(2kfkfkfkf)() 1(2)2(kfkfkf) 1()()(kfkfkf二阶后向差分二阶后向差分)2() 1(2)() 1()()()(2kfkfkfkfkfkfkf信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB(2)序列的累加序列的累加 (对应于连续信号的积分对应于连续信号的积分)()(1nfkfkn 6111k3)()(1nfkfkn 324)(kf211

9、31k32信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.5 信号的时域分解2.5.1 交、直流分解)()()()(21)()(21)()()()(21)(txtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxoe 任意波形的信号可以分解为偶（对称）分量与奇任意波形的信号可以分解为偶（对称）分量与奇（ 对称）分量之和：对称）分量之和： 连续信号一般可以分解为直流和交流分量之和：连续信号一般可以分解为直流和交流分量之和：2.5.2 奇、偶分解信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.5.3 实部、虚部分解实部、虚部分解)()()(tftftfir(1) 连续信号连续信号可分解为单

10、位冲激信号的线性组合可分解为单位冲激信号的线性组合dtxtxntgnxtxn)()()(0)()()(时，该式为当连续信号解释如下页：2.5.4 脉冲分解脉冲分解信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB 信号信号x x( (t t) ) 可以用沿横向等可以用沿横向等长的折线段来近似，每一段折长的折线段来近似，每一段折线都可以看作是一个矩形脉冲。线都可以看作是一个矩形脉冲。t10)(tgt10)(tg)()(ntgnx0tn ) 1(nnntgnxtx)()()()( nx nt 在在 时刻出现的矩形时刻出现的矩形脉冲高度为脉冲高度为 宽度为宽度为 。)(tx0tn2)0(x)2(

11、 x)( nx折线可以看作是矩形脉冲的叠加折线可以看作是矩形脉冲的叠加为讨论方为讨论方便起见，便起见，此处此处 的定义与的定义与前面不同。前面不同。)(tg信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB 任意波形的信号也可以近似表示为无穷多个阶跃信任意波形的信号也可以近似表示为无穷多个阶跃信号之和（分解过程略）：号之和（分解过程略）：)(tx)0(x)( xtdtuxtx)()( )( 利用后面将要介绍的卷积性利用后面将要介绍的卷积性质，可以很方便地证明这一结论。质，可以很方便地证明这一结论。（2） 离散序列离散序列可分解为单位脉冲序列的线性组合可分解为单位脉冲序列的线性组合)()()

12、 1()0() 1() 1()2()2()(nknfkfkfkfkfn叠加起来构成的。冲激信号分量连续出现的可以看成是由无穷多个任意连续信号)()()(*tdxtx信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.6 连续系统的冲激响应2.6.1 冲激响应的定义 (1) (1) 初始条件转化后，由三要素法直接求解初始条件转化后，由三要素法直接求解2.6.2 一阶简单电路的冲激响应求解 )()()(tvdttdiLtRisLL)()()()(, 0)0(thtittviLsL时，则当)()()(tdttdiLtRiLL即：+-)(tvsRL)(tiL 零状态系统在单位冲激信号作用下的响应

13、。零状态系统在单位冲激信号作用下的响应。)(th0)0(nqS对上式从对上式从 到到 取积分，得取积分，得 0t 0t信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB001)0()0()(LLLLiLidttiRLiidttitiLLLL1)0(0)0(0)()(00，且是有限的，故（在冲激信号作用下，从（在冲激信号作用下，从0-时刻到时刻到0+时时刻，电感电流由零跃变为刻，电感电流由零跃变为 1/L ）0)()(,1)0(LLihLi终止条件为初始条件为h(0)零输入响应，此时电路是一个特殊的0,时(t)0当t由三要素公式：由三要素公式：)()(1)(thtueLtitLRL得：得：R

14、LLRRCCRehhhtht电路、电路、其中，,)()0()()(+-)(tvsRL)(tiL信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB(2)(2)利用冲激响应是阶跃响应的导数，间接求解利用冲激响应是阶跃响应的导数，间接求解。那么所以，既然响应的微分。响应也是原励是原激励的微分时，为阶跃响应。因为当激则称其零状态响应励为设线性时不变系统的激)( )(, )( )()(),(tsthtuttstuRiiiLLL1)(, 0)0()0(RLtueRtst),()1 (1)(由三要素公式得：)(1)()1 (1)( )(tueLteRtsthtt例如：例如：阶跃激励下)(1)(tueLt

15、hLRt返回)(tvsRL)(tiL信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：例：试求试求如图所示电路的冲激响应，已知如图所示电路的冲激响应，已知 。)(tv+-)(tvs1R2RC解：先用三要素法求阶跃响应解：先用三要素法求阶跃响应0)0(),()(Cvtutvs此时sCRRRCVvVv2)(,1)(,21)0(21)(41)(21)( )()()()211 ()()(22tuettsththtuetvtstt：再通过微分求冲激响应FCRR1,121)(tu注意：注意：阶跃响应中的阶跃响应中的后缀后缀 不能不写，不能不写，否则求导时会有遗漏。否则求导时会有遗漏。信号与系统SI

16、GNALS AND SYSTEMS ZB2.6.3 多阶微分方程冲激响应的求解)()()( )()(01)1(1)(txtyatyatyatyannnn即响应为时设),()(,)()(0thtyttx)()()( )()(0001)1(01)(0tthathathathannnn微分方程就可以了。个初始条件，求解齐次只要找出该系统的应，是一个特殊的零输入响即冲激响应时，当nthtt)(, 0)(00处连续）。幂函数项（在的正项中含有处不连续），在其余各含有阶跃函数项（在中中含有冲激函数项，中。即在包含在激函数项，并且只能，等式的左边应含有冲其次：为了使方程平衡，所以首先：因为是因果系统00)(

17、)()(0)0()0( )0()1(0)(0)(0)1(000tttthththhhhnnnn（1 1）当描述连续系统的微分方程右边为 x( t ) 时，先进行初始条件转化，再直接求解齐次微分方程，获得冲激响应信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB0)0()0(, 0)0( )0( , 0)0()0(),0()0()2(0)2(0) 1(0) 1(0hhhhhhhhnnnn即：对微分方程两边取积分对微分方程两边取积分1)()()()(0000000000) 1(01)(0dttdtthadtthadtthannnn上式左边只有第一项不为零，其余各项都为零，即：上式左边只有第一项

18、不为零，其余各项都为零，即：1)0()0()1(0)1(0nnnhhannah1)0() 1(0因此得到在因此得到在 t = 0+ 时的时的 n 个初始条件为：个初始条件为：nnnnahhhh1)0(0)0()0()0()1(00)3(0)2(0 代入初始条件，求解齐次微分方程，即可得到系统代入初始条件，求解齐次微分方程，即可得到系统的冲激响应。的冲激响应。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：已知系统的微分方程如下，试求其冲激响应。例：已知系统的微分方程如下，试求其冲激响应。)()(2)( 3)(tththth解：解：2, 102300)(2)( 3)(212解得：解得：

19、特征方程：特征方程：即：即：tththth)()(2)( 3)(txtytyty)()()(:221tuekekthtt齐次微分方程的通解为代入初始条件：代入初始条件：0)0(1)0( hh解得：解得：1202121kkkk有：有：1121kk)()()(2tueethtt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB（2 2）当微分方程右边）当微分方程右边含有 x( t ) 的导数项时，可用的导数项时，可用间接法求间接法求)()( )()()()( )()(01) 1(1)(01) 1(1)(txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn此时，系统的冲激响应所应当满

20、足的微分方程为：此时，系统的冲激响应所应当满足的微分方程为：)()( )()()()( )()(01) 1(1)(01) 1(1)(tbtbtbtbthathathathammmmnnnn为此假设一个新的系统，其冲激响应满足如下方程：为此假设一个新的系统，其冲激响应满足如下方程：)()()( )()(0001) 1(01)(0tthathathathannnn根据系统的线性和时不变性，根据系统的线性和时不变性，有：有：mjjjmjjjjjjjthbtbthbtbthbtb0)(00)()(0)(000)()()()()()(以此与原系统冲激响应以此与原系统冲激响应时的方程相对比，得：时的方程相

21、对比，得：mjjjthbth0)(0)()(信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例 已知描述某系统的微分方程如下，试求其冲激响应已知描述某系统的微分方程如下，试求其冲激响应h h( (t t) )。 )()( 2)(4)( 4)(2txtxtytytyj121，其特征根为)()cossin()(210tutektekthtt则解：设解：设)()(4)( 4)(2000tththth代入初始条件：0)0(21)0( 00hh21)0( 0)0(21020kkhkh有：有：解得：解得：02121kk)(sin21)(0ttuetht故)(sin21)(cos)(sin21)(c

22、os)(sin)()(2)(00ttuettuettuettuettuethththttttt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB对于一般的微分方程也可以直接求解冲激响应对于一般的微分方程也可以直接求解冲激响应（直接法）（直接法）3, 221其特征根为)()()(3221tuekekthtt则解：解：)(2)( 3)(6)( 5)(ttththth22332121kkkk则有7421kk解得)(2)( 3)()23()( )(2121tttkktkk：代入原方程，经整理得)()47()(23tueethtt)(2)( 3)(6)( 5)(txtxtytyty例：例：)()94

23、()()32()( )()()()32()()()( )( 32212121322121tuekektkktkkthtuekektkkththtttt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB均为单根若方程的特征根i)()()(1tuecthmntniii时，当)()()()(, 1tuectcthmnnitii时当数中会包含冲激函数的导时，当)(thmn )()( )()()()( )()(01) 1(1)(01) 1(1)(txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn的不同形式讨论：微分方程解 若微分方程的特征根中有重根，则解的形式要作相应改变。tkktte

24、tctececk1111211阶重根，相应项为为如tectecjttsincos,212, 1相应项为若方程有共轭复根，信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB 与直接法相比，间接法的优点是：求与直接法相比，间接法的优点是：求 时，只可时，只可能能 ，不需要考虑其它情况，并且其，不需要考虑其它情况，并且其 个初始条件个初始条件是固定不变的，从而给计算带来了方便。是固定不变的，从而给计算带来了方便。)(0thmn n 其它求解系统冲激响应的方法还有：其它求解系统冲激响应的方法还有： 变换域的方法：变换域的方法：傅立叶变换法、拉普拉斯变换法傅立叶变换法、拉普拉斯变换法 实验法：实验法

25、：观察、记录系统在窄脉冲信号激励下的响观察、记录系统在窄脉冲信号激励下的响应曲线或单位阶跃响应曲线。应曲线或单位阶跃响应曲线。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.7 离散系统的单位脉冲响应2.7.1 迭代法单位脉冲序列 只在 k=0 时取非零值 ，利用这一特点某些情况下可以方便地用迭代法求出 h(k) 。)()() 1(00kxbkyaky例：若某离散时间系统的差分方程为求系统的单位脉冲响应 。解：根据单位脉冲响应 的定义，它应满足方程：对于因果系统，由于 ，故采用迭代法，将差分方程写成取k=-1代入，可求得：)(kh)(kh)()() 1(00kbkhakh0) 1(0

26、) 1(h)()() 1(00khakbkh0) 1() 1()0(00habh信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB02000)()2()2()3(2bahabhk代入，可求得：取01000)() 1() 1()(bakhakbkhk用归纳法可得： 一般情况下，用迭代法求系统的单位脉冲响应不易得出解析形式的解。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.7.2 直接求解法试求其单位函数响应。，设差分方程为例)2()(6) 1(5)2(272kxkykyky)2()(6)1(5)2(kkhkhkh由差分方程得解：5) 1 (0) 1 () 1(6)0(5) 1 (

27、11)0(1)0()2(6) 1(5)0(2hhhhkhhhhk，得，得取取，得，得取取)()3()2()(21kuAAkhkk则单位函数响应为32065212，特特征征根根特特征征方方程程为为0)(0khk时时，单单位位函函数数响响应应对对于于因因果果系系统统来来说说，当当32)(21AAkh，的表达式，解得的表达式，解得代入代入)()3()2()(11kukhkk所以信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.7.3 间接求解法)()(6) 1(5)2(000kkhkhkh设设解解试求其单位函数响应。差分方程描述：某离散时间系统由下列例)(3)2()(6) 1(5)2(372

28、kxkxkykyky1)2(1)0()0(6) 1 (5)2(00) 1 (0) 1() 1(6)0(5) 1 (10)0(0)2()2(6) 1(5)0(2000000000000hhhhkhhhhkhhhhk得得取取得得取取得得取取nnnanhnhhhkkhakhankhankhan1)(0) 1()2() 1 ()()() 1() 1()(00000001010，而而初初始始条条件件为为阶阶前前向向差差分分方方程程结结论论：对对于于信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB31210) 1 (1)2(2100AAhh，可解得，代入初始条件) 1()23( 3) 1()() 1

29、()23()(3)2()(111100kukukkkhkhkhkkkk所以0000000010101)0(0) 1()2() 1()()() 1() 1()(ahnhhhkkhakhankhankhannn，而初始条件为阶后向差分方程对于) 1()3()2()(210kuAAkhkk则单位函数响应为32065212，特特征征根根特特征征方方程程为为)1(23)(110kukhkk即) 1()23( 3) 1()2439()(1111kukukkkkk) 1()232()(1kukkk信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.8 连续系统的零状态响应 对于线性时不变系统，设对于线

30、性时不变系统，设)()()()()()()()()()()()()()(tydthxdtxtxthdxtdxthttht则当的卷积积分与称为记作)()()()()()()(thtxdthxthtxty2.8.1 卷积分析法的引出)(ty0)0(nqS信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB卷积积分法分析卷积积分法分析LTILTI系统零状态响应的原理：系统零状态响应的原理：(1)(1)把任意信号分解为基本单元信号（这里是指冲激信把任意信号分解为基本单元信号（这里是指冲激信号）；号）；(2)(2)研究系统对基本单元信号的零状态响应（这里是指冲研究系统对基本单元信号的零状态响应（这里是

31、指冲激响应）激响应） ；(3)(3)根据线性时不变系统的根本规律，把这些基本单元信根据线性时不变系统的根本规律，把这些基本单元信号单独作用于系统时所引起的零状态响应迭加起来。号单独作用于系统时所引起的零状态响应迭加起来。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZBdthxthtxty)()()()()(解释：积分。再对换成换成计算卷积时，将),()(),()(. 1ththxtx）连续变化。，（，可以在的冲激信号出现的时刻是积分变量，表示分解. 2的响应时刻。示所要考察过程中可视为定值，表是积分参变量，在积分t. 3卷积值也在变化。的响应时刻的变化，的函数，即随着要考察是时间卷积值t

32、ty )(. 4。作用下的零状态响应意激励卷积分析法求得其在任特性的表征），即可用（系统，一旦求得其冲激响应对任意线性时不变系统)()()(. 5tytxth信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.8.2 确定卷积积分限的公式都是有始函数时，即和当)()(thtx)()()(),()()(2211ttutfthttutftxdttutftufthtxty)()()()()()()(2211则，于是有果乘以。或者说应当将卷积结出现的最早时刻为响应时间才能出现，即：再延迟励分量所引起的响应要时刻（最早）出现的激义是：能不为零。其物理意，积分出来的结果才可来说，应当满足而对于用所引

33、起的。期间所有分量的共同作），是由激励在（。其物理意义是：响应，上限应当为应当为为零。因此，积分下限时，被积函数才可能不也就是说只有当）时，（即以及）时，（即考虑到)()()(0)(00)(021212121212121222111tttutttyttttttttttyttttttttutttttutt)()()()()()(212121tttudtffthtxtyttt返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB。试求零状态响应电路如图，已知例：)(,21,1),()(tvFCRtuetvRCcts)(2)(1)(21tuetueRCthttRC响应为解：可求得电路的冲激)(2

34、)()()()()()(20tudeedthvthtvtvttssc)(tvc+)(tvsRC)()(2)() 1(2)(22202tueetueetudeetttttt)3()3()3()3()2() 1(12)(21tuettuetudeetuetuettttttt解：原式例：试计算卷积：信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB状态响应。试用卷积分析法求其零系统的冲激响应例：已知激励信号),()(, 1)(tuethtxtdtuedthxthtxtyt)()()()()()()(解：tttteedetutt10)()(0)(原式时，即detudetttudtffthtxtyt

35、ttututxttttttt)()(212111)(1)()()()()()()(1)(11)(21则，其中或者：信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.8.3 卷积的图解 图形卷积能够直观地理解卷积积分的计算过程，有图形卷积能够直观地理解卷积积分的计算过程，有助于确定积分的上下限。助于确定积分的上下限。dthxthtxty)()()()()(相乘；和相乘：将)()(. 4thx归纳起来，卷积的图解过程有五个步骤：归纳起来，卷积的图解过程有五个步骤：)()(),()(:)(.1hthxtxt换元)()(:. 2 hh折叠；即右移把移位)(),()(:. 3ththth时刻的卷

36、积值。即为积曲线与时间轴之间的面和积分：tthx)()(. 5乘积乘积信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB)()()()2()(21)(),1()21()(142thtxtytututthtututx求卷积波形分别如图所示，试，：已知例1 21)(th011t0)(tx21t解：解： (1) 换元换元110)(x211 21)(h0信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB1)(h0 -2t1)()(thth0 -2t110t -2t211121 -2tt (2) 折叠折叠 (3) 移位移位 (4)相乘、积分相乘、积分0)(,21tyt当16144)(211)(,

37、 121221ttdttytt当信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB110t -2t2116343)(211)(,231121tdttyt当4324)(211)(, 323221ttdttytt当0)(, 3tyt当110t -2t2111t -2t213t2111615)(ty2169的曲线)(ty图解法常用于计算某图解法常用于计算某 1 1个或某几个时刻的卷积结果个或某几个时刻的卷积结果信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB本例要求计算算有时刻的卷积结果，采用有始信号卷积本例要求计算算有时刻的卷积结果，采用有始信号卷积公式计算则更为简便公式计算则更为简便:

38、 :)2()(2) 1()21()()()(tututtututhtxty由于卷积运算像乘法运算一样满足分配定律由于卷积运算像乘法运算一样满足分配定律,因此因此)()()()()()()()()()()()(),()()(21212211221121tttudtffdttutftufthtxttutfthttutftxttt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB必须注意，在书写中以上各项的延迟阶跃函数不能丢失。必须注意，在书写中以上各项的延迟阶跃函数不能丢失。 粗看上述结果似乎与例粗看上述结果似乎与例2-4-1的结果不一致，但若将上述结果的结果不一致，但若将上述结果改写成分段定

39、义的函数，不难验证，结果是相同的。改写成分段定义的函数，不难验证，结果是相同的。)3()4324()23()161544()1()4124()21()16144()3(21)23(21)1(21)21(21)2(2)1()2(2)21()(2)1()(2)21()(222222212111tutttutttutttutttudttudttudttudttuttututtututtututtutytttt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.8.4 卷积积分的性质(1) 交换律交换律)()()()(txththtx)()()()()()()()()()(,txthdtxhdh

40、txdthxthtxt有证明：令1. 卷积代数信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB(2) 分配律分配律)()()()()()()(2121thtxthtxththtx证明：利用卷积的定义比较容易得到证明：利用卷积的定义比较容易得到)()()()()()()()()()()()()()(21212121thtxthtxdthxdthxdththxththtx例如：两个子系统并联例如：两个子系统并联)()(21thth)(ty)(tx)(1th)(2th)(tx)()()()(21ththtxty)()(1thtx)()(2thtx等效为：等效为：信号与系统SIGNALS AND

41、 SYSTEMS ZB这里，两次卷积运算是一个二重积分，只要改变积分次这里，两次卷积运算是一个二重积分，只要改变积分次序即可证明此定律。（证明过程略）序即可证明此定律。（证明过程略）)()()()()()(2121ththtxththtx(3) 结合律结合律例如：两个子系统级联例如：两个子系统级联)(2th)()()()(21ththtxty)(tx)(1th)()(1thtx等效为：等效为：)()(21thth)(tx)()()()(21ththtxty信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2. 卷积的微分与积分，有有设设)()()(thtxty(1) 卷积的微分性质卷积的微

42、分性质)( )()( thtxty)()( )( :thtxty同理可证返回)( )()( )()()()( thtxdthxdthxdtdty证明：证明：信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB(2) 卷积的积分性质卷积的积分性质 ddhxddhxdytyttt)()()()()()(1）（证证明明：)()()()()()1()1()1(thtxthtxty)()()(1111thdhdhtt）（则则，设设)()()()1()1(thtxty所以所以)()()()()()1()1()1(thtxthtxty同同理理可可证证信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB(

43、3) 卷积的微积分性质卷积的微积分性质)( )()()( )()1()1(thtxthtxtydtthxthtxdxhthtxxththtxthxdxthtxtyt)()()()()()()()()()()()( )()()( )()()() 1() 1 () 1() 1 () 1()()()()()()()()(, 0)(0)()1()1()1()1(thtxtythtxthtxtydtthx交换位置，可得和同理，则，或者只要证明：条件：条件：应用微积分性质时，应用微积分性质时，被求导的函数在被求导的函数在 处处应为零值，或者被积分的函数在应为零值，或者被积分的函数在 区间的积分值区间的积分

44、值（即函数波形的净面积）为零值。（即函数波形的净面积）为零值。t),(信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB表示重积分的次数。的阶数，为负整数时，为正整数时，表示求导和式中，为整数以进一步推广为：卷积的微积分性质还可jijijithtxtyjiji,)()()()()()(dfKdKfKtftfKtfK)()()()()(152义，可得解：直接应用卷积的定的卷积积分。与函数计算常数例杜阿密尔积分即例如：)()( )()()( )()( )()()() 1(tstxtytstxthtxthtxty为整数此性质可以推广为：ithtxtyii)()()()()(当 i 为正整数时，表

45、示求导数的阶数，当 i 为负整数时，表示求重积分的次数。注意：注意： 此例不满此例不满足卷积微足卷积微积分性质积分性质的条件。的条件。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3. 含有冲激函数的卷积)()()()()(ttxdtxtx)()()()()()()()(0txtxdtxtxtttx)()()()()(111ttxdttxtttx根据信号的时域分解以及卷积的定义，有根据信号的时域分解以及卷积的定义，有或者利用卷积的交换律及冲激函数的筛选性质，有或者利用卷积的交换律及冲激函数的筛选性质，有冲激函数的重现性质冲激函数的重现性质以及以及信号与系统SIGNALS AND SYS

46、TEMS ZB利用微积分性质还可以得到利用微积分性质还可以得到tdxtutxtxttx)()()()( )( )(推广到一般情况，有推广到一般情况，有)()()()()()(1)(1)()()(ttxtttxtxttxiiii4. 卷积的时移)()()(thtxty若若)()()()()(000ttythttxtthtx则则为实常数0t)()()()()()()()()()()(00000ttytttyttthtxttthtxtthtx证明：同理同理)()()()()(211221tttytthttxtthttx信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB)(tfT)(1tf22tA

47、22tTTT2T2A)(tT(1)tTTT2T20利用卷积的重现性质可以通过卷积运算产生周期信号：利用卷积的重现性质可以通过卷积运算产生周期信号：nTnTtt)()(nnnTTnTtfnTttfnTttfttftf)( )()()()()()()(1111信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB利用卷积的性质能大大简化卷积计算)()(cos1 )(cos)(sin)(sin)(sin)()(sin)( )(sin)()( )(sin)()(0tututttutttudttudtdtuttutttututttuthtxt解：)()(),()( )(),(sin)(482thtxtu

48、tthttutx试求：已知例信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：例： 。试求，已知)()()2()()(),()(thtxtututhtuetxt)2()()2()()()( )()()()1()1()1()1(txtxtttxthtxthtx解：)()1 ()()()()(00)1(tueuetudeduetxtttt)2(1 )()1 ()2()()()()2()1()1(tuetuetxtxthtxtt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例2-8-52-8-5： 0)()(thtx23-1-2At-221A)(tx0)(th(1)(1)tt0。试

49、求如图所示，冲激响应已知系统输入)()()(),(thtxthtx解：解： 信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：例：x(t)和和h(t)分别分别如图所示，试求如图所示，试求 x(t)*h(t) 。)()(Tttx-2T0At02TA)()(Tttxt)(txTTaaA-TT(1)(1)(th00tttA2A02T-2T)()(thtx)()()(TtTtth解：)()()()()()()()()(TttxTttxTtTttxthtx信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：例： 。试求如图所示，冲激响应已知系统输入)()()(),(thtxthtx解：解：

50、 12)(txt020)(tht11(2)( txt0(2)20)()1(th2t) 1(2)(2)1()1(thth-4420)(ty-2t213 4)(2) 1(th) 1(2) 1(th信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例2-8-72-8-7：计算下列卷积积分：计算下列卷积积分： )2() 1()2()2() 1() 1 (tttututu解解 (1)(1)应用卷积的重现性质，有应用卷积的重现性质，有 ) 1() 1() 1()() 1()()()2()() 1()()2() 1(tuttttuttututtuttututu (2) (2)应用卷积的重现性质和微分性

51、质，有应用卷积的重现性质和微分性质，有 )3()3()2()1() 1()2()1() 1()2()1() 1()2()1()2() 1(ttttttttuttttutttutttu信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB。试求例：已知)(),() 1()()(11txtuetttutxt)() 1()()(22122tuetdtdttutxdtdt对原方程两边求导，有解：)()()(1tuettxt即)()(1tuetxt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.9 离散系统的零状态响应2.9.1 离散卷积的引出经典法：经典法：首先求齐次解和特解，然后代入仅由激

52、励引起的首先求齐次解和特解，然后代入仅由激励引起的初始条件，确定待定系数。初始条件，确定待定系数。离散信号的分解与卷积和离散信号的分解与卷积和) 1() 1()2()2()(kxkxkxnnknx)()(设单位函数响应为设单位函数响应为 h(k)0)0(nqS)(k)(kh根据线性和时不变性，有根据线性和时不变性，有)()(nknx)()(nkhnxnnknx)()(nnkhnx)()(nzsnkhnxky)()()(用卷积符号记为用卷积符号记为称为称为卷积和卷积和或或离散卷积离散卷积。（当激励信号较复杂，或差分方程阶数较高时，此法不合适。）（当激励信号较复杂，或差分方程阶数较高时，此法不合适

53、。）信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.9.2 离散卷积的性质（1）代数运算）代数运算服从交换律、分配律和结合律。服从交换律、分配律和结合律。（2） 差分与求和差分与求和)()()()()(khnxnhkxnyknknkn：求和（3） 移位移位)()()(kkxkx显显然然)()()()()()(212111kkkxkkkkxkkxkkkx推推广广)()()(2121kkkykkhkkx信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.9.3 确定离散卷积求和限的公式)()()()(2121kkkunkhnxkykkknzs若若 k k1 时，时，x (k) =

54、0; k k2 时，时，h (k) = 0; 确定求和限的确定求和限的一般公式为一般公式为信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.9.4 离散卷积的图解。，试试求求零零状状态态响响应应数数响响应应，单单位位函函设设激激励励信信号号例例)(1 , 2 , 1)(2 , 1 , 2 , 1)(145kykhkxzsknzsnkhnxky0)()()(:解步骤：步骤：1. 换元；换元；2. 折叠折叠 h(-n)；3. 移位移位 h(k-n)； 4. 相乘相乘 x(n)h(k-n)； 5. 求和。求和。1131n20)(nx2211131n20)(nh211131n20)( nh 2

55、1320)(0kykzs时时，当当111)0()0()0()()0(00hxnhnxynzs信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB1131n20)(nx2211131n20)1 (nh213241221)0()1()1()0()1()()1(10hxhxnhnxynzs6112211)0()2()1()1()2()0()2()()2(20hxhxhxnhnxynzs1131n20)2(nh2132)1 ()(nhnx22)2()(nhnx46 , 6 , 4 , 1)(kyzs类类此此，可可得得1131k2046)(kyzs6信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS Z

56、B2.9.4 离散卷积的列表计算，试求其零状态响应。函数响应，单位号离散时间系统的激励信例：2 , 4 , 1 , 3)(5 , 1 , 2)(khkx10205152413482610221324562413512序列阵表格法序列阵表格法 x(k)h(k)215363151215484202421010,22,13,24, 5, 6)(kyzs信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB有限序列卷积和的特点：有限序列卷积和的特点： 设设 x(k) 和和 h(k) 的非零项数分别为的非零项数分别为 nx 和和 nh ，相应的始，相应的始终序号分别为终序号分别为 xs ， xe 和和

57、hs ， he，则：，则：1. yzs (k) 的非零项数为的非零项数为 ny = nx+nh 1;2. yzs (k) 的始终序号为的始终序号为 xs+ hs ， xe + he ;3. 序列序列 x(k) 的所有项之和与的所有项之和与 h(k) 的所有项之和的乘积等的所有项之和的乘积等于序列于序列 yzs (k) 的所有项之和的所有项之和 。 利用这些特点，可以检验计算结果是否正确。利用这些特点，可以检验计算结果是否正确。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.10 系统的全响应全响应全响应 = 零输入响应零输入响应 + 零状态响应零状态响应全响应全响应 = 自然响应或固有响应（通解）自然响应或固有响应（通解）+ 强制响应强制响应（特解）（特解）全响应全响应 = 暂态响应暂态响应 + 稳态响应稳态响应信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB。试求响应电路如图，已知例：)(,1,1,2)0(),()1 ()(3tvFCRVvtuetvRCCCts)(tvc+)(tvsRC1)()()()()()(微分