用数学归纳法证明不等式

1、习题课习题课用数学归纳法用数学归纳法证明不等式和整除性问题证明不等式和整除性问题一一.复习回顾复习回顾一般地一般地,当要证明一个命题对于不小于某正当要证明一个命题对于不小于某正整数整数n0的所有正整数的所有正整数n都成立时都成立时,可以用以下可以用以下两个步骤两个步骤:(1)证明当证明当n=n0时命题成立时命题成立;(2)假设当假设当n=k 时命题成立时命题成立,证证明明n=k+1时命题也成立时命题也成立.在完成了这两个步骤后在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对就可以断定命题对于不小于于不小于n0的所有正整数都成立的所有正整数都成立.这种证明这种证明方法称为方法称为数学归纳法数学归纳法.),

2、(0nkNk且说明说明 ：用数学归纳法证明时用数学归纳法证明时,要分两个步骤要分两个步骤,两者缺一不可两者缺一不可.(1)证明了第一步证明了第一步,就获得了递推的基础就获得了递推的基础,但仅靠这一步还但仅靠这一步还不能说明结论的正确性不能说明结论的正确性.(2)证明了第二步证明了第二步,就获得了推理的依据就获得了推理的依据.仅有第二步而没仅有第二步而没有第一步有第一步,则失去了递推的基础则失去了递推的基础;而只有第一步而没有第而只有第一步而没有第二步二步,就可能得出不正确的结论就可能得出不正确的结论,因为单靠第一步因为单靠第一步,我们无我们无法递推下去法递推下去,所以我们无法判断命题对所以我们

3、无法判断命题对n0+1,n0+2,是否是否正确正确.在第二步中在第二步中,n=k命题成立命题成立,可以作为条件加以运用可以作为条件加以运用,而而n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件时的情况则有待利用命题的已知条件,公理公理,定理定理,定定义加以证明义加以证明.完成一完成一,二步后二步后,最后对命题做一个总的结论最后对命题做一个总的结论.重点：两个步骤、一个结论；重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。结论写明莫忘掉。可总结为：可总结为：题型一：用数学归纳法证明不等式问题例例1.用数学归纳法证明用数学归纳法证明:

4、)., 2(2413212111*Nnnnnn证证:(1)当当n=2时时, 左边左边= 不等式不等式 成立成立.,241324144131221121(2)假设当假设当n=k(k2)时不等式成立时不等式成立,即有即有: ,2413212111kkk则当则当n=k+1时时,)11221121(212111221121212) 1(11) 1(1kkkkkkkkkkk.2413) 22)(12(12413)221121(2413kkkk即当即当n=k+1时时,不等式也成立不等式也成立.由由(1)、(2)原不等式对一切原不等式对一切 都成立都成立. 2, nNn例2.证明不等式:)(2131211*

5、Nnnn证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即有:,2131211kk则当n=k+1时,11211131211kkkk112221 (2) 2(1)0.111111221.1kkkkkkkkkkkkk . 1211131211 :kkk故即当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.222111112(,2).23用数学归纳法证明：nN nnn 即时提升证证:(1)当当n=1时时,左边左边= , 右边右边= ,由由 于于 故不等式成立故不等式成立. 215124 13222 53,42 (2)假设假

6、设n=k( ) 时命题成立时命题成立,即即 ,2kN k 222111112.23kk 则当则当n=k+1时时,222221111111223(1)(1)kkkk 211111111222()2.(1)(1)11kkkk kkkkk 即当即当n=k+1时时,命题成立命题成立.由由(1)、(2)原不等式对一切原不等式对一切 都成立都成立. ,2nN n 练习练习1.求证求证:222111112(,2).23nN nnn 题型二：用数学归纳法证明整除性问题证明当n1时，f(1)(217)3936，能被36整除假设nk时，f(k)能被36整除，即(2k7)3k9能被36整除，则当nk1时，f(k1)

7、2(k1)73k193(2k7)3k918(3k11)，由归纳假设3(2k7)3k9能被36整除，而3k11是偶数，所以18(3k11)能被36整除，所以f(k1)能被36整除由可知，对任意的nN，f(n)能被36整除 应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将nk时的项从nk1时的项中“硬提出来”，构成nk的项，后面的式子相对变形，使之与nk1时的项相同，从而达到利用假设的目的作业布置2.用数学归纳法证明62n11(nN*)能被7整除【变式2】 用数学归纳法证明62n11(nN*)能被7整除证明(1)当n1时，62117能被7整除(2)假设当nk(kN*，且k1)时，62k11能被7整除那么当nk1时，62(k1)1162k12136(62k11)35.62k11能被7整除，35也能被7整除，当nk1时，62(k1)11能被7整除由(1)，(2)知命题成立练习练习3:已知已知 求证：求证： ,131211)(nnf)1(22)2(nnfn证证:(1)当当n=2时时, , 不等式成立不等式成立.22212124131211) 4()2(2 ff(2)假设当假设当n=k(k2)时不等式成立时不等式成立,即即.22)2(kfk则当则当n=k+1时时, 有有