第二章 平面汇交力系

1、12引引 言言 平面汇交力系平面汇交力系 平面力系平面力系 平面平行力系平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况平面力偶系是其中的特殊情况 ) 平面一般力系平面一般力系(平面任意力系平面任意力系) 平面力系是静力学讨论的重点平面力系是静力学讨论的重点 力系可分为：力系可分为：平面力系、空间力系平面力系、空间力系平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平 行力系。行力系。3 21 平面汇交力系合成和平衡平面汇交力系合成和平衡 22 平面力偶系平面力偶系 23 平面任意力系平面任意力系 24 物体系的平衡物体系的平衡 25 简单平行内力

2、计算简单平行内力计算 第二章第二章 平面力系平面力系4 二二 平面汇交力系平面汇交力系 研究方法：几何法，解析法。研究方法：几何法，解析法。例：吊重物，角钢家。一、平面汇交力系合成与平衡一、平面汇交力系合成与平衡一一 工程实例工程实例 各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。 三三 基本问题和方法基本问题和方法 基本问题基本问题：力系的简化合成合成； 力系的平衡平衡平衡5四四 平面汇交力系合成的几何法平面汇交力系合成的几何法cos2212221FFFFFR2. 任意个共点力的合成任意个共点力的合成1.1.两个共点力的合成两个共点力的合成由余弦定理： 由力的平行四边形法则作，也可用力的三角

3、形来作。合成办法：合成办法：多次用平行四边形 法则或者三角形法则 多边形法则多边形法则FR6211FFFR31312iiRRFFFFiniinRnRFFFFF1131312iiRRFFFF211FFFR力多边形力多边形F1三个力：三个力：N个力个力: 力多边形：力多边形：合力和分力构成了一个多边形封闭边：封闭边：合力对应的边7 结论：结论：平面汇交力系可以合成为一个合力，合力的作用线过平面汇交力系可以合成为一个合力，合力的作用线过力系的汇交点，合力的大小可以用力多边形的封闭边来确定。力系的汇交点，合力的大小可以用力多边形的封闭边来确定。等于各分力的矢量和，表达式为：等于各分力的矢量和，表达式为

4、： 力多边形法则：力多边形法则：分力之间首尾相接，合力由起点指向终点。分力之间首尾相接，合力由起点指向终点。niinRFFFFFF13218二、平面汇交力系平衡的几何法二、平面汇交力系平衡的几何法 在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：平面汇交力系平衡的充要条件是： 0F力多边形自行封闭力多边形自行封闭力系中各力的矢量和等于零力系中各力的矢量和等于零FR9几何法解题步骤：几何法解题步骤：选研究对象；选研究对象；作出受力图；作出受力图； 作力多边形，选择适当的比例尺；作力多边形，选择适当的比例尺； 求出未知数求出未知数几何法解题

5、不足：几何法解题不足： 精度不够，误差大精度不够，误差大 作图要求精度高；作图要求精度高； 不能表达各个量之间的函数关系。不能表达各个量之间的函数关系。 下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法解析法。 10三三 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影 力的投影力的投影：解析法是以力的投影为基础的。解析法是以力的投影为基础的。 投影：投影：从力起点和力的终点分别向投影轴作垂线，两垂足之间的线段就称为力在坐标轴上的投影；注意：注意：1）投影是线段，是代数量，不是矢量。2）投影的表示：FX Fy且 FX =Fcos Fy=Fsin 3）投影的正负：当ab与投影轴的正向一致时，投影为正

6、，反之为负。一一 力的投影力的投影abOyxb1a1FYFxABFFy 11FFFFFFFyxyxcos;cos:22根据投影求合力.投影的性质：1）力在垂直于投影轴上的投影为零。 2）力在平行投影轴时的投影为力的大小。 3）力在相互平行的投影轴上的投影相等。投影和分力的区别：投影和分力的区别： 1）分力是矢量，投影是标量；）分力是矢量，投影是标量； 2）分力与合力之间遵循平行四边形法则，投影与合）分力与合力之间遵循平行四边形法则，投影与合 力之间是合力的垂足间线段的关系。力之间是合力的垂足间线段的关系。 3）在正交坐标轴上投影与分力的大小是相同的。）在正交坐标轴上投影与分力的大小是相同的。1

7、2 只有在直角坐标系中投影和分力的值相等，在写坐标系中他们就不一定相等，如下图：13四、平面汇交力系合成与平衡的解析法四、平面汇交力系合成与平衡的解析法一一 合力投影定理合力投影定理 推广到推广到n个力的情况，得合力的投影个力的情况，得合力的投影FRx ， FRy分别为：分别为：可得：可得： FRx = Fx ， FRy = FybdaceF3F1F2F4FRxy由图可见由图可见ad=ab+bc+ce-de所以得：所以得：FRx =F1x+F2x+F3x+F4xFRy =F1y+F2y+F3y+F4y合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各

8、分力在同一 轴上投影的代数和。轴上投影的代数和。14合力的大小：合力的大小： 方向：方向： 作用点：作用点： 为该力系的汇交点为该力系的汇交点二、平面汇交力系合成与平衡的解析法二、平面汇交力系合成与平衡的解析法 从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。022RyRxRFFF22RyRxRFFFRxiRFFiF),cos(RyiRFFjF),cos(1500yRyxRxFFFF为平衡平衡方程为平衡平衡方程1 注意：注意：此条件是物体平衡的充分必要条件；此条件是物体平衡的充分必要条件； 两个方程是独立的方程，只能求解两个方程是独立的方程，只能求解两个未知量两个未知量。 未知

9、力的方向可先假定；未知力的方向可先假定； 选轴：选轴：两个正交的轴两个正交的轴。 结论：结论：平面汇交力系平衡时的充分必要条件是：力系中平面汇交力系平衡时的充分必要条件是：力系中所所 有力在其作用面内任选取的坐标轴上，投影的代有力在其作用面内任选取的坐标轴上，投影的代数数 和分别为零。和分别为零。16例例1 图示结构，F已知，求:A和B处的约束力。（用解析法）FFFA解：解：1）选取刚架为研究对象：2）画出受力图：如（b）8m4mABCD（a）3）列平衡方程求解：（b）Fx =0 F - FAcos = 0Fy =0 FB - FAsin = 0cosFFAkN4 .228482022tgFF

10、FFADsin)cos(sinkN108420FB17例2-1：如图所示拖拉机的制动蹬，制动时用力F踩踏板、通过CD杆制动， F=100N，,踏板和拉杆自重不计，求拉力和B处约束力？解：解： 为二力杆，取踏板为二力杆，取踏板为研究对象为研究对象CD列平衡方程式：列平衡方程式：1 1）选择平衡方程的类型：）选择平衡方程的类型： 平面汇交力系的平衡平面汇交力系的平衡2 2）选择投影轴）选择投影轴0,cos45cos3000,sin30sin450 xTByBFFFFFFF。18sin4522 100141.4()sin30BFFFN。(cos45sin45 cot30 )22100 (3)193.

11、2()22TFFN。解方程得：解方程得：BF由计算结果知：为正值，说明假设的与实际方向一致19求：系统平衡时，杆AB、BC受力.已知：系统如图，不计杆、轮自重和尺寸，P=20kN；解：1）取滑轮B（或点B） 2）AB、BC杆为二力杆，画受力图. 3）用解析法，建图示坐标系0ixF030cos60cos21FFFBAPFF21060cos30cos21FFFBC 0iyFkN32.27BCF解得：kN321.7BAF例例2-220课堂练习题课堂练习题 图示两圆柱，直径相同，重图示两圆柱，直径相同，重P1 =P2=P,放在槽内。各接触面放在槽内。各接触面均为光滑接触。求：、三处的约束力。均为光滑接

12、触。求：、三处的约束力。(OO1=1.414R)解：解：1）分析柱）分析柱1 ，受力图（，受力图（b）：）：Fx=0 FNB cos45-FNA=0Fy=0 FNB sin45-P=0 得得FNB =1.414P FNA =P 2) 分析柱分析柱2，受力图（，受力图（c）Fx=0 FNC -FNB cos45 =0Fy=0 FND-FNB sin45-P=0 得得FND =2P FNC =P 21 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时用特殊时用 几几 何法（解力三角形）比较简便。何法（解力三角形）比较简便。 解题技巧及说明：解题技巧及说

13、明：3、投影轴选择与未知力垂直，最好每个方程只有一个未知数。、投影轴选择与未知力垂直，最好每个方程只有一个未知数。 2、一般对于受多个力作用的物体，都用解析法。、一般对于受多个力作用的物体，都用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，负值， 说明力方向与假设相反。对于二力构件，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉一般先设为拉 力，如果求出负值，说明物体受压力。力，如果求出负值，说明物体受压力。 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。、对力的方向判定不准的，一般用解析法。22力对物体可以产生 移动效应移动效应-取

14、决于力的大小、方向转动效应转动效应-取决于力矩的大小、方向2-2 2-2 平面力偶系平面力偶系一、力对点的矩一、力对点的矩 1)定义定义：力使物体绕某定点产生转 动的效果或效应，就称为 力对点的矩，简称力矩。矩心：矩心：在力矩作用面，O称为矩心。力臂：力臂：O到力的作用线的垂直距离h1.大小：力F与力臂的乘积2.方向：转动方向两个要素两个要素：23 是代数量。)(FMO 是影响转动的独立因素。)(FMO-+dFFMO)( 大小和转向：大小和转向：说明：说明：单位Nm或KNm力矩的性质：力矩的性质： 1）力矩取决于力）力矩取决于力F的大小，也取决于矩心的位置。的大小，也取决于矩心的位置。 2）力

15、矩不因力沿其作用线移动改变。力矩不因力沿其作用线移动改变。 3）力矩的力）力矩的力F=0或力或力F过矩心时，力矩为零。过矩心时，力矩为零。 4）互成平衡的两力对同一点的矩的代数和为零；）互成平衡的两力对同一点的矩的代数和为零；24 定理定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和。有各分力对同一点的矩的代数和。二、合力矩定理二、合力矩定理由合力投影定理有：证毕现)()()(21FmFmFmooRo证证niiOROFmFm1)()(od=ob+ocoboAoABFMo2)(1ocoAoACFMo2)(2odoAoADF

16、MRo 2)(又FR25力矩与合力矩的解析表达式力矩与合力矩的解析表达式 xyxOyOOFyFxFyFxFMFMFMcossinixiiyiROFyFxFM iOROFMFMFxFy26 1 实例：实例：方向盘、水龙头、钥匙； 2 基本基本定义定义 力偶：力偶：是一对等值、反向、作用线相互 平行的力；用（F，F）表示。 力偶作用面：力偶作用面：力偶中的两力所确定的平面； 力偶臂：力偶臂：力偶中的两力作用线之间的距离。一、一、 力偶力偶研究力偶对物体的作用效应？如何度量？研究力偶对物体的作用效应？如何度量？二、平面力偶理论二、平面力偶理论27 1 定义：力偶中的二个力对其作用面内某 点的矩的代数

17、和 2 表示：M=Fd 3 力偶矩正负及单位：逆正顺负，kN.m或N.m 二二 力偶矩力偶矩dFFFM)(、力偶矩两要素：力偶矩两要素：大小：方向：-+28三三 平面力偶性质平面力偶性质性质性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。力力力偶力偶性质性质2：力偶对其所在平面内任一点之矩恒等于力偶矩，而与力偶对其所在平面内任一点之矩恒等于力偶矩，而与 矩心矩心的位置的位置无关无关。 力偶对物体的效应用力偶矩来度量力偶对物体的效应用力偶矩来度量 FdxFxdFFMFMFFMOOO11111, 力矩力矩 FMO力偶矩力偶矩 M力偶只能与力偶

18、平衡力偶只能与力偶平衡29作用在同一平面内的两个力偶，只要二者力偶矩作用在同一平面内的两个力偶，只要二者力偶矩 大小大小 相等，相等，则该两个力偶则该两个力偶 等效。等效。 转向转向 一一 平面力偶等效定理平面力偶等效定理二二 推论推论2（只要保持力偶矩不变），力偶可以在其作用面内任意移（只要保持力偶矩不变），力偶可以在其作用面内任意移 动，而不影响它对刚体的作用效应。动，而不影响它对刚体的作用效应。 3（只要保持力偶矩不变）（只要保持力偶矩不变），可以任意改变力偶中力的大，可以任意改变力偶中力的大 小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。性质之一性质之一 1力偶矩是力偶作用效果的惟一度量力偶矩是力偶作用效果的惟一度量30=31111dFM222dFMdPM11dPM2221PPFRA21PPFRB212121)(MMdPdPdPPdFMRA一一 平面力偶系平面力偶系：作用在同一平面的许多力偶作用在同一平面的许多力偶1 两个力偶两个力偶d二二 平面力偶系合成平面力偶系合成合力偶矩合力偶矩dRAFRBF32平面力偶系平衡的充要条件平面力偶系平衡的充要条件: :所有各力偶矩的代数和等于零。所有各力偶矩的代数和等于零。 ni