三角恒等变换之辅助角公式.docx

1、辅助角公式 a sinb cosa2 b2 sin()在三角函数中， 有一种常见而重要的题型， 即化 a sinb cos为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等 . 为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式a sinb cos=a2b2sin() 或a sinb cos=a2b2cos() ,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违, 半个学期不到 , 大部分学生都忘了, 教师不得不重推一遍. 到了高三一轮复习, 再次忘记 , 教师还得重推 ! 本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导 , 体现一种解决问题的过程与方法 , 减轻学生的记

2、忆负担 ; 同时说明“辅助角” 的范围和常见的取角方法 , 帮助学生澄清一些认识 ; 另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用 , 优化解题过程与方法 ; 最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用 , 让学生把握辅助角与原生角的范围关系 , 以更好地掌握和使用公式.一 . 教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下1. 引例例 1求证： 3 sin+cos =2sin （ +）=2cos（ -） .63其证法是从右往左展开证明 , 也可以从左往右“凑” , 使等式得到证明 , 并得出结论 :可见 ,3 sin+cos可以化为一个角的三角函数形式.一般地 ,asin+bcos是否可以化为一个

3、角的三角函数形式呢?2. 辅助角公式的推导例 2 化 a sinb cos为一个角的一个三角函数的形式 .解: asin+bcos=a2b2 (a2asin +bcos ),b2a2b2 令a=cos,b=sin,a2b2a2b2则 asin+bcos=a2b2 (sincos+cossin)= a2b2 sin(+),(其中 tan= b )a 令a=sin,b=cos, 则a2a2b2b2asin+bcos =a2b2 (sinsin+coscos )= a2b2 cos(-),(其中 tan=a)b其中的大小可以由 sin、cos的符号确定的象限 , 再由 tan的值求出 . 或由 ta

4、n= b 和(a,b)所在的象限来确定 .a推导之后 , 是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题: 一是为什么要令ab=sin?让学生费解 . 二是这种 “规定”式的推a2=cos,b2a2b2导 , 学生难记易忘、易错 !二 . 让辅助角公式 a sinb cos= a2b2 sin() 来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些 ?这是我多少年来一直思考的问题 .2009 年春 . 我又一次代 2008 级学生时 , 终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法 .首先要说明，若 a=0 或 b=0 时， a sinb cos已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化

5、简 . 故有 ab 0.1. 在平面直角坐标系中 , 以 a 为横坐y的终边标 ,b 为纵坐标描一点 P(a,b)如图 1 所示,则总有一个角, 它的终边经过点 P. 设? P(a,b)OP=r,r=a2b2 , 由三角函数的定义知rsinb=b,Ox=ra2b2图 1cosaa.=a2b2r所以 asin+bcos=a2b2 cossin+ a2b2 sincos=a2b2 sin() .( 其中 tan= b )a2. 若在平面直角坐标系中 , 以 b 为横坐标 , 以 a 为纵坐标可以描点 P(b,a),的终边如图 2 所示 , 则总有一个角的终边经过y点 P(b,a),设 OP=r,则

6、 r=2b2. 由三? P(b,a)a角函数的定义知rsina=a,=a2rb2Oxbb图 2cos.= =a2b2rasin+bcos=a2b2 sin sina2b2 coscos=a2b2 co s() . ( 其中 tan= a )b例 3化3sincos为一个角的一个三角函数的形式 .解: 在坐标系中描点 P(3,1),设 角的终边过点 P,则 OP=r=3212 =2.sin=1,cos=3.223sincos=2cossin+2sincos =2sin().tan3.=32k, 3sincos=2sin().66经过多次的运用 ,同学们可以在教师的指导下, 总结出辅助角公式asi

7、n+bcos=a2b2(asin+bcos)=a2b2a2b2a2b2 sin() ,(其中 tan= b ). 或者aasin+bcos=a2b2(asin+bcos)=a2b2a2b2a2b2cos() ,( 其中 tan= a )b我想这样的推导, 学生理解起来会容易得多, 而且也更容易理解asin+bcos 凑成a2b2 (asin+bcos)的道理,以a2b2a2b2及为什么只有两种形式的结果 .例 4 化 sin3 cos为一个角的一个三角函数的形式 .解法一:点 (1,-3)在第四象限.OP=2.设角过 P点 . 则sin3,cos1满足 条件的最小正角为2.2552k, kZ.

8、3,3sin3 cos2( 1 sin3 cos )2(sincoscos sin )222sin()2sin(52k )2sin(5).33解法二:点P(-3 ,1)在第二象限,OP=2,设 角过 P点 . 则sin1cos3满足 条件的最小正角为,.22552k, kZ.6,6sin3 cos2( 1 sin3 cos)2(sinsincoscos )222cos()2cos(52k )2cos(5).66三. 关于辅助角的范围问题由 a sinb cosa2b2 sin() 中, 点 P(a,b) 的位置可知 , 终边过点 P(a,b) 的角可能有四种情况 ( 第一象限、第二象限、第三象

9、限、第四象限 ).设满足条件的最小正角为1 , 则12k. 由诱导公式(一)知a sinb cosa2b2sin()a2b2sin(1 ) 其中 1(0,2) ， tan1b，1的具体位置由 sin1 与 cos 1 决定， 1 的大a小由 tan 1b决定a类似地，a sinb cosa2b2 cos() ， 的终边过点（，），设满足条件的最小正角为2 ，则2 2k. 由诱导公式有a sinb cosa2b2 cos()a2b2 cos(2) ，其中 2(0,2) ， tana2 的位置由 sin 2 和 cos 2 确定，2 的大小2，b由 tana确定2b注意：一般地，12 ；以后没有特

10、别说明时，角1 （或 2 ）是所求的辅助角四关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式 在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为a sinb cosa2b2sin(1 )的形式或a sinb cosa2b2cos(2 ) 的形式可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理例化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式（）（）3 sincos；2 sin(3)6 cos() 6633 sincos2(3 sin1 cos)解：（）222(sincoscossin )2sin()6662 sin()6 cos()63632 1

11、sin()3 cos()（）323232 sin(3) coscos()sin33332 sin( 2)33在本例第（）小题中， a3 ， b1，我们并没有取点（3 ，），而取的是点 （3 ，）也就是说，当 a 、b 中至少有一个是负值时 我们可以取（ a ， b ），或者（ b ， a ）这样确定的角1（或2 ）是锐角，就更加方便rr1例 6 已知向量 a (cos(x),1) , b (cos(x), ),332rr rr r2的最大值及相应的 xc (sin( x),0) , 求函数 h( x) = a bb c3的值 .解: h( x)cos2 ( x)1sin( x)cos( x)

12、23233=1 cos(2x2)1233sin(2 x22)231 cos(2x2 )1 sin(2 x2 )223232 2 cos(2x2)2 sin(2 x2) 2223232 cos(2x11) 2212h( x)max 22 .2这时 2x112k , x k11 .kZ .1224此处 , 若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁, 而且易错 , 请读者一试 .五. 与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见, 而且涉及辅角的范围 , 在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.例 7 如图 3, 记扇 OAB的中心角为45 , 半径为 1, 矩形 PQMN内接于这个扇形 , 求矩形的对角线 l 的最小值 .BNM解:连结 OM,设AOM= . 则sincossin.MQ=,OQ=,OP=PN=PQ=O