二次函数9分专题训练二(含答案)

1、11如图，直线y=x4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点M在抛物线上，连接MB，当MBA+CBO=45时，求点M的坐标；（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由12如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，

2、点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动设PQ交直线AC于点G（1）求直线AC的解析式；（2）设PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使MAC和MBC都是等腰三角形直接写出所有满足条件的M点的坐标；（4）过点P作PEAC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由13已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）（）当b=2，c=3时，求二次函数的最小值；（）当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的

3、解析式；（）当c=b2时，若在自变量x的值满足bxb+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式14如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax22ax3a（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能

4、，请说明理由15如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）将矩形OABC绕点O逆时针旋转30得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围16二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，4），且与直线y=x+1相交于A

5、、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BCx轴，垂足为点C（3，0）（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NPx轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标17已知二次函数y=ax2+bx3a经过点A（1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明

6、理由18在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（4，0），B（0，4），C（2，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标19已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P（x，y）（0x6）是抛物线上的动点，过点P作PQy轴交直线BC于点Q当x取何值时，线段PQ

7、的长度取得最大值，其最大值是多少？是否存在这样的点P，使OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由20如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A（3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且SAOP=4SBOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQx轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值11（2014本溪）如图，直线y=x4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点M在抛物线上，连接MB，当

8、MBA+CBO=45时，求点M的坐标；（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点C的坐标；（2）满足条件的点M有两种情形，需要分类讨论：当BMBC时，如答图21所示；当BM与BC关于y轴对称时，如答图22所示（3）CPQ的三边均可能成为菱形的对角

9、线，以此为基础进行分类讨论：若以CQ为菱形对角线，如答图31此时BQ=t，菱形边长=t；若以PQ为菱形对角线，如答图32此时BQ=t，菱形边长=t；若以CP为菱形对角线，如答图33此时BQ=t，菱形边长=5t【解答】解：（1）直线解析式y=x4，令x=0，得y=4；令y=0，得x=4A（4，0）、B（0，4）点A、B在抛物线y=x2+bx+c上，解得，抛物线解析式为：y=x2x4令y=x2x4=0，解得：x=3或x=4，C（3，0）（2）MBA+CBO=45，设M（x，y），当BMBC时，如答图21所示ABO=45，MBA+CBO=45，故点M满足条件过点M1作M1Ey轴于点E，则M1E=x，

10、OE=y，BE=4+ytanM1BE=tanBCO=，直线BM1的解析式为：y=x4联立y=x4与y=x2x4，得：x4=x2x4，解得：x1=0，x2=，y1=4，y2=，M1（，）；当BM与BC关于y轴对称时，如答图22所示ABO=MBA+MBO=45，MBO=CBO，MBA+CBO=45，故点M满足条件过点M2作M2Ey轴于点E，则M2E=x，OE=y，BE=4+ytanM2BE=tanCBO=，直线BM2的解析式为：y=x4联立y=x4与y=x2x4得：x4=x2x4，解得：x1=0，x2=5，y1=4，y2=，M2（5，）综上所述，满足条件的点M的坐标为：（，）或（5，）（3）设BC

11、O=，则tan=，sin=，cos=假设存在满足条件的点D，设菱形的对角线交于点E，设运动时间为t若以CQ为菱形对角线，如答图31此时BQ=t，菱形边长=tCE=CQ=（5t）在RtPCE中，cos=，解得t=CQ=5t=过点Q作QFx轴于点F，则QF=CQsin=，CF=CQcos=，OF=3CF=Q（，）点D1与点Q横坐标相差t个单位，D1（，）；若以PQ为菱形对角线，如答图32此时BQ=t，菱形边长=tBQ=CQ=t，t=，点Q为BC中点，Q（，2）点D2与点Q横坐标相差t个单位，D2（1，2）；若以CP为菱形对角线，如答图33此时BQ=t，菱形边长=5t在RtCEQ中，cos=，解得t

12、=OE=3CE=3t=，D3E=QE=CQsin=（5）=D3（，）综上所述，存在满足条件的点D，点D坐标为：（，）或（1，2）或（，）【点评】本题是二次函数压轴题，着重考查了分类讨论的数学思想，考查了二次函数的图象与性质、解直角三角形（或相似）、菱形、一次函数、解方程等知识点，难度较大第（3）问为存在型与运动型的综合问题，涉及两个动点，注意按照菱形对角线进行分类讨论，做到条理清晰、不重不漏12（2015黄冈中学自主招生）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达

13、B点时，点Q同时停止运动设PQ交直线AC于点G（1）求直线AC的解析式；（2）设PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使MAC和MBC都是等腰三角形直接写出所有满足条件的M点的坐标；（4）过点P作PEAC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由【分析】（1）直线AC经过点A，C，根据抛物线的解析式面积可求得两点坐标，利用待定系数法就可求得AC的解析式；（2）根据三角形面积公式即可写出解析式；（3）可以分腰和底边进行讨论，即可确定点的坐标；（4）过G作GHy轴，根据三角形相似，相似三角形的对应边的比相等即可求解【解答】解：（1）y=x2+2，x

14、=0时，y=2，y=0时，x=2，A（2，0），B（2，0），C（0，2），设直线AC的解析式是y=kx+b，代入得：，解得：k=1，b=2，即直线AC的解析式是y=x+2；（2）当0t2时，OP=（2t），QC=t，PQC的面积为：S=（2t）t=t2+t，当2t4时，OP=（t2），QC=t，PQC的面积为：S=（t2）t=t2t，；（3）当AC或BC为等腰三角形的腰时，AC=MC=BC时，M点坐标为（0，22）和（0，2+2）当AC=AM=BC 时，M为（0，2）当AM=MC=BM时M为（0，0）一共四个点，（0，），（0，），（0，2），（0，0）；（4）当0t2时，过G作GHy轴，垂

15、足为H由AP=t，可得AE=GHOP即=，解得GH=，所以GC=GH=于是，GE=ACAEGC=即GE的长度不变当2t4时，过G作GHy轴，垂足为H由AP=t，可得AE=由即=，GH（2+t）=t（t2）（t2）GH，GH（2+t）+（t2）GH=t（t2），2tGH=t（t2），解得GH=，所以GC=GH=于是，GE=ACAE+GC=2t+=，即GE的长度不变综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值【点评】本题属于一道难度较大的二次函数题，综合考查了三角形相似的性质，需注意分类讨论，全面考虑点M所在位置的各种情况13（2015天津）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）

16、（）当b=2，c=3时，求二次函数的最小值；（）当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（）当c=b2时，若在自变量x的值满足bxb+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式【分析】（）把b=2，c=3代入函数解析式，求二次函数的最小值；（）根据当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，得到x2+bx+5=1有两个相等是实数根，求此时二次函数的解析式；（）当c=b2时，写出解析式，分三种情况减小讨论即可【解答】解：（）当b=2，c=3时，二次函数的解析式为y=x2+2x3=（x+1）24，

17、当x=1时，二次函数取得最小值4；（）当c=5时，二次函数的解析式为y=x2+bx+5，由题意得，x2+bx+5=1有两个相等是实数根，=b216=0，解得，b1=4，b2=4，二次函数的解析式y=x2+4x+5，y=x24x+5；（）当c=b2时，二次函数解析式为yx2+bx+b2，图象开口向上，对称轴为直线x=，当b，即b0时，在自变量x的值满足bxb+3的情况下，y随x的增大而增大，当x=b时，y=b2+bb+b2=3b2为最小值，3b2=21，解得，b1=（舍去），b2=；当bb+3时，即2b0，x=，y=b2为最小值，b2=21，解得，b1=2（舍去），b2=2（舍去）；当b+3，即

18、b2，在自变量x的值满足bxb+3的情况下，y随x的增大而减小，故当x=b+3时，y=（b+3）2+b（b+3）+b2=3b2+9b+9为最小值，3b2+9b+9=21解得，b1=1（舍去），b2=4；b=时，解析式为：y=x2+x+7b=4时，解析式为：y=x24x+16综上可得，此时二次函数的解析式为y=x2+x+7或y=x24x+16【点评】本题考查了二次函数的最值：当a0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=时，y=；当a0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为

19、图象有最高点，所以函数有最大值，当x=时，y=；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值14（2015成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax22ax3a（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若ACE的面积的最大值为，求a

20、的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由【分析】（1）由抛物线y=ax22ax3a（a0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DFx轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式（2）设点E（m，a（m+1）（m3），yAE=k1x+b1，利用待定系数法确定yAE=a（m3）x+a（m3），从而确定SACE=（m+1）a（m3）a=（m）2a，根据最值确定a的值即可；（3）分以AD为对角线、以AC为边，AP为对角线、以AC为边，AQ为对角线三

21、种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可【解答】解：（1）令y=0，则ax22ax3a=0，解得x1=1，x2=3点A在点B的左侧，A（1，0），如图1，作DFx轴于F，DFOC，=，CD=4AC，=4，OA=1，OF=4，D点的横坐标为4，代入y=ax22ax3a得，y=5a，D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，直线l的函数表达式为y=ax+a（2）如图1，过点E作ENy轴于点N设点E（m，a（m+1）（m3），yAE=k1x+b1，则，解得：，yAE=a（m3）x+a（m3），M（0，a（m3）MC=a（m3）a，NE=mSACE=SACM+SCEM=a（m3）a+a（m3

22、）am=（m+1）a（m3）a=（m）2a，有最大值a=，a=；（3）令ax22ax3a=ax+a，即ax23ax4a=0，解得x1=1，x2=4，D（4，5a），y=ax22ax3a，抛物线的对称轴为x=1，设P1（1，m），若AD是矩形的一条边，由AQDP知xDxP=xAxQ，可知Q点横坐标为4，将x=4带入抛物线方程得Q（4，21a），m=yD+yQ=21a+5a=26a，则P（1，26a），四边形ADPQ为矩形，ADP=90，AD2+PD2=AP2，AD2=4（1）2+（5a）2=52+（5a）2，PD2=4（1）2+（5a）2=52+（5a）2，4（1）2+（5a）2+（14）2+（

23、26a5a）2=（11）2+（26a）2，即a2=，a0，a=，P1（1，）若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，3a），m=5a（3a）=8a，则P（1，8a），四边形ADPQ为矩形，APD=90，AP2+PD2=AD2，AP2=1（1）2+（8a）2=22+（8a）2，PD2=（41）2+（8a5a）2=32+（3a）2，AD2=4（1）2+（5a）2=52+（5a）2，22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，解得a2=，a0，a=，P2（1，4）综上可得，P点的坐标为P1（1，4），P2（1，）【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次

24、函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题的关键15（2014珠海）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）将矩形OABC绕点O逆时针旋转30得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：y=x2x；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设PQH的面

25、积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围【分析】（1）求解析式一般采用待定系数法，通过函数上的点满足方程求出（2）平行四边形对边平行且相等，恰得MN为OF，即为中位线，进而横坐标易得，D为x轴上的点，所以纵坐标为0（3）已知S范围求横坐标的范围，那么表示S是关键由PH不为平行于x轴或y轴的线段，所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题，此法底为两点纵坐标得差，高为横坐标的差，进而可表示出S，但要注意，当Q在O点右边时，所求三角形为两三角形的差得关系式再代入，求解不等式即可另要注意求解出结果后要考虑Q本身在R、E之间的限制【解答】解：（1）如图1，过G作GICO于

26、I，过E作EJCO于J，A（2，0）、C（0，2），OE=OA=2，OG=OC=2，GOI=30，JOE=90GOI=9030=60，GI=sin30GO=， IO=cos30GO=3， JE=cos30OE=， JO=sin30OE=1，G（，3），E（，1），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，经过G、O、E三点，解得，y=x2x（2）四边形OHMN为平行四边形，MNOH，MN=OH，OH=OF，MN为OGF的中位线，xD=xN=xG=，D（，0）（3）设直线GE的解析式为y=kx+b，G（，3），E（，1），解得 ，y=x+2Q在抛物线y=x2x上，设Q的坐标为（x，x2x），Q在R、

27、E两点之间运动，x当x0时，如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QKy轴，交GE于K，则K（x，x+2），SPKQ=（yKyQ）（xQxP）， SHKQ=（yKyQ）（xHxQ），SPQH=SPKQ+SHKQ=（yKyQ）（xQxP）+（yKyQ）（xHxQ）=（yKyQ）（xHxP）=x+2（x2x）0（）=x2+当0x时，如图3，连接PQ，HQ，过点Q作QKy轴，交GE于K，则K（x，x+2），同理 SPQH=SPKQSHKQ=（yKyQ）（xQxP）（yKyQ）（xQxH）=（yKyQ）（xHxP）=x2+综上所述，SPQH=x2+，当S=时，对应的x=和，因此由S=x2+的图象可得x时满足

28、，x，x【点评】本题考查了一次函数、二次函数性质与图象，直角三角形及坐标系中三角形面积的表示等知识点注意其中“利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点，需要加强理解运用16（2014泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，4），且与直线y=x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BCx轴，垂足为点C（3，0）（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NPx轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足

29、条件的N点的坐标【分析】方法一：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标方法二：（1）略（2）求出点M，N的参数坐标，并得到MN的长度表达式，从而求出MN的最大值（3）因为BM与NC相互垂直平分，所以四边形BCMN为菱形，因为MNBC，所以只需MN=BC可得出四边形BCMN为平行四边形，再利用NCBM进行求解【解答】方法一：

30、解：（1）由直线y=x+1可知A（0，1），B（3，），又点（1，4）经过二次函数，根据题意得：，解得：，则二次函数的解析式是：y=x+1；（2）设N（x，x2x+1），则M（x，x+1），P（x，0）MN=PNPM=x2x+1（x+1）=x2x=（x+）2+，则当x=时，MN的最大值为；（3）连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则MN=BC，且BC=MC，即x2x=，且（x+1）2+（x+3）2=，解x2+3x+2=0，得：x=1或x=2（舍去）故当N（1，4）时，BM和NC互相垂直平分方法二：（1）略（2）设N（t，），M（t，t+1），MN=NYMY=+t1，

31、MN=，当t=时，MN有最大值，MN=（3）若BM与NC相互垂直平分，则四边形BCMN为菱形NCBM且MN=BC=，即=，t1=1，t2=2，t1=1，N（1，4），C（3，0），KNC=2，KAB=，KNCKAB=1，NCBMt2=2，N（2，），C（3，0），KNC=，KAB=，KNCKAB1，此时NC与BM不垂直满足题意的N点坐标只有一个，N（1，4）【点评】本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题17（2015赤峰）已知二次函数y=ax2+bx3a经过点A（1，0）、C（0，3），与x轴交于另

32、一点B，抛物线的顶点为D（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将A（1，0）、B（3，0）代入二次函数y=ax2+bx3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解【解答】解：（1）二次函数y=ax2+bx3a经过点A（1，0）、

33、C（0，3），根据题意，得，解得，抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）由y=x2+2x+3=（x1）2+4得，D点坐标为（1，4），CD=，BC=3，BD=2，CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=20，CD2+BC2=BD2，BCD是直角三角形；（3）存在y=x2+2x+3对称轴为直线x=1若以CD为底边，则P1D=P1C，设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2=x2+（3y）2，P1D2=（x1）2+（4y）2，因此x2+（3y）2=（x1）2+（4y）2，即y=4x又P1点（x，y）在抛物线上，4x=x2+2x+3，即x23x+1=0，解得x1=，x2

34、=1，应舍去，x=，y=4x=，即点P1坐标为（，）若以CD为一腰，点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x=1对称，此时点P2坐标为（2，3）符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）【点评】此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性18（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（4，0），B（0，4），C（2，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值（3）若点P是抛物线上的动点，

35、点Q是直线y=x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式（2）设出M点的坐标，利用S=SAOM+SOBMSAOB即可进行解答；（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合【解答】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a0），将A（4，0），B（0，4），C（2，0）三点代入函数解析式得：解得，所以此函数解析式为：y=；（2）M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，M点的

36、坐标为：（m，），S=SAOM+SOBMSAOB=4（m2m+4）+4（m）44=m22m+82m8=m24m，=（m+2）2+4，4m0，当m=2时，S有最大值为：S=4+8=4答：m=2时S有最大值S=4（3）设P（x，x2+x4）当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQOB，且PQ=OB，Q的横坐标等于P的横坐标，又直线的解析式为y=x，则Q（x，x）由PQ=OB，得|x（x2+x4）|=4，解得x=0，4，22x=0不合题意，舍去如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=x得出Q为（4，4）由此可得Q（4，4）或

37、（2+2，22）或（22，2+2）或（4，4）【点评】本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法19（2015黄冈模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P（x，y）（0x6）是抛物线上的动点，过点P作PQy轴交直线BC于点Q当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？是否存在这样的点P，使OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）已知了A，B的坐标，可用待定系数法求出函数的解析式（2）QP其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在（1）中已经求出，而一次函数可根据B，C的坐标，用待定系数法求出那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式，得出的新的函数就是关于PQ，x的函数关系式，那么可根据函数的性质求出PQ的最大值以及相对应的x的取值（3）分三种情况进行讨论：当QOA=90时，Q与C重合，显然不合题意因此这种情况不成立；当OAQ=90时，P与A重合，因此P的坐标就是A的坐标；当OQA=90时