双自由度与多自由度的受迫振动精编版

1、这一振动系统的运动微分方程为：这一振动系统的运动微分方程为：这是一个二阶非齐次线性常系数微分方程，其通解由两部分组成。一是对应于第一个方程式右边项为零的齐次微分方程组的解，即自由振动。当系统存在阻尼时，这一自由振动经过一段时间后逐渐衰减。二是对应上述非齐次微分方程组的一个特解，它是由系统的激振力引起的受迫振动，即系统的稳态振动。只研究稳态振动时，可设上列微分方程组有简谐振动的特解：对上式分别求一阶及二阶导数：0sin222121.221212111.11xkxkxmptFxkxkxmptXxptXxFFsinsin2211ptpXxptpXxptpXxptpXxFFFFsin,cossin,c

2、os22.22.221.11.1代入后矩阵表示成：设系统的固有频率为 和 ，系数矩阵可表示为：解出：12)(22222121222212211211ppmmmpkkkmpkD0121121121121211FXXmpkkkmpk)()()(22222121121222222121122221ppmmFkXppmmFmpkX频率响应函数：频率响应函数：该非齐次方程组通解：该非齐次方程组通解：)()()()()(2222212112112212222212122221111ppmmFkFXpHppmmmpkFXpHptXtAtAtxptXtAtAtxsin)sin()sin()(sin)sin()

3、sin()(22222112121221211111运动规律：由上述讨论可以得知，双自由度系统无阻尼受迫振动的运动规律是与激振力同频的简谐振动。频率及固有频率：双自由度系统无阻尼受迫振动的频率与激振力的频率相同。振幅：由上图幅频响应曲线可知，当激振力频率等于系统的第一阶固有频率时或者第二阶固有频率时，此时的振幅 、 趋于无穷大，即共振现象。这就是说，在双自由度系统中，如果激振力的频率和系统的任何一阶固有频率相近时，系统都将产生共振，所以双自由度系统有两个共振区。另外，如果子系统通过弹簧传给主系统的力正好与作用在主系统上的激振力相平衡，这时主系统的受迫振动就被子系统完全吸收掉而保持静止，这个特性

4、常用来设计动力减振器。当激振力的频率趋向于无穷时， 、 均趋于零，即激振力频率很高时，两个质量都几乎不动。这也和单自由度系统受迫振动的特性很相似。1X2X1X2X 平衡条件：平衡条件： 矩阵形式：矩阵形式：.21.2323.1.221222.11.1111.1.221221)()()()()()(xmxcxkxxcxxktFxmxcxkxxcxxktF)()(002121322221.2.1322221.2.121tFtFxxkkkkkkxxccccccxxmm上式可以简记为：M M-质量矩阵，C C-阻尼矩阵，K K-刚度矩阵。4.动力消振器（1）无阻尼情况： 稳态解： 系数行列式：)(.t

5、FKxxCxM动力消振器0sin0012122221.2121ptFxxkkkkkxxmmptXtxptXtxsin)(sin)(2211/,/ )(21222211kFXpmkFX222122121)(kpmkpmkk为方便讨论稳态振动的特性，令主系统固有频率为子系统固有频率为 。则由主系统的幅频响应曲线可知当激振力频率与主系统固有频率的比值为1时，即满足：此时 ， ,由于也就是说子系统通过弹簧 传给主系统的力，正好与作用在主系统上的激振力相平衡。这样，主系统的受迫振动就被子系统完全吸收掉而保持静止，这就是动力消振原理。（2）有阻尼的情况：主系统幅频响应曲线1121/mk2222/mk222

6、/mk01X2022/sinsinktFtXx201/ kFX2k00012122221.2.122221.2.121jpteFxxkkkkkxxcccccxxmm 稳态解： -复激振力的力幅； 响应的复幅值。将稳态解的表达式代入矩阵形式表达式，振幅：下图为单自由度系统的幅频曲线和动力消振器响应曲线：jptjpteXtxeXtx2211)(,)(1F21, XX0)(12122222222211221FXXpjcmpkpjckpjckpccjmpkk22222222222222221,)(bacpkXbacpmpkX结论：阻尼存在时，主质量的振幅不可能抑制到零，但可以控制在一个较小的范围；原系

7、统只有一个固有频率和共振峰；现在有两个固有频率和共振峰；起消振作用的频率范围很窄，在主系统的固有频率 附近。单自由度系统的幅频曲线与消振器响应曲线二.影响系数法建立多自由度链式系统建立和求解多自由度系统振动的运动微分方程式，可以采用达朗贝尔原理的方法。但是随着自由度数目的增加，方程组中包含的方程式的数量和复杂程度大大增加，计算工作量大，求解易出错。因此，对于一些特殊的链式系统，又常用影响系数法。同时对于一些简单的模型，也常使用隔离法分析。下面我们分别介绍建立多自由度系统振动方程的影响系数法和简单模型的隔离法。1.影响系数法多自由度链状系统右图为两类链状系统，其中（a）图为平动多自由度质量-弹簧

8、-阻尼振动系统，（b）为转动多自由度转子-弹簧-阻尼扭振系统。两者在动力学模型和方程上即为相似，只是将相应的惯性元件、弹性元件和阻尼元件的代号更换，这里以平动系统为例说明。（1）刚度系数法在图（a）所示的平动系统中，质量块 分别在作用力 和对应的弹簧-阻尼元件作用下振动，在系统静止时建立各自的位移坐标 。假定弹簧变形在其线性范围内，阻尼为粘性阻尼，则系统为线性系统。现在讨论第i（i=1,2,n）个质量块的受力情况。为此，我们给出以下定义：仅考虑质量的作用时，定义质量（惯性）影响系数为在使第j个质量块具有单位加速度（加速度为1）而其他质量块无加速度的情况下平衡第i个质量块的惯性力所施加的作用力m

9、ij。该力方向与加速度方向同向时为正，反向时为负。据线性系统的叠加原理，在第i个质量块所施加的外力 就是所有阻尼影响系数 （j=1,2,n）与对应位置处质量块加速度 的乘积之和：nimmmmm，,321n321,FFFFFin21,xxxximiFijm.jx)n,2, 1(1.jxmFnjjijmi仅考虑阻尼的作用时，定义阻尼影响系数 为第j个 质量块产生单位速度（速度为1）而其他质量块无速度的情况下外界对第i个质量块所施加的作用力，该作用力包含大小和方向，其中力方向与速度方向同向时为正，反向时为负。据线性系统的叠加原理，在第i个质量块所施加的外力 就是所有阻尼影响系数 （j=1,2,n）与

10、对应位置处质量块速度 的乘积之和：仅考虑弹簧的作用时，定义刚度影响系数 为第j个质量块产生的位移为1而其他质量块固定不动的情况下外界对第i个质量块所施加的作用力，该力包含大小和方向，其中力方向与单位位移方向同向时为正，反向时为负。根据线性系统的叠加原理，第i个质量块所受外力 就是所有刚度影响系数 （j=1,2,n）对应位置处质量块位移 的乘积之和：ijcciFijc.jx)n,2, 1(1.jxcFnjjijciijkkiFijkjx而实际中，需要同时考虑质量、阻尼和弹簧的作用，因此第i个质量块所受外激励为上述三个外力之和，即：设链式系统有n个质量块组成，将每个质量块的受力情况按照上式表示出来

11、：)n,2, 1(1.jxcFnjjijci)n,2, 1(11.1.jxkxcxmFFFFnjjijnjjijnjjijkicimiinjjjnjjjnjjjxkxcxmF111.11.11njjjnjjjnjjjxkxcxmF121.21.22.上面一系列式子可以用矩阵归纳表达：式中njjijnjjijnjjijixkxcxmF11.1.njjnjnjjnjnjjnjnxkxcxmF11.1.Fxkxcxm. nnnnnnmmmmmmmmmm212222111211 nnnnnncccccccccc212222111211 nnnnnnkkkkkkkkkk212222111211分别为系统

12、的质量矩阵、阻尼矩阵与刚度矩阵。 分别为系统的位移、速度、加速度列阵。 为系统的外力矩阵。补充：刚度系数法在使用过程中需要多次使用力平衡或者力矩平衡原理。对于非链式系统，上述的位移、速度及加速度都是指广义坐标位置处的。上列矩阵中的任一元素 分别代表第i坐标和第j坐标之间的惯性、阻尼和刚度的相互影响，故分别称之为影响系数。显然， 只要能确定影响系数的数值，即可求出各系统矩阵。一般情况下，对于链式线性系统，若能设法求出系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵就可以直接按照上式写出系统的运动微分方程式。 TnTnTnxxxxxxxxxxxx.2.1.2.1.21, TnFFFF,21ijijijkcm,（

13、2）柔度系数法经过以上的分析可以知道，在利用刚度系数法来建立系统运动的作用力方程过程中，需要引入力平衡的概念，当系统的自由度较多时，多次人为的增加约束，计算过程较为复杂。接下来介绍的柔度系数法计算较之较为简单。柔度系数在数学上是弹簧刚度系数的倒数，在物理上表示弹簧一端受到单位力时发生的变形量。若弹簧的刚度系数为k，则柔度系数表示成： 。在上图所示的平动系统中，先不考虑阻尼的影响。质量块 分别在静力 的作用有位移 。假定弹簧变形在其线性范围内，则系统为线性系统。我们定义柔度影响系数 为在系统的第j个质量块上施加一单位力时，在第i个质量块上所产生的位移大小。这样，第i个质量块的实际位移 可以表示为

14、：k/1nmmm,21nFFF,21nxxx,21ijix), 2 , 1(1njFxnjjiji现将每个质量块的位移表示出：上面一系列式子可以用矩阵归纳表达：nnnjjjFFFFx1212111111niniinjjijiFFFFx22111.nnnnnnjjnjnFFFFx22111nnnnnnnnFFFxxx2121222211121121上式中的 称为系统的柔度矩阵， 为位移列阵， 为系统的外力列阵。在上式中，假如 不是静力，而是变化的动力，则系统开始振动，这样根据达朗贝尔原理，实际对每个质量块上所施加的动力应在所施加的作用力基础上减去平衡各自的惯性力的那一部分。这时上式应改写为：矩阵

15、化为： x FnFFF,21.222.11121222211121121nnnnnnnnnnxmFxmFxmFxxx.2.1212121222211121121000000000000nnnnnnnnnnxxxmmmFFFxxx上式可以简写成：上式是用柔度矩阵表示的多自由度无阻尼系统的运动方程，称为系统运动的位移方程。而把用刚度矩阵表示的多自由度系统的运动方程称为系统运动的作用力方程。对于多自由度无阻尼系统，作用力方程的一般形式为：用柔度矩阵的逆矩阵 前乘上上式得：对比（1）与（2）式可知：Fxxm.)1(.Fxkxm 1)2(1.Fxxm Ikkkk11,这就是说，对于同一个系统，若选取相同

16、的广义坐标，则系统的刚度矩阵k和柔度矩阵互为逆矩阵。因此，对于那些直接确定刚度矩阵比确定柔度矩阵困难得多的系统，就可以借助求柔度矩阵的逆矩阵的办法来得到系统的刚度矩阵。当考虑系统阻尼的作用时，多自由度系统运动的作用力方程，如前所述应为如下形式：将上式两端前乘：由于 上式又可以化简成：通过求解系统的柔度矩阵，再求逆以获得系统的刚度矩阵，这是柔度矩阵通过求解系统的柔度矩阵，再求逆以获得系统的刚度矩阵，这是柔度矩阵的主要作用。的主要作用。所谓的求解系统振动微分方程的柔度系数法主要指求解系统的柔度矩阵，而系统的质量、阻尼矩阵仍需通过刚度系数法中的步骤求解。Fxkxcxm.Fxkxcxm. IkFxxcxm.三.隔离法建立多自由度链式系统（1）隔离法简介隔离法是指对物理问题中的单个物理或单个过程进行分析、研究的方法。在力学中，就是把要分析的物体从相关的物体体系中隔离出来，作为研究对象，只分析研究对象以外的物体对该对象的作用力，不考虑研究对象对其他物体的作用力。在使用隔离法时，容易看清单个物体的受力情况或单个过程的运动情况。在分析系统内各物体间的相互作用时用隔离法可以使问题变得简单。以双自由度弹簧-质量系统为例，如右图所示。质体m1和m2用弹簧k1联系，而他们的基础由弹簧k2与地面联系。假定