第三章 晶体学基础

1、第第3 3章章 晶体对称性与空间群晶体对称性与空间群主要内容主要内容 典型非金属晶体结构典型非金属晶体结构（单质、化合物）（单质、化合物）晶体的基本概念与性质晶体的基本概念与性质结晶学基础结晶学基础结晶化学基本原理结晶化学基本原理1 12 23 34 4硅酸盐晶体结构硅酸盐晶体结构5 5重重点点难难点点什么是晶体？什么是晶体？如何描述晶体？如何描述晶体？晶体的组成结晶体的组成结构性质之间有构性质之间有何关系及其制约何关系及其制约规律？规律？物质的聚集状态物质的聚集状态气态气态固态固态液态液态等离子体等离子体非晶体非晶体晶体晶体单晶单晶多晶多晶原子、分子原子、分子基本粒子基本粒子无色水晶无色水晶

2、第一个问题：什么是晶体？第一个问题：什么是晶体？黄黄 铁铁 矿矿石石 盐盐萤萤 石石钻石原石钻石原石石石 墨墨 1 1、什么是晶体？、什么是晶体？n 具有规则的几何多面体形态的水晶称为晶体。具有规则的几何多面体形态的水晶称为晶体。n 凡是具有（非人工琢磨而成）几何多面体形态的固体都称凡是具有（非人工琢磨而成）几何多面体形态的固体都称之为晶体。之为晶体。一、晶体的基本概念与性质一、晶体的基本概念与性质 2 2、为什么晶体具有规则的几何外形？、为什么晶体具有规则的几何外形？正确正确？内部质点（原子、内部质点（原子、离子或分子）都是离子或分子）都是在三维空间有规律在三维空间有规律排列排列. .石石

3、盐盐 晶晶 体体 结结 构构 3 3、所有具有规则几何外形的固体的内部质点（原子、离子或分、所有具有规则几何外形的固体的内部质点（原子、离子或分子）都是在三维空间有规律排列？子）都是在三维空间有规律排列？钻钻石石原原石石水水晶晶玻玻璃璃 4 4、晶体的正确定义、晶体的正确定义l定义：定义：A:A:晶体是晶体是离子、原子或分子离子、原子或分子有规律地排列所构成的一种物质，有规律地排列所构成的一种物质，其质点在空间的分布具有其质点在空间的分布具有周期性和对称性周期性和对称性。B:B:晶体是晶体是内部质点内部质点在三维空间在三维空间呈周期性重复排列呈周期性重复排列的固体。的固体。C:C:晶体就是晶体

4、就是具有格子构造具有格子构造的固体。的固体。l晶体：晶体：周期性有序排列周期性有序排列（金属、大部分无机非金属）（金属、大部分无机非金属）l非晶体：非晶体：进程有序、远程无序进程有序、远程无序（玻璃、树脂、塑料）（玻璃、树脂、塑料）晶体的几何多面体形态，是其格子构造在外形上的直接反映！晶体的几何多面体形态，是其格子构造在外形上的直接反映！金金 刚石刚石 5 5、单晶与多晶、单晶与多晶晶体晶体晶体晶体同样是晶体材料同样是晶体材料l单晶：在整块材料中，原子都单晶：在整块材料中，原子都是规则地、周期性的重复排列是规则地、周期性的重复排列的，一种结构贯穿整体。的，一种结构贯穿整体。l特点：特点：规则的

5、几何外形规则的几何外形 各向异性各向异性l多晶：由大量的微小单晶体多晶：由大量的微小单晶体（称为晶粒）随机堆砌成的整（称为晶粒）随机堆砌成的整块材料。块材料。l特点：不具有规则的几何外形特点：不具有规则的几何外形 各向同性各向同性v1 1、最小内能、稳定性：、最小内能、稳定性：n非晶体不稳定，有自发地向晶体转化的趋向。非晶体不稳定，有自发地向晶体转化的趋向。n晶体和非晶体在一定条件下是可以相互转化的。晶体和非晶体在一定条件下是可以相互转化的。v2 2、各向异性：、各向异性： 同一晶体的格子构造中，在不同方向上质点的排列一般不同，晶同一晶体的格子构造中，在不同方向上质点的排列一般不同，晶体的性质

6、也就随着方向的不同而有所差异。体的性质也就随着方向的不同而有所差异。v3 3、具有固定熔点、具有固定熔点 6 6、晶体的基本性质、晶体的基本性质44.567蓝晶石晶体的硬度蓝晶石晶体的硬度v 4 4、均一性：、均一性：在同一晶体的各个不同部分，在同一晶体的各个不同部分，质点的分布一样，故晶体的各部分的物理质点的分布一样，故晶体的各部分的物理化学性质相同。化学性质相同。v5 5、自限性：、自限性：是指晶体在适当条件下可以是指晶体在适当条件下可以自发地形成几何多面体的性质。自发地形成几何多面体的性质。( (图图) )v6 6、对称性对称性：是指某种相同的性质在不同是指某种相同的性质在不同的方向或位

7、置上作有规律地重复（的方向或位置上作有规律地重复（图图）。）。v对称性：经过某种对称操作之后物体自身重合的性质。对称性：经过某种对称操作之后物体自身重合的性质。v对称操作：能使物体复原的动作。对称操作：能使物体复原的动作。 v对称要素：对称操作所凭借的几何元素。对称要素：对称操作所凭借的几何元素。Cl-Na+反映反映旋转旋转反演反演反映面反映面旋转轴旋转轴反演中心反演中心晶体的微观结构晶体的微观结构材料的结构材料的结构第二个问题：如何描述晶体的微观结构？第二个问题：如何描述晶体的微观结构？v 晶体的宏观结构是其微观结构的外在表现晶体的宏观结构是其微观结构的外在表现v 研究晶体微观结构的第一步是

8、掌握微观结构的表示方法研究晶体微观结构的第一步是掌握微观结构的表示方法v 晶体的内部结构可以看成是由全同的基本结构单元晶体的内部结构可以看成是由全同的基本结构单元-基元，基元，在空间按一定的方式做周期性无限排列而构成的。在空间按一定的方式做周期性无限排列而构成的。二、结晶学基础二、结晶学基础1 1、 基本概念基本概念晶体晶体基元基元空间点阵空间点阵（1 1）空间点阵、空间格子空间点阵、空间格子空间点阵（晶体点阵）空间点阵（晶体点阵）: :把把晶体中的质点抽象出来，晶体中的质点抽象出来，用直线把质点的中心连接用直线把质点的中心连接起来，形成一个空间网络起来，形成一个空间网络. .阵点（结点）：阵

9、点（结点）：空间点阵空间点阵中的几何点（中的几何点（。结构基元：结构基元：组成晶体的离组成晶体的离子、原子或分子。基元内子、原子或分子。基元内的原子数等于晶体中原子的原子数等于晶体中原子的种类数。的种类数。晶体结构晶体结构= =空间点阵空间点阵+ +结构基元结构基元实际晶体实际晶体质点体积忽略质点体积忽略空间点阵空间点阵阵点连线阵点连线晶格（空间格子）晶格（空间格子）v 各阵点的周围各阵点的周围环境完全相同，环境完全相同，周围阵点排布周围阵点排布及取向完全相及取向完全相同。同。A位置位置B位置位置v 空间格子有下列几种要素存在空间格子有下列几种要素存在： 面网面网 平行六面体平行六面体v 晶面

10、：晶面：可将晶体点阵在任意方向上分解可将晶体点阵在任意方向上分解为相互平行的节点平面。为相互平行的节点平面。v 晶面族：晶面族：对称性高的晶体中，不平行的对称性高的晶体中，不平行的两组以上的晶面，它们的原子排列状况两组以上的晶面，它们的原子排列状况是相同的，这些晶面构成一个晶面族。是相同的，这些晶面构成一个晶面族。v 晶向：晶向：也可将晶体点阵在任意方向上分也可将晶体点阵在任意方向上分解为相互平行的节点直线组，质点等距解为相互平行的节点直线组，质点等距离的分布在直线上。离的分布在直线上。v 晶向族：晶向族：晶体中原子排列周期相同的所晶体中原子排列周期相同的所有晶向为一个晶向族。有晶向为一个晶向

11、族。晶胞：是指晶体结构中的晶胞：是指晶体结构中的平行六面体单位平行六面体单位，其形状大小与对应的，其形状大小与对应的 空间格子中的平行六面体一致。空间格子中的平行六面体一致。晶胞：晶胞：是描述是描述晶体结构晶体结构的基本组成单位的基本组成单位。晶胞：晶胞：能够反映整个能够反映整个晶体结构特征晶体结构特征的最小结构单元。的最小结构单元。空间格子空间格子+ +基元基元周期性、对称周期性、对称性性（2）晶胞）晶胞Cl-Na+v 晶胞的选取原则：晶胞的选取原则：1 1）充分表示出晶体的对称性）充分表示出晶体的对称性2 2）三条棱边尽量相等）三条棱边尽量相等3 3）夹角尽量为直角）夹角尽量为直角4 4）

12、单元体积尽可能小）单元体积尽可能小原子可在原子可在顶角、线顶角、线、面、内、面、内部。部。晶胞的选取不是唯一的！晶胞的选取不是唯一的！v 晶胞参数：晶胞参数：v 平行六面体的三根棱长平行六面体的三根棱长a a、b b、c c及其夹角及其夹角、是表示它本是表示它本身的形状、大小的一组参数，称为点阵参数（晶胞参数）身的形状、大小的一组参数，称为点阵参数（晶胞参数） v 依照晶胞参数之间的关系，所有晶体的空间点阵可以划分为依照晶胞参数之间的关系，所有晶体的空间点阵可以划分为7 7个晶系个晶系：晶晶 系系格子常数特点格子常数特点立方晶系立方晶系 a=b=c =90a=b=c =90四方晶系四方晶系 a

13、=a=bcbc =90 =90六方晶系六方晶系 a=a=bcbc =90 =90=120=120三方晶系三方晶系 a=b=c =90a=b=c =90斜方斜方( (正交）晶系正交）晶系 abcabc =90 =90单斜晶系单斜晶系 abcabc =90 =90 9090三斜晶系三斜晶系 abcabc 90 90根据平行六面体中结点的分布情况，又可以分为四种格根据平行六面体中结点的分布情况，又可以分为四种格子类型：子类型：简单格子（简单格子（P P）、）、底心格子（底心格子（C C）、）、体心格子（体心格子（I I）和面心格子（和面心格子（F F）。 简单格子简单格子底心格子底心格子体心格子体心

14、格子面心格子面心格子v 十四种空间格子（布拉菲格子）十四种空间格子（布拉菲格子）综合考虑单位平行六面体的划分和附加结点的类型，七个晶系空间格综合考虑单位平行六面体的划分和附加结点的类型，七个晶系空间格子的基本类型共有十四种。子的基本类型共有十四种。v 三斜晶系：三斜简单格子；三斜晶系：三斜简单格子； 单斜晶系：单斜简单格子，单斜底心格子；单斜晶系：单斜简单格子，单斜底心格子； 斜方晶系：斜方简单格子，斜方底心格子，斜方晶系：斜方简单格子，斜方底心格子， ( (正交）正交） 斜方体心格子，斜方面心格子；斜方体心格子，斜方面心格子； 四方晶系：四方简单格子，四方体心格子；四方晶系：四方简单格子，四

15、方体心格子； 三方晶系：三方简单格子三方晶系：三方简单格子( (三方菱面体格子三方菱面体格子) )； 六方晶系：六方简单格子；六方晶系：六方简单格子； 立方晶系：立方简单格子，立方体心格子，立方晶系：立方简单格子，立方体心格子， 立方面心格子。立方面心格子。简单简单P 立方立方I 立方立方F 立方晶系：立方晶系：a = b=c =90四方四方I 四方四方P 四方晶系：四方晶系： a = bc =90正交正交P 正交正交F 正交正交C 正交正交I 正交晶系：正交晶系：ab c =90 单斜单斜P 单斜单斜C 单斜晶系：单斜晶系：ab c =90 90六方六方H三方三方R 三斜三斜P 六方晶系：六

16、方晶系： a = bc =90a = bc =90=120=120三方晶系：三方晶系： a = b=c =90a = b=c =90三斜晶系：三斜晶系：abcabc 90 90v 举例举例区别几何要素与实际晶体结构区别几何要素与实际晶体结构v 阵点阵点 行列行列 网面网面 平行六面体平行六面体 空间点阵（格子）空间点阵（格子）v 基元基元 晶向晶向 晶面晶面 晶胞晶胞 晶格晶格v （1 1）晶向指数）晶向指数 v 表示晶向（晶棱）在空间位置的符号。表示晶向（晶棱）在空间位置的符号。晶向符号只规定晶向而不涉及它具体的位置，晶向符号只规定晶向而不涉及它具体的位置，因而任何晶向（棱）都可平移到坐标因

17、而任何晶向（棱）都可平移到坐标0 0点，点，故确定的步骤为：故确定的步骤为： 选定晶轴选定晶轴X X、Y Y、Z Z和和a a、b b、c c为轴单位；为轴单位； 平移晶向（棱）直线过原点；平移晶向（棱）直线过原点； 在该直线上任取一结点在该直线上任取一结点M M，将其投影至，将其投影至X X、Y Y、Z Z轴得截距轴得截距OXOX、OYOY、OZOZ； 作作OX/aOX/a：OY/bOY/b：OZ/c =OZ/c = u u：v v：w w（最小最小整数比整数比）；）； 去掉比号，加中括号，去掉比号，加中括号，即为晶即为晶向符号。向符号。2 2、 结晶学指数结晶学指数 在确定晶向指数时，坐标

18、原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标 P P( (x x1 1，y y1 1，z z1 1) )和和 Q Q( (x x2 2，y y2 2，z z2 2) )，PQPQ二点连线的晶向指数：二点连线的晶向指数： x x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1,z,z2 2-z-z1 1 ，化成最小的简单整数，化成最小的简单整数 。v 立方晶系中的立方晶系中的110110、100100、111111晶向族晶向族v （2 2）晶面指数）晶面指

19、数: :表示晶面在空间位置的符号。晶面符号有几种，最常采用米氏符号，又表示晶面在空间位置的符号。晶面符号有几种，最常采用米氏符号，又称称米勒指数米勒指数。确定步骤：确定步骤： 按晶体定向原则进行晶体定向；按晶体定向原则进行晶体定向； 求待标晶面在求待标晶面在X X、Y Y、Z Z轴上的截距轴上的截距p pa a、q qb b、r rc c，得截距，得截距 系数系数p p、q q、r r ； 取截距系数的倒数比取截距系数的倒数比1/p1/p：1/q1/q：1/r = h1/r = h：k k：l l（为最小整为最小整 数比数比），如果晶面与晶轴的负端相交，则在其相应的指数上加），如果晶面与晶轴的

20、负端相交，则在其相应的指数上加“”； 去掉比号、以小括号括起来，写为去掉比号、以小括号括起来，写为。 如何表征不同晶向呢如何表征不同晶向呢？晶面晶面间距间距v 举例举例：如图晶面如图晶面HKLHKL，在，在X X、Y Y、Z Z轴上的截距分别为轴上的截距分别为2a2a、3b3b、6c 6c ，截距系数截距系数为为2 2、3 3、6 6 ，其倒数比其倒数比1/21/2：1/31/3：1/6 1/6 ，化整得化整得3 3：2 2：1 1 ，去掉比号，去掉比号并以小括号括起来，并以小括号括起来，( (321321) )即为所求米勒指数即为所求米勒指数 晶面符号图解晶面符号图解(100) (110)

21、(111) 在点阵中的取向在点阵中的取向v 立方晶系中的立方晶系中的100100、111111晶族晶族晶面族指数：用晶面族中晶面族指数：用晶面族中某个最简便的晶面指数填某个最简便的晶面指数填在大括号在大括号 内作为该晶面内作为该晶面族的指数。族的指数。晶面间距晶面间距一般是晶面指数数值越小，其面间距较大，并且其阵点密度较大一般是晶面指数数值越小，其面间距较大，并且其阵点密度较大ba(110)(100)(210)(130)(4-10)v 晶面间距的计算晶面间距的计算一组平行晶面的晶面间距一组平行晶面的晶面间距d dhklhkl与晶面指数和晶格常数与晶面指数和晶格常数a a、b b、c c有下列关

22、系：有下列关系：（仅适用于简单晶胞，对于复杂晶胞，要考虑附加原子面的影响（仅适用于简单晶胞，对于复杂晶胞，要考虑附加原子面的影响）关于晶面指数和晶向指数的确定还有以下几点说明：关于晶面指数和晶向指数的确定还有以下几点说明：(1) (1) 右手坐标系右手坐标系(2) (2) 晶面指数和晶向指数可为正数，亦可为负数，但负号应写在数字晶面指数和晶向指数可为正数，亦可为负数，但负号应写在数字上方。上方。(3) (3) 若各指数同乘以不等于零的数若各指数同乘以不等于零的数n n，则新晶面的位向与旧晶面的一，则新晶面的位向与旧晶面的一样，新晶样，新晶 向与旧晶向或是同向向与旧晶向或是同向( (当当n n

23、0) 0)，或是反向，或是反向( (当当n n 0 ) 0 )。但是，晶面距（两个相邻平行晶面间的距离）和晶向长度（两个但是，晶面距（两个相邻平行晶面间的距离）和晶向长度（两个相邻结点间的距离）一般都会改变，除非相邻结点间的距离）一般都会改变，除非 n n = 1 = 1。 (4) (4) 在立方结构中若晶面指数和晶向指数的指数和符号相同，则该晶在立方结构中若晶面指数和晶向指数的指数和符号相同，则该晶向与晶面必定是互相垂直。如：向与晶面必定是互相垂直。如：111 111 （111111）、）、 110 110 （110110）、）、100 100 （100100）。）。（3 3） 四指数表示四

24、指数表示 对六方晶系，为体现出对六方晶系，为体现出六方对称及等同晶面的特六方对称及等同晶面的特征，往往采用四轴定向方征，往往采用四轴定向方法，称为密勒法，称为密勒- -布拉菲指布拉菲指数。数。 h+kh+k=-i=-i第三个问题：晶体的性质由什么决定第三个问题：晶体的性质由什么决定？晶体结构晶体结构 = = 结构基元结构基元 + + 空间点阵空间点阵结晶化学结晶化学晶体结构学晶体结构学决定决定化学组成化学组成结构结构晶体性质晶体性质化学组成也会影响晶体结构！化学组成也会影响晶体结构！3 3、常见晶体结构及其几何特征、常见晶体结构及其几何特征纯元素晶体纯元素晶体 一个原子周围最近邻原子数 非纯元

25、素晶体非纯元素晶体 一个原子周围的与之接触的原子个数或离子个数之和 面 1/2棱 1/4顶点 1/8立方密堆积中（面心立方格子）立方密堆积中（面心立方格子）每一个球的周围都有每一个球的周围都有6 6个八面体空隙和个八面体空隙和8 8个四面体空隙。个四面体空隙。=晶胞中各原子的体积之和晶胞的体积空隙率空隙率 = 1- v 例题：求面心立方密堆的堆积系数（例题：求面心立方密堆的堆积系数（PCPC、空间利用率、空间利用率) )及孔隙率。及孔隙率。（1 1）立方体晶胞体积：）立方体晶胞体积：a a3 3（2 2）球半径为）球半径为r = r = ，则球的体积为，则球的体积为4/3r4/3r3 3， 1

26、 1个面心立方晶胞中原子数为个面心立方晶胞中原子数为4 4， 则则1 1个晶胞中球占的总体积个晶胞中球占的总体积4 44/3r4/3r3 3（3 3）空间利用率）空间利用率= =球所占体积球所占体积/ /空间体积空间体积=74.1%=74.1%， 空隙率空隙率=1-74.1%=25.9%=1-74.1%=25.9%。4/2a八面体空隙八面体空隙 四面体空隙四面体空隙体心立方体心立方 面心立方面心立方 晶体结构晶体结构 六方六方 0.291 0.155 0.225 0.414 0.225 0.414 不同间隙的原因？不同间隙的原因？n紧密堆积中球数和两种空隙间的关系：紧密堆积中球数和两种空隙间的

27、关系：八面体空隙八面体空隙由6个球组成四面体空隙四面体空隙由4个球组成晶格常数晶格常数a与原子与原子/离子半径离子半径R的关系的关系以面心立方例：以面心立方例：833. 028/33/243/4/22RRR833. 028/33/243/4/22RRR则有：则有：4R= a R= a/4Ra请根据此图计算体请根据此图计算体心立方和六方密堆心立方和六方密堆中中R和和a的关系的关系v 常见晶体结构的一些参数常见晶体结构的一些参数学习相关参学习相关参数的计算数的计算晶体结构晶体结构 晶胞内原晶胞内原子个数子个数晶胞参数：晶胞参数：半径半径原子配位数原子配位数堆积密度堆积密度举例举例4 4、晶体的堆垛

28、方式、晶体的堆垛方式晶晶体体晶体结构基本概念晶体类型及其性质堆积类型面心立方最密堆积六方最密堆积体心立方密堆积简单立方堆积最密堆积非最密堆积v 球体紧密堆积原理：球体紧密堆积原理：v 原子和离子都占有一定的空间，在某种程度上近似可将其视为具有原子和离子都占有一定的空间，在某种程度上近似可将其视为具有一定大小的球体。一定大小的球体。 原子或离子之间的相互结合，从几何的角度，在形式上可视为原子或离子之间的相互结合，从几何的角度，在形式上可视为球体间的堆积。球体间的堆积。 晶体具有晶体具有最小的内能性最小的内能性，原子和离子相互结合时，相互间的引，原子和离子相互结合时，相互间的引力和斥力处于平衡状态

29、，这就相当于球体间作紧密堆积。力和斥力处于平衡状态，这就相当于球体间作紧密堆积。v 球体最紧密堆积的基本类型：球体最紧密堆积的基本类型： 单一质点的单一质点的等大球体最紧密堆积等大球体最紧密堆积，如，如纯金属晶体纯金属晶体。 几种质点的几种质点的不等大球体的紧密堆积不等大球体的紧密堆积，如，如离子晶体离子晶体。（1）等大球体的最紧密堆积及其空隙）等大球体的最紧密堆积及其空隙从等径圆球密堆积图中可以看出：从等径圆球密堆积图中可以看出：1. 1.只有只有1 1种堆积形式种堆积形式; ;2.2.每个球和周围每个球和周围6 6个球相邻接个球相邻接, ,配位配位数位数位6,6,形成形成6 6个三角形空隙

30、个三角形空隙; ;3.3.每个空隙由每个空隙由3 3个球围成个球围成; ;4.4.由由NN个球堆积成的层中有个球堆积成的层中有2N2N个空个空隙隙, , 即即 球数：空隙数球数：空隙数=1=1：2 2。 第一层球的排列：第一层球的排列：尖角向上尖角向上尖角向下尖角向下 AcB 第二层球堆积于第一第二层球堆积于第一层之上时，第二层的每个层之上时，第二层的每个球与第一层的三个球相邻球与第一层的三个球相邻接触，且落在同一种三角接触，且落在同一种三角形空隙的位置上。形空隙的位置上。 两层间，出现了两种两层间，出现了两种不同的空隙：一是由六个不同的空隙：一是由六个球围成的八面体形状的空球围成的八面体形状

31、的空隙，称为隙，称为八面体空隙八面体空隙 。另。另一种是由四个球围成的四一种是由四个球围成的四面体形状的空隙，称为面体形状的空隙，称为四四面体空隙面体空隙。 第二层球的排列：第二层球的排列：第一层球第一层球第二层球第二层球CAB八面体空隙八面体空隙四面体四面体空隙空隙n紧密堆积中球数和两种空隙间的关系：紧密堆积中球数和两种空隙间的关系：八面体空隙八面体空隙由由6个球组成个球组成四面体空隙四面体空隙由由4个球组成个球组成六方最密堆积分解图六方最密堆积分解图正四面体空隙（被四个球包围）正四面体空隙（被四个球包围）面心立方最密堆积分解图面心立方最密堆积分解图正八面体空隙（被六个球包围）正八面体空隙（

32、被六个球包围） 因球体在空间的分布与立方面心格子相一致，故称之为因球体在空间的分布与立方面心格子相一致，故称之为，最紧密排列层最紧密排列层（111111）。面心立方堆积中的八面体和四面体空隙面心立方堆积中的八面体和四面体空隙在立方最密堆积中，每个晶胞中在立方最密堆积中，每个晶胞中有属于它的有属于它的4个八面体空隙和个八面体空隙和8个个四面体空隙四面体空隙棱数若有若有n n个球最紧密堆积，则四面体空隙总数为个球最紧密堆积，则四面体空隙总数为8 8n n4 4 2n2n个；而八个；而八面体空隙总数为面体空隙总数为6 6n n6 6 n n个。个。球的数目球的数目: :八面体数目八面体数目: :四面

33、体数目四面体数目1:1:21:1:2一个球周围一个球周围只有几个个只有几个个八面体空隙八面体空隙和几个四面和几个四面体空隙是属体空隙是属于它的？于它的？八面体空隙：八面体空隙：61/61个个四面体空隙：四面体空隙：81/42个个每个球周围每个球周围有几个八面有几个八面体空隙和四体空隙和四面体空隙？面体空隙？在最紧密堆积方式中，每一个球的周围都有在最紧密堆积方式中，每一个球的周围都有6 6个八面体空隙和个八面体空隙和8 8个四面体空隙。个四面体空隙。密堆积中的八面体和四面体空隙个数密堆积中的八面体和四面体空隙个数v 以上两种最密堆积方式，每个球的以上两种最密堆积方式，每个球的配位数配位数为为12

34、。v 有相同的有相同的堆积密度堆积密度和空间利用率和空间利用率(或或堆积系数堆积系数)，即球体积，即球体积与整个堆积体积之比。均为与整个堆积体积之比。均为74.05%。v 空隙空隙数目数目和大小也相同，和大小也相同，N个球（半径个球（半径R）；）；2N个四面体个四面体空隙，可容纳半径为空隙，可容纳半径为0.225R的小球；的小球；N个八面体空隙，可个八面体空隙，可容纳半径为容纳半径为0.414R的小球。的小球。当大小不等的球体进行堆积时，可看成当大小不等的球体进行堆积时，可看成较大的球按最紧密堆积方式较大的球按最紧密堆积方式堆积，而较小的球则按自身大小堆积，而较小的球则按自身大小充填充填在八面

35、体空隙或四面体空隙中。在八面体空隙或四面体空隙中。在离子晶体结构中相当于半径较大的阴离子作最紧密堆积，半径较在离子晶体结构中相当于半径较大的阴离子作最紧密堆积，半径较小的阳离子则充填于空隙中。小的阳离子则充填于空隙中。（2）不等大球体的最紧密堆积）不等大球体的最紧密堆积晶体投影晶体投影立方晶系的标准极图立方晶系的标准极图倒易点阵倒易点阵 （教学难点）（教学难点）引入倒易点阵概念引入倒易点阵概念 天下本无事，庸人自扰之？天下本无事，庸人自扰之？ 非常有用非常有用 1 1、考试要考；考研更要考、考试要考；考研更要考2 2、能简化、能简化（1 1）晶面与晶面指数表达；）晶面与晶面指数表达；（2 2）

36、衍射原理的表达；）衍射原理的表达；（3 3）与实验测量结果直接关联，尤其是）与实验测量结果直接关联，尤其是电子衍射部分。电子衍射部分。 倒易点阵倒易点阵是在晶体点阵的基础上按一定对应关系建是在晶体点阵的基础上按一定对应关系建立起来的空间几何图形，是晶体点阵的另一种表达立起来的空间几何图形，是晶体点阵的另一种表达形式。为了区别有时把晶体点阵空间称为形式。为了区别有时把晶体点阵空间称为正空间正空间。倒易空间中的结点称为倒易空间中的结点称为倒易点倒易点。倒易点阵的概念、表达形式倒易点阵的概念、表达形式 1、倒易点阵的定义、倒易点阵的定义 （倒易点阵与正点阵的转换关系）（倒易点阵与正点阵的转换关系）倒

37、易点阵参数： a* 、b*、 c*； *、*、* 其中，其中，a 、b、 c；、为正点阵参数为正点阵参数sinsincoscoscoscossinsincoscoscoscossinsincoscoscoscos*0*bcaccbabcaba1*ccbbaa定义：定义：sincosbabababa矢量表示矢量表示因此，倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵中异名矢量构成的平面。因此，倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵中异名矢量构成的平面。a a* *垂直于垂直于b b与与c c两个矢量构成的平面。同样两个矢量构成的平面。同样b b* *（或（或c c* *）垂直于）垂直于a a与与c c（a a与与b b

38、）两个矢量构成的）两个矢量构成的平面。平面。ccbbaa111，如果如果 *= *= *=90o，或者，a*垂直（100）晶面； b*垂直（010）晶面； c*垂直（001）晶面。1*ccbbaa0*bcaccbabcaba（1）（2）倒易点阵参数的方向与大小倒易点阵参数的方向与大小 倒易点阵是晶体结构周期性在傅立倒易点阵是晶体结构周期性在傅立叶空间中的数学抽象。如果把叶空间中的数学抽象。如果把晶体点阵晶体点阵本身理解为周期函数，则本身理解为周期函数，则倒易点阵就是倒易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换，反之晶体点阵晶体点阵的傅立叶变换，反之晶体点阵就是倒易点阵的傅立叶逆变换。就是倒易点阵的傅立叶逆

39、变换。 所以，倒易点阵只是晶体点阵在不所以，倒易点阵只是晶体点阵在不同空间同空间( (波矢波矢空间空间) )的反映。的反映。2 2、倒易点阵的本质、倒易点阵的本质1 1、定义：、定义： 从倒易点阵原点向任一倒易阵点所连接的矢量叫从倒易点阵原点向任一倒易阵点所连接的矢量叫倒易矢量，表示为：，表示为： r r* * = ha = ha* * + kb + kb* * + + lclc* * 倒易阵点用它所代表的晶面指数标定。倒易阵点用它所代表的晶面指数标定。倒易点阵倒易点阵正点阵正点阵立方正空间点阵的倒易变换立方正空间点阵的倒易变换(210)(100)(110)(010)cba(220)20010

40、0000210110010220120020C*b*a*H2202、倒易矢量的两个基本性质、倒易矢量的两个基本性质)(*hklrhklhklhkldr1*（1） 倒易矢量的方向方向垂直于正点阵中的（hkl）晶面。（2 2）倒易矢量的长度倒易矢量的长度等于（hkl）晶面的晶面间距dhkl的倒数。如果正点阵与倒易点阵具有同一坐标原点，则正点阵中的一个晶面在倒易如果正点阵与倒易点阵具有同一坐标原点，则正点阵中的一个晶面在倒易点阵中就变成了一个阵点（倒易点）。正点阵中晶面取向和面间距只须倒点阵中就变成了一个阵点（倒易点）。正点阵中晶面取向和面间距只须倒易矢量一个参量就能表示。易矢量一个参量就能表示。OABCabchklrBA)(*hklrhklhklrCBhklrCA同理可证：同理可证：证明证明1：倒易矢量的方向方向垂直于正点阵中的（hkl）晶面。011*