第三章集中量数和差异量数

1、第三章第三章 集中量数集中量数 和差异量数和差异量数 1、对某校学生的思想品德用五级记分法记分， 其人数统计可以用（ ）表示： a、直条图 b、直方图 c、多边图 d、线形图 2、从总体中抽取出作为观察对象的一部分个 体，称为： （ ） a、样本 b、总体 c、有限总体 d、无限总体 3、在制作有纵横轴的统计图时，一般来说， 纵轴与横轴比为： （ ） a、1：1 b、3：5 c、5：3 d、6：3 一、集中量的一般意义：一、集中量的一般意义： 定义：集中量就是表示一组数据典型水平或集 中趋势的量。它反映频数分布中大量数据向某 一个量集中的情况。常用的集中量有算术平均 数、几何平均数、调和平均数

2、、加权平均数、 中位数、众数等。 二、集中量的优良代表量之一二、集中量的优良代表量之一-算术平均算术平均 数（数（Arithmetic MeanArithmetic Mean） （一）、算术平均数的概念 概念： 是一组同质数据值的总和除以数据总个数所得的 商。亦称均数，均值，用 （读X杠）表示。 X n X n XXX X ： i n 21 计算公式为 n为数据个数。 （3.1） （二）计算方法： 1、原始数据计算法： 定义公式一般适用于原始数据较少 的情况下，其计算方法可用于原始数据 计算公式中。 例如例如， 某班选八名同学参加年级数学竞赛，成绩分别为82， 90，95，88，90，94，8

3、0，93。求其平均成绩。 解：把N=8，X1=82,X8=93代入公式（3.1）， 得 89 8 9380949088959082 N X X 2、频数分布表计算法：对于已列成次数分布 表的分组数据，其算术平均数的计算公式为 N fXc X 式中Xc为组中值；f为各组次数，即权数；N 为总次数=f。 例 某班50人外语期末考试成绩的次数 分布如下，求全班学生的平均成绩。 表 某班50人外语成绩次数分布表 解：将表中数据代入公式，得 3 .78 50 3915 N fXc X 说明：利用次数分布求得的算术平均数是 一个近似值。因为我们先假设组内的数据是均 匀分布的，利用各组中值分别代表各组数据，

4、 这显然与实际不符，把这一误差叫分组误差。 （四）加权算术平均数的计算方法（四）加权算术平均数的计算方法 它是指一组数据中每个数据与其权数乘积的总和 除以权数总和所得之商，用符号 表示。 w X 。niW ；ni：X W WX WWW WXWXWX X ： i i i ii n nn W 为各数据相应的权数 为各数据的值式中 计算公式如下 ), 2 , 1( ), 2 , 1( 21 2211 （3.2） 例 某年级四个班的学生人数分别为50人，52 人，48人，51人，期末数学考试各班的平均成绩 分别为90分，85分，88分，92分，求年级的平均 成绩。 解：由公式（3.2）得 514852

5、50 51*9248*8852*8550*90 W XW Xw =88.74 三、中位数 （一）、中位数的概念及适用条件 概念： 中位数是位于一组有序数据中间位置的量 数。也称中数，用Mdn表示。它是将一组有序数 据的个数分为相等两部分的那个数据。 适用条件： 1、当一组数据有极端值出现时。 2、当一组有序数据两端有个别数据模糊不清 或分组资料有不确定组限时。 3、当需要快速估计一组数据的代表值时。 n（二）、中位数的计算方法（二）、中位数的计算方法 n1、未分组数据中位数的计算方法、未分组数据中位数的计算方法 n 一组数据未分组，先排序，中位数 取决于数据的个数是奇数还是偶数。 当数据的个数

6、为奇数时，则以第（N+1）/2个 位置上的数据作为中位数。 当数据的个数为偶数时，则取居中间的两个 数据的平均数为中位数。即取第（N+1）/2处作为 中位数的位置，其位置左右两数据的平均值即为 中位数。 例如求80，93，90，81，85，88，92，84的 中位数时，先排序：80，81，84，85，88，90， 92，93，再求（N+1）/2=4.5，这说明中位数的位 置在第四个和第五个数的中间，即（85+88） /2=86.5。 （二）分组数据中位数的计算方法 对分组数据常将N/2位置对应的数据看 成中位数。 计算公式为： 。；f；in ；F：L i f F n LM bb b bdn 为

7、中位数所在组的次数为组距为总次数 累积次数为中位数所在组以下的确下限表示中位数所在组的精式中 2 。；f；in ；F：L i f F n LM bb b bdn 为中位数所在组的次数为组距为总次数 累积次数为中位数所在组以下的确下限表示中位数所在组的精式中 2 计算步骤： （1）求N/2； （2）确定中位数所在组，由下向上累积 次数，直到大于或等于N/2一组为止，该组 就是中位数所在组； （3）求出中位数所在组的精确下限； （4）求出中位数所在组以下的累积次数 Fb; （5）确定组距及中位数所在组的次数f; （6）将以上各值代入公式中。 表 某班50人外语成绩次数分布表 解：（解：（1 1）N

8、/2=50/2=25N/2=50/2=25； （2 2）由下向上累积次数，）由下向上累积次数，75-75- 7979组对应的累积次数为组对应的累积次数为2222，80-80- 8484组对应的累积次数为组对应的累积次数为3737，故，故 中位数在中位数在80-8480-84组；组； （3 3）Lb=79.5Lb=79.5； （4 4）Fb=2+4+3+5+8=22;Fb=2+4+3+5+8=22; （5 5）i=5,f=15i=5,f=15； 6 6）将上述值代入（）将上述值代入（3.43.4），得），得 Mdn=79.5+(25-22)/15Mdn=79.5+(25-22)/15* *5=8

9、0.55=80.5 求表的中位数。 四、 几何平均数 （一）、几何平均数的概念及应用时机 概念： 它是N个数值连乘积的N次方根，用符号MG 表示 个数据为 几何平均数 nXX XXXM n n ng 1 21 (3.5) 应用时机： 1、求一组等比或近似等比数据的平均数 时。 2、一组数据中，有少数偏大或偏小的数 据，数据分布呈现偏态，求平均数时。 3、在教育上，主要应用几何平均数求平 均发展速度或对某项目标进行预测估计。 （二）、几何平均数的计算方法 1、直接公式法 例 求2，8，32，125，502的几何平均数。 解：由于这组数属于近似等比数列，故应 用公式（3.5），得 个数据为 几何平

10、均数 nXX XXXM n n ng 1 21 =31.72 5 5021253282 例 已知某校四年中各年度的学生人数分别为上一年 的1.12倍，1.09倍，1.08倍和1.06倍，求每年的平均增长率。 解：先求出平均发展速度 09. 106. 108. 109. 112. 1 4 Mg 然后用公式：平均增长率=平均发展速度-1， 求出年平均增长率。 平均增长率=1.09-1=0.09 故所求的年平均增长率为9%。 2、只用首末项求几何平均数 设a0,a1,aN是N个年度中各年度某种数量值， 其中a0是初期量， aN是末期量。X1,X2,XN为 各年度发展速度，即 11 2 2 0 1 1

11、 ,., N N N a a X a a X a a X N N N NG a a XXXM 0 21 . （3.6） 例 某重点高中1994-1999年招收新生人数如下 表，求年平均增长率。 表3-2 某高中招生人数统计表 解：由于a0=594,aN=700,N=5, 所以年平均 发展速度为 03. 1 594 700 5 0 N N G a a M 故年平均增长率为（10.3-1)*100%=3% 例 某校办工厂在1984年创产值10万元，该厂 计划以年平均增长率为5%的速度递增，试估计到 2004年该厂可创产值多少万元。 解：由 得：aN=a0(1+平均增长率）N =10（1+0.05）

12、20=26.53（万元） 平均增长率平均增长率=平均发展速度平均发展速度-1 思考题 某一团体成员的年龄分布如下表所示。试问 表示它们集中趋势的恰当指标是什么？为 什么？并计算出你所选定的指标。 年龄分布表 25岁以下 25-34岁 35-44岁 45-54岁 55-64岁 64岁以上 f 45 40 30 55 28 15 一、 标准差 （一）、标准差的概念及适用条件 概念： 标准差是一组数据中每个数据与其算术 平均数之差的平方的算术平均数的算术平 方根。用符号表示。 n XX i 2 其中Xi为原始数据；N为数据个数； 为一组数据 的算术平均数。 X （3.1) 适用条件： 1、一组数据的

13、一般水平适合用算术平均 数描述时，其离散程度宜用标准差描述。 2、计算其它统计量时，如相关系数等， 要用到标准差。 3、在推断统计中，尤其是进行方差分析 时，常用方差（标准差的平方）表示数据 的离散程度。 （二）、标准差的计算方法 1、基本公式法 例1 某校四年级举行数学竞赛，一班、二班分别派九 名选手参加，如下表。试比较两个班的成绩。 X X 表表1 一班成绩统计表一班成绩统计表 X X 表表2 二班成绩统计表二班成绩统计表 解：先求四年一班的平均数和标准差。算得 73X 1786 2 XX 09.14 2 n XX i 再求四年一班的平均数和标准差。得 73X 5948 2 XX 71.2

14、5 2 n XX i 从以上计算可知，两班平均数都是73分，说 明两班的平均水平相同。但它们的标准差不同， 说明两班成绩的差异程度很不相同。一班的差异 程度较小，平均分数73的代表性就较大；二班的 差异程度较大，平均分数73的代表性就小些。 2、原始数据法 为了减少计算量，可将公式3.1进行转换， 使公式中参与运算的变量皆为原始数据。公式 为 。；NX ；X N X N X 表示次数为原始数据总和的平方 为原始数据的平方之和式中 2 2 2 2 例2 用原始数据法计算表1的标准差 09.14 9 657 9 49747 2 2 2 N X N X 解：X=657，X2=49747 N=9，代入

15、公式（4.2） 得 （3.2） （二）分组资料标准差的计算方法 这里的分组资料指编制成次数分布的资料，此 时以组中值作为各组的代表值。计算公式为 N XXcf 2 其中：Xc为各级组中值； 为算术平均数；N 为总次数；f为各组次数。 X （3.3） 2 2 N fXc N fXc 或或 例3 某年级144名学生语文成绩如下表，求其 标准差。 X X X 表表3-3 144名学生语文成绩表名学生语文成绩表 解：将算得的f(Xc- )2=3483.16、 及N=144代入公式（3.3），得 X8 .52X 92. 4 144 16.3483 2 N XXcf 二|、 四分差 （一）、四分差的概念及

16、适用条件 概念： 四分差又称四分位距，用符号Q来表示。四分 差是指在一个次数分布中，中间50%的次数的全 距之半，也就是第3四分位数Q3与第1四分位数Q1 之差的一半。所谓第3四分位数是指在这一点的下 端有占总次数75%的数据，在其上端有占总次数 25%的数据；所谓第1四分位数中指在这一点的下 端有占总次数25%的数据，在其上端有占总次数 75%的数据。如图4-1。 图3-1 四分差与四分位数Q1、Q2、Q3之间的关系 适用条件： 通常与中位数配合使用。即一组数据的集中趋 势宜用中位数描述时，差异情况要用四分差描述。 1、一组数据有极端值出现时。 2、一组数据的两端有个别数据模糊不清或分 组资

17、料有一确定组限时。 （二）、四分差的计算方法 公式为 2 13 QQ Q 式中：Q为四分差；Q1为第1四分位数；Q3 为第3四分位数。 （3.6） 1、未分组资料Q1和Q3的求法 首先将一组数据按大小顺序排列，然后用数据 个数N除以4，则第（N/4+1/2）位置对应的数据为 第1四分位数Q1，第（3N/4+1/2）位置对应的数据 为第3四分位数Q3。 例6 求下列18个数据的四分差：51，60， 58，63，74，88，66，70，71，75，81，86， 52，57，61，65，90，77。 解：按从小到大排序： 51，52，57，58，60，61，63，65，66， 70，71，74，75

18、，77，81，86，88，90。 由于N=18，所以Q1=18/4+1/2=5，即第5个位 置所对应的数据为60；Q3=18*3/4+1/2=14,即第14 个位置所对应的数据为77。 将Q1与Q3代入公式3.6,得 Q=（77-60）/2=8.5 2、分组资料Q1和3的求法 对于已编制成次数分布的资料,计算Q1和Q3 的公式分别为 。；N；i ；F，QQ f；f：L i f F N LQ i f F N LQ b QQb Q b b Q b b 为总次数为组距在组下限的次数之和 为小于该四分位数所所在组的次数别为 分实下限为该四分位数所在组的式中 21 3 1 31 3 1 , 4 3 4

19、(3.7) (3.8) 例7 某校144名学生的外语成绩次数如下，求 其四分差。 表表3-5 某校某校144名学生外语成绩次数分布表名学生外语成绩次数分布表 解：首先确定Q1和Q3所在组，方法同确定中位数。 由于N=144，N/4=36，3N/4=108，所以Q1在55-59组， Q3在70-74组。 9.56 5 25 2436 5.54 ,7.436 4 ,5,24,25,5.54 1 1 Q N iFfL bQb 得代入公式 将 4.71 5 18 101108 5.69 ,8.4108 4 3 ,5,101,18,5.69 3 1 Q N iFfL bQb 得代入公式 将 最后将求得的

20、Q1和Q3代入公式（3.6），得 27.7 2 13 QQ Q 即144名学生外语成绩的四分差为7.27分。 三、差异系数 （一）、差异系数的概念及应用时机 概念： 差异系数是一组数据的标准差与平均数的比 率，又称相对标准差，用符号CV表示。公式为 。X；：CV X CV 为平均数为标准差为差异系数式中 100 （3.9） CV属于相对差异量数，不具有测量单位。差 异系数越大，表时离散程度越大；差异系数越小， 表明离散程度越小。 应用时机： 1、比较单位不同的各组数据的离散程度时。 2、比较单位相同但平均数相差较大的各组数 据的离散程度时。 （二）、差异系数的计算方法 例8 某校初三学生身高的

21、平均数为160cm，标 准差为16cm；体重的平均数为50kg；标准差为 7.7kg，试比较身高和体重两组数据的离散程度。 解：由于身高和体重的测量单位不同，故不 能以身高的标准差与体重的标准差进行比较， 而应比较它们的差异系数，把数据代和公式(3.9) 得 4.15100 50 7.7 100 10100 160 16 100 X CV X CV 体重 身高 由于CV体重CV身高，所以体重的差异程度 大于身高的差异程度。 例9 某班数学期末考试结果，男生平均数 为95分，标准差为10分；女生平均数为80分， 标准差为11分。试比较男女生数学成绩的离散 程度。 解：虽然男女生数学成绩的单位相同

22、， 但由于其平均数相差较大，故用差异系数比 较其离散程度，代入公式得 75.13100 80 11 100 53.10100 95 10 100 X CV X CV 女 男 因CV女CV男，所以女生成绩的离散程度 大于男生成绩的离散程度。 通常，一组数据的平均数较大，其标准差也较 大；平均数较小，其标准差也较小。因此，比较单 位相同但平均数相差较大的两组数据的离散程度时， 若直接用标准差比较可能是不准确的。 第三节 相对地位量数 一、标准分数 （一）标准分数的概念 标准分数是原始数据与算术平均数之差除以 标准差所得之商，用符号Z表示，计算公式为 。；X ；X： XX Z 为原始数据 为标准差为

23、算术平均数式中 （4.10） 从公式可以看出，标准分数可以为正、负 或零值。它的含义是以平均数为标准，以标准 差为单位表示一个数据在团体中的相对位置。 标准分数为1，表明原始数据在平均数以上一个 标准差的位置；标准分数为-2，表明原始数据在 平均数以下2个标准差的位置。 （二）标准分数的性质 当一组数据的每个数值都转化为标准分数 后，则标准分数的平均数为零，标准差为1， 即。，Z z 10 所以有因为 所以 因为 现证明如下 ，Z N ZZ Z XX XX N XXXXXX NN Z Z ： z N 0 0 0 1 1 2 21 1 1 1 2 2 2 2 2 2 N XX N XX N XX

24、 N Z z （三）标准分数的应用 由于标准分数的平均数为0，标准差为1， 而且不带有测量单位，当一组数据服从正态分 布时，其标准分数服从标准正态分布。因此标 准分数具有可比性和可加性。在教育上，常用 它确定各分数在团体中的相对位置，比较单位 不同数据相对位置的高低或进行分数合成。 例10 某班外语期末考试的平均成绩为 75分，标准差为10。学生张华的成绩为80， 问他的成绩在班级处于什么位置？ 解:张华的80分不能确定人成绩的确切位置。 化成标准分数才可确定。 5.0 10 7580 ),10.4(10,80,75 XX Z XX得代入公式将 说明张华的外语成绩在班级平均数以上0.5 个标准

25、差位置。 例11 某市中考，数学的平均成绩为102分， 标准差为20，；语文的平均成绩为98分，标准差 为18分。一考生的数学成绩为140分，语文成绩为 135分。问该生中考哪科考得好？ 解：由于考试科目和难度等不同，语文的1分 与数学的1分并不相同，若比较两科成绩的高低， 须转化成标准分数。分别为 。 Z Z 绩好于数学说明该生语文的在考成 数学 语文 9 . 1 20 102140 06. 2 18 98135 例12 某班期末考试各科成绩服从正态分布， 各科成绩的平均数和标准差以及甲乙两生的各科 成绩如下表。试比较甲乙两考生总成绩的高底。 解：比较两考生总成绩高低的传统方法是直 接将原始分数相加，按每个考生的原始总分进行 比较。事实上，这种方法并不科学，因为各科成 绩的离散程度不同，不具有可加性。正确做法是 将原始成绩转化成标准分数，再求和比较。乙生 标准分数总和大于甲生