第六章近独立粒子及其最概然分布

1、上一页下一页目 录退 出热力学与统计物理学的研究方法热力学与统计物理学的研究方法微观粒子微观粒子观察和实验观察和实验出出 发发 点点热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热力学本质力学本质二者关系二者关系无法自我验证无法自我验证不深刻不深刻缺缺 点点揭露本质揭露本质普遍，可靠普遍，可靠优优 点点统计平均方法统计平均方法力学规律力学规律总结归纳总结归纳逻辑推理逻辑推理方方 法法微观量微观量宏观量宏观量物物 理理 量量热现象热现象热现象热现象研究对象研究对象微观理论微观理论（统计物理学）（统计物理学）宏观理论宏观理论（热力学）（热力学）上一页下一页目 录退 出热

2、力学与统计物理学的研究方法热力学与统计物理学的研究方法动力学规律动力学规律: 确定性的理论确定性的理论. 在一定的初始条件下在一定的初始条件下,某一时刻系统必然处于一定状态某一时刻系统必然处于一定状态.统计规律统计规律: 非确定性的理论非确定性的理论. 由于宏观系统中粒子数的巨大和粒子相互作用的随即性由于宏观系统中粒子数的巨大和粒子相互作用的随即性,无法跟踪单个无法跟踪单个粒子进行研究粒子进行研究,也使得系统整体具有了不能归结为单个粒子行为简单叠也使得系统整体具有了不能归结为单个粒子行为简单叠加的新性质和新规律加的新性质和新规律,即统计性质和统计规律即统计性质和统计规律.上一页下一页目 录退

3、出热力学与统计物理学的研究方法热力学与统计物理学的研究方法伽尔顿板实验上一页下一页目 录退 出第六章第六章 近独立粒子及其最概然分布近独立粒子及其最概然分布概概 论论一、统计物理的基本观点和方法一、统计物理的基本观点和方法1、基本观点：、基本观点：宏观物体是由大量微观粒子组成的。宏观物体是由大量微观粒子组成的。物质的宏观热物质的宏观热性质是由大量微观粒子运动的集体表现，宏观物理量是相应微观量的性质是由大量微观粒子运动的集体表现，宏观物理量是相应微观量的统计平均值。统计平均值。2、方法：深入到微观，从单个粒子的力学规律以及粒子间的相互作用、方法：深入到微观，从单个粒子的力学规律以及粒子间的相互作

4、用出发，对大量粒子组成的体系运用概率统计的方法。出发，对大量粒子组成的体系运用概率统计的方法。二、任何统计理论要涉及解决的三个问题二、任何统计理论要涉及解决的三个问题1、研究对象是什么、研究对象是什么-引入何种假设、模型，如何描述其研究对象的引入何种假设、模型，如何描述其研究对象的运动状态（力学、几何）运动状态（力学、几何）2、如何求出概率分布、如何求出概率分布-这是核心。这是核心。3、如何求出热力学量的统计表达式。、如何求出热力学量的统计表达式。本章为本章为7、8章作准备，研究解决前两个问题。章作准备，研究解决前两个问题。上一页下一页目 录退 出第六章第六章 近独立粒子及其最概然分布近独立粒

5、子及其最概然分布三、本章研究的系统：三、本章研究的系统：近独立粒子组成的系统近独立粒子组成的系统粒子：分子、原子、离子、电子、光子等。粒子：分子、原子、离子、电子、光子等。近近独立：粒子间有相互作用，但可忽略不计。独立：粒子间有相互作用，但可忽略不计。四、最概然分布四、最概然分布1、分布：指系统中粒子在能级上的填布情况。、分布：指系统中粒子在能级上的填布情况。2、最概然分布：也称最可几分布，是概率最大的一种分布。、最概然分布：也称最可几分布，是概率最大的一种分布。3、体系有多种不同分布，可以证明，最概然分布出现的概率比其余各、体系有多种不同分布，可以证明，最概然分布出现的概率比其余各种所有可能

6、分布的概率之和好要大得多，因此，体系绝大部分时间处于种所有可能分布的概率之和好要大得多，因此，体系绝大部分时间处于这种分布。故可用最概然分布代替体系处于平衡态式的分布。这种分布。故可用最概然分布代替体系处于平衡态式的分布。4、意义：求得最概然分布以后，可求得体系的统计平衡性质。、意义：求得最概然分布以后，可求得体系的统计平衡性质。上一页下一页目 录退 出第六章第六章 近独立粒子及其最概然分布近独立粒子及其最概然分布6.16.1、粒子运动状态的经典描述、粒子运动状态的经典描述6.26.2、粒子运动状态的量子描述、粒子运动状态的量子描述6.36.3、系统微观运动状态的描述、系统微观运动状态的描述6

7、.46.4、等概率原理、等概率原理6.56.5、分布和微观状态、分布和微观状态6.66.6、玻耳兹曼分布、玻耳兹曼分布6.76.7、玻色分布和费米分布、玻色分布和费米分布6.86.8、三种分布的关系、三种分布的关系上一页下一页目 录退 出6.1 6.1 粒子运动状态的经典描述粒子运动状态的经典描述 若粒子（系统）有若粒子（系统）有r r个自由度，则研究方法分为以下几步为个自由度，则研究方法分为以下几步为: :一、粒子运动状态的经典描述确定描述系统力学运动状态的确定描述系统力学运动状态的r个广义坐标：个广义坐标：rqqq,21个广义动量。相对应的个广义坐标为与rqqqrppprr,2121）（）

8、；（rrrqqqpppqqq,UU;,EE212121KK写出系统的拉氏函数写出系统的拉氏函数:U-ELK写出系统的哈密顿量写出系统的哈密顿量iiqLPrriipppqqqHHLq,PH2121ii；只有保守力时，哈密顿量就是系统的总能量。只有保守力时，哈密顿量就是系统的总能量。研究运动：运动规律有正则方程确定研究运动：运动规律有正则方程确定iiiipqqHHP，结论：确定了系统的结论：确定了系统的r个广义坐标和个广义坐标和r个广义动量，就确定了体系的运动状态。个广义动量，就确定了体系的运动状态。上一页下一页目 录退 出6.1 6.1 粒子运动状态的经典描述粒子运动状态的经典描述二、二、 空间

9、空间把遵从经典力学规律的粒子看作是具有把遵从经典力学规律的粒子看作是具有r个自由度的力学体系时，近独个自由度的力学体系时，近独立粒子的运动状态由粒子立粒子的运动状态由粒子r个广义坐标和个广义坐标和r个广义动量确定个广义动量确定-构成一个构成一个2r维抽象空间，称为维抽象空间，称为 空间，也称为粒子相空间。空间，也称为粒子相空间。空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的一个运动状态，这个点称为空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的一个运动状态，这个点称为代表点（或相点）。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在代表点（或相点）。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在空空间中移动，描画出一条轨

10、迹，称为相轨迹。间中移动，描画出一条轨迹，称为相轨迹。 、相点是一个粒子运动状态，而不是粒子，粒子只能在真实空间运动。、相点是一个粒子运动状态，而不是粒子，粒子只能在真实空间运动。、任何粒子总可以找到与其对应的、任何粒子总可以找到与其对应的 空间，不同自由度的粒子不能用同一空间，不同自由度的粒子不能用同一空间描述状态。空间描述状态。、若粒子受、若粒子受 的限制，粒子状态只能在能量曲面内，称为相体积。的限制，粒子状态只能在能量曲面内，称为相体积。、 空间中相轨道不相交，因为在物理问题中空间中相轨道不相交，因为在物理问题中 是单是单值函数。值函数。EiiiiipqqHHP，上一页下一页目 录退 出

11、 三、常用粒子的三、常用粒子的 空间及相体积：空间及相体积：1 1、三维自由粒子：自由度：、三维自由粒子：自由度：3 3；空间维数空间维数：66.1 6.1 粒子运动状态的经典描述粒子运动状态的经典描述zmppymppxmppzyx321 ，广义动量：zqyqxq321 ，广义坐标：空间：空间：6维抽象空间，相体积元维抽象空间，相体积元:zyxdpdpdxdydzdp相体积：粒子在体积相体积：粒子在体积V内运动，能量介于内运动，能量介于)(21( ,0222zyxpppm即：所以粒子在所以粒子在空间能达到的相体积为：空间能达到的相体积为：23012234222mVdpdpdpVdpdpdpdx

12、dydzmpppzyxzyxVzyx上一页下一页目 录退 出子子的的方方法法：空空间间中中描描述述一一维维自自由由粒粒在在用用x x和和p px x表示粒子的广义坐标和广义动量，以表示粒子的广义坐标和广义动量，以x x和和p px x为直角坐标，可构成二维的为直角坐标，可构成二维的 空间空间px0Lxpx 空空间间中中的的一一点点代代表表。可可用用，粒粒子子的的一一个个运运动动状状态态pxx维维的的子子空空间间。维维的的，可可分分解解为为三三个个二二空空间间是是对对于于三三维维的的自自由由粒粒子子，62 2、对于一维自由粒子：（自由度为、对于一维自由粒子：（自由度为1 1）6.1 6.1 粒子

13、运动状态的经典描述粒子运动状态的经典描述 三、常用粒子的三、常用粒子的 空间及相体积：空间及相体积：相体积为：相体积为：21002mLdpdxPxL上一页下一页目 录退 出3 3、一维线性谐振子（自由度为、一维线性谐振子（自由度为1 1）122222 mxmp6.1 6.1 粒子运动状态的经典描述粒子运动状态的经典描述 三、常用粒子的三、常用粒子的 空间及相体积：空间及相体积：qp弹性力 mAFkx 振动频率xmpxx广义动量广义坐标;空间：二维正交空间空间：二维正交空间xpx x振动能量这为一椭圆方程，所以其相体积等于这一椭圆的面积能量不同，椭圆也就不同 222212xmmp2222mmm2

14、22m在一定条件下，分子内原子的震动，晶体中在一定条件下，分子内原子的震动，晶体中原子或离子在其平衡位置附近的振动都可以原子或离子在其平衡位置附近的振动都可以看作简谐运动看作简谐运动上一页下一页目 录退 出4 4、转子（双原子分子的转动）：自由度为、转子（双原子分子的转动）：自由度为2 26.1 6.1 粒子运动状态的经典描述粒子运动状态的经典描述考虑质量为考虑质量为m的质点被具有一定长度的轻杆系于原点的质点被具有一定长度的轻杆系于原点O 时所作的运动。时所作的运动。质点在直角坐标下的能量：质点在直角坐标下的能量：)(21222zyxm用球坐标表示用球坐标表示:cossinsincossinr

15、zryrx上一页下一页目 录退 出4 4、转子、转子2222121sin,)20( ),0( mrppmrppqq广义动量广义坐标量。是质点对原点的转动惯其中2mrI 6.1 6.1 粒子运动状态的经典描述粒子运动状态的经典描述sincoscossinsincoscossinsinsincossincossinrrzrrryrrrx)sin(21222222rrrm考虑质点和原点的距离保持不变考虑质点和原点的距离保持不变 ，于是，于是0r )sin(2122222rrm应用于双原子分子的转动：自由度为应用于双原子分子的转动：自由度为2， 空间维数：空间维数：4IMppI2 )sin1(2122

16、22能量：能量：上一页下一页目 录退 出4 4、转子、转子6.1 6.1 粒子运动状态的经典描述粒子运动状态的经典描述2121mmmm1m2m质心上一页下一页目 录退 出4 4、转子、转子6.1 6.1 粒子运动状态的经典描述粒子运动状态的经典描述rMpdpdpdddpdpdd0201sin221222IppIIIIdd220208sin22IMIp2222根据经典力学，在没有外力作用的情形下，转子的总角动量根据经典力学，在没有外力作用的情形下，转子的总角动量 是一个是一个守恒量，其大小和时间都不随时间改变。由于守恒量，其大小和时间都不随时间改变。由于 垂直于垂直于 ，质点的运动是在，质点的运

17、动是在垂直于垂直于 的平面内运动。如果选择轴的平面内运动。如果选择轴 平行于平行于 ，质点的运动必在，质点的运动必在 平平面上，这时面上，这时 能量简化为能量简化为prMrMxy0,2pMMz上一页下一页目 录退 出一、微观粒子的波粒二象性与测不准关系一、微观粒子的波粒二象性与测不准关系kp SJhhh.10626. 6;234 都都称称为为普普朗朗克克常常量量：和和其其中中 微观粒子普遍地具有粒子和波动的二象性，一方面是客观存在的单个实微观粒子普遍地具有粒子和波动的二象性，一方面是客观存在的单个实体，另一方面在适当的条件下显示干涉、衍射等波动的现象。体，另一方面在适当的条件下显示干涉、衍射等

18、波动的现象。德布罗意关系：德布罗意关系：的单色平面波、波矢为圆频率为的自由粒子、动量为能量为对应kp德布罗意波：德布罗意波：适用于一切微观粒子。适用于一切微观粒子。SJ .10055.134 6.2 6.2 粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述德布罗意，薛定谔 普朗克常数是物理中的基本常数，普朗克常数是物理中的基本常数，它的量纲是它的量纲是时间能量=长度动量=角动量 1927年年 C.J. Davisson & G.P. Germer 戴维森与戴维森与 革末用电子束革末用电子束垂直投射到镍单晶，做电子轰击垂直投射到镍单晶，做电子轰击锌板的实验，随着镍的取向变化，锌板的实验，随着镍的取向

19、变化，电子束的强度也在变化，这种现电子束的强度也在变化，这种现象很像一束波绕过障碍物时发生象很像一束波绕过障碍物时发生的衍射那样。其强度分布可用德的衍射那样。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释。布罗意关系和衍射理论给以解释。德布罗意波的实验验证德布罗意波的实验验证-电子衍射实验电子衍射实验1 1KGBDU CsUKG德布罗意波的实验验证德布罗意波的实验验证-电子衍射实验电子衍射实验2 2同时英国物理学家同时英国物理学家G.P. Thompson & G.P. Thompson & ReidReid也独立完成了电子衍射实验。电也独立完成了电子衍射实验。电子束在穿过细晶体粉末或薄金属片后

20、，子束在穿过细晶体粉末或薄金属片后，也象也象X X射线一样产生衍射现象。射线一样产生衍射现象。德布罗意理论从此得到了有力的证实，德布罗意理论从此得到了有力的证实，获得获得19291929年的诺贝尔物理学奖金，年的诺贝尔物理学奖金，DavissonDavisson和和ThompsonThompson则共同分享了则共同分享了19371937年的诺贝尔物理学奖金。年的诺贝尔物理学奖金。 上一页下一页目 录退 出测不准原理：测不准原理：称为不确定关系：称为不确定关系hpq 粒子和波动二象性的一个重要结果是微观粒子不可能同粒子和波动二象性的一个重要结果是微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。时具有确定

21、的动量和坐标。的的乘乘积积所所满满足足：与与最最精精确确的的描描述述中中，则则在在量量子子力力学学所所容容许许的的的的不不确确定定值值。表表示示相相应应动动量量的的不不确确定定值值，表表示示粒粒子子坐坐标标如如果果以以pqppqq 6.2 6.2 粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述结论：结论： 不能用不能用q、p描述粒子的运动。即微观粒子的运动状态不是用坐标描述粒子的运动。即微观粒子的运动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波函数或量子数来描述的。和动量来描述的，而是用波函数或量子数来描述的。海森堡 上一页下一页目 录退 出：表示在：表示在t t时刻在时刻在dxdydzdxdydz内

22、发现粒子的几率。内发现粒子的几率。dxdydztzyx2,二、状态的描述二、状态的描述-量子态量子态6.2 6.2 粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述 在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。量子态不是用坐标和在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。量子态不是用坐标和动量来描述的，而是用波函数或量子数来描述的。动量来描述的，而是用波函数或量子数来描述的。波函数满足薛定谔波动方程：波函数满足薛定谔波动方程：zyxVmtiHti,222，或定态时：定态时：E,2E22zyxVmH，或波函数必须是单值、有限、连续，并且满足一定边界条件。波函数必须是单值、有限、连续，并且满足一定边界

23、条件。上一页下一页目 录退 出二、状态的描述二、状态的描述-量子态量子态6.2 6.2 粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述例：方匣中运动的微观粒子例：方匣中运动的微观粒子cznbynaxnabczyxsinsinsin8波函数与量子数波函数与量子数nx x、ny y、nz z有关，一组确定的量子数有关，一组确定的量子数nx x、ny y、nz z的组的组合，给出一个确定的波函数，从而确定体系一个量子态。合，给出一个确定的波函数，从而确定体系一个量子态。研究表明：研究表明：波函数满足单值、有限、连续和一定边界条件时，粒子能量只能波函数满足单值、有限、连续和一定边界条件时，粒子能量只能取

24、分立值。取分立值。2223228EzyxnnnmVh一般来说，体系有几个自由度，就有几个量子数。一般来说，体系有几个自由度，就有几个量子数。能级给定后：能级给定后： 确定，有多少个满足这一体系的确定，有多少个满足这一体系的nx x、ny y、nz z的不同组合数，该能级就有多少量子态，的不同组合数，该能级就有多少量子态，-称为能级的简并度。称为能级的简并度。 2222nnnnzyx普朗克传记上一页下一页目 录退 出1 1、自旋状态：、自旋状态：6.2 6.2 粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述三、举例：三、举例：关于自旋发现的趣闻H at s state Real orbit poi

25、nts Expected orbit NSZ如图z 向磁场，s态H的轨道分为二条。说明：H有Internal磁矩 （Spin） cosBBU磁矩在外磁场在外磁场B中的势能为：中的势能为：则氢原子所受的力为则氢原子所受的力为zzzzzzedzdBeedzdBeedzdBeBBBUfcos若若 一定。则作类平抛运动，二条轨迹说明磁矩有两个取向。一定。则作类平抛运动，二条轨迹说明磁矩有两个取向。dzdB上一页下一页目 录退 出1 1、自旋状态：、自旋状态： 电子、质子、中子电子、质子、中子等粒子具有内禀角动量（自旋）等粒子具有内禀角动量（自旋）（S S）和）和内禀内禀磁矩（磁矩（自旋）磁矩（自旋）磁

26、矩（），其量子数为），其量子数为1/21/2，关系为关系为 meS自旋角动量在外磁场方向上的投影自旋角动量在外磁场方向上的投影S Sz z只能取两个值：只能取两个值：21 zS在外磁场在外磁场B B中的势能为：中的势能为：在外磁场方向的投影相应为：在外磁场方向的投影相应为：meZ2。它只能取两个分立的值，要一个量子数描述粒子的自旋状态只表为将21,sSzzmmSS6.2 6.2 粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述三、举例：三、举例：BmeBBU2cos上一页下一页目 录退 出2 2、线性谐振子：、线性谐振子：,2, 1 ,0 )21( nnn3 3、转子、转子, 2 , 1 , 0

27、) 1(22lllMlllmmMMZlZZ, 1,只能取分立值：轴的投影，角动量在某一对于一定的IM22能量：,2, 1 ,0,2)1(2lIlll12 l简并度： 其中其中n n表示线性谐振子的运动状态和能量的量子数，上式表示线性谐振子的运动状态和能量的量子数，上式给出的能量值是分立的，分立的能量称为能级。线性谐振子给出的能量值是分立的，分立的能量称为能级。线性谐振子的能级是等间距的，相邻两能级的能量差为：的能级是等间距的，相邻两能级的能量差为：在量子力学中转子的能量是分立的：在量子力学中转子的能量是分立的：6.2 6.2 粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述上一页下一页目 录退 出

28、4 4、自由粒子、自由粒子nLx ,2Kx 因因为为波波矢矢：一维自由粒子，考虑处于长度为一维自由粒子，考虑处于长度为L L的一维容器中自由粒子的运的一维容器中自由粒子的运动状态。由周期性边界条件可得：动状态。由周期性边界条件可得：2 , 1 , 0 xnxxnLK2 代入得：代入得：2, 1, 0 xn, 2, 1, 0,2 xxxxxnnLpkp，可可得得：代代入入德德布布罗罗意意关关系系：6.2 6.2 粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述n nx x表示一维自由粒子的运动状态的量子数，能量的可能值为：表示一维自由粒子的运动状态的量子数，能量的可能值为：，210,24222222

29、 xxxnnLnmmpx基态能级为非简并，激发态能级为二度简并。基态能级为非简并，激发态能级为二度简并。上一页下一页目 录退 出对于三维自由粒子：对于三维自由粒子：zzyyxxnLpnLpnLp2,2,2 量子数为量子数为3 3：zyxnnn、能量的可能值：能量的可能值：2222222222222Lnnnmmpppmpzyxzyx （1 1）、微观体积下，能量值和动量值的分离性很显著。）、微观体积下，能量值和动量值的分离性很显著。（2 2）、宏观体积下，能量值和动量值是准连续的，考虑）、宏观体积下，能量值和动量值是准连续的，考虑V=LV=L3 3 内，一定内，一定动量范围动量范围 的自由粒子量

30、子态数。的自由粒子量子态数。6.2 6.2 粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述zzyyxxdpLdndpLdndpLdn2,2,2量子态数为：量子态数为：zyxzyxzyxdpdpdphVdpdpdpLdndndn332zzzyyyxxxdPPPdPPPdPPP,上一页下一页目 录退 出可理解为：可理解为：由测不准关系：由测不准关系：hqp对应对应空间的一个体积元，称为量子相格。空间的一个体积元，称为量子相格。rrrhppqqr，相格大小为：自由度为116.2 6.2 粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述qp内的量子态数三维自由粒子在而得到的除以相格大小表示：因此zyxzyx

31、zyxdpdpVdphdpdpVdpdndndn32r维维空间中空间中 大小的相格大小的相格内只能有一个运动状态。否内只能有一个运动状态。否则违背测不准关系。则违背测不准关系。rh上一页下一页退 出目 录采用球极坐标：采用球极坐标：zyxpppp,代代替替用用cos,sinsin,cossinppppppzyx积分：令20:,0:dpphVdndndnzyx234 dDdmhVmdmhVdpphV2123321323)2(2)2(244单位能量间隔内粒子可能的量子态数，即态密度单位能量间隔内粒子可能的量子态数，即态密度。如果粒子的自旋不为零，需乘如果粒子的自旋不为零，需乘2 2。6.2 6.2

32、 粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述代入上式，得：代入上式，得：将将mp22 21233)2(2mhVD上一页下一页目 录退 出6.3 6.3 系统微观运动状态的描述系统微观运动状态的描述一、全同粒子与近独立粒子一、全同粒子与近独立粒子二、经典物理中系统微观运动状态的描述二、经典物理中系统微观运动状态的描述（1 1）可分辨）可分辨 （可跟踪的经典轨道运动）（可跟踪的经典轨道运动）（1 1）全同粒子：具有完全相同属性（相同的质量、电荷、自旋等）全同粒子：具有完全相同属性（相同的质量、电荷、自旋等） 的同类粒子。的同类粒子。（2 2）近独立粒子：粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量

33、）近独立粒子：粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量 远小于单个粒子的能量。远小于单个粒子的能量。NiiE1全同粒子是可以分辨的（因为经典粒子的运动是轨道运动，原则上是可以被全同粒子是可以分辨的（因为经典粒子的运动是轨道运动，原则上是可以被跟踪的）。如果在含有多个全同粒子的系统中，跟踪的）。如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子的运动状态加以将两个粒子的运动状态加以交换，则交换前后，系统的运动状态是不同的。交换，则交换前后，系统的运动状态是不同的。iijj交换前交换后),(2121iriiiriipppqqqijrjrjjjjpppqqqj),(2121 ),(2121iriiirii

34、pppqqqjjrjrjjjjpppqqqi),(2121 上一页下一页目 录退 出6.3 6.3 系统微观运动状态的描述系统微观运动状态的描述iijj交换前交换后),(2121iriiiriipppqqqj上一页下一页目 录退 出6.3 6.3 系统微观运动状态的描述系统微观运动状态的描述（2 2）描述方式：）描述方式：代数方法代数方法 单个粒子需单个粒子需r r个广义坐标和个广义坐标和r r个广义动量共个广义动量共2r2r个参量来描述，因个参量来描述，因此对整个系统需此对整个系统需2Nr2Nr个参量来描述。个参量来描述。), 1(,11Nippqqiriiri； 对应对应空间中的空间中的N

35、 N个点：个点：一个粒子在某时刻的力学运动状态可以在一个粒子在某时刻的力学运动状态可以在空间中空间中用一个点表示，由用一个点表示，由N个全同粒子组成的系统在某时刻的微观运动状态可以在个全同粒子组成的系统在某时刻的微观运动状态可以在空间中用空间中用N个点表示，那么如果交换两个代表点在个点表示，那么如果交换两个代表点在空间的位置，相应的空间的位置，相应的系统的微观状态是不同的。系统的微观状态是不同的。上一页下一页目 录退 出（2 2） 玻色子与费米子：玻色子与费米子：a a 费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子。如：费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子。如：电子、质子、中子等电子、质子、中子等。b

36、 b 玻色子：自旋量子数为整数的基本粒子。如：玻色子：自旋量子数为整数的基本粒子。如：光子、光子、介子等介子等。c c 复合粒子：复合粒子：凡是由玻色子构成的复合粒子是玻色子；由偶数个费米子构成凡是由玻色子构成的复合粒子是玻色子；由偶数个费米子构成的复合粒子是玻色子，由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。的复合粒子是玻色子，由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。d d 泡利不相容原理：对于含有多个全同近独立费米子的系统中，一个个体泡利不相容原理：对于含有多个全同近独立费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。量子态最多能容纳一个费米子。6.3 6.3 系统微观运动状态的描述系统微观运

37、动状态的描述三、量子物理中系统微观运动状态的描述三、量子物理中系统微观运动状态的描述（1 1）全同性原理：全同粒子不可分辨，在由全同粒子）全同性原理：全同粒子不可分辨，在由全同粒子组成的系统，将任何两个全同粒子加以交换，不改变组成的系统，将任何两个全同粒子加以交换，不改变整个系统的微观运动状态。整个系统的微观运动状态。Pauli传奇上一页下一页目 录退 出（3)3)、玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统、玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统 玻耳兹曼系统：由玻耳兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子（可分辨的全同近独立粒子（定域系）定域系）组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。组成，且处在一

38、个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。 玻色系统：由不可分辨的全同近独立玻色子组成，且处在一个个体玻色系统：由不可分辨的全同近独立玻色子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。量子态上的粒子数不受限制的系统。 费米系统：由不可分辨的全同近独立费米子组成，且处在一个个体量费米系统：由不可分辨的全同近独立费米子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数最多只能为子态上的粒子数最多只能为1 1，受泡利不相容原理的限制。，受泡利不相容原理的限制。6.3 6.3 系统微观运动状态的描述系统微观运动状态的描述波耳兹曼 玻耳兹曼系统的微观运动状态归结为确定每一个粒子的个体量子态。玻耳兹曼系统的微观运动

39、状态归结为确定每一个粒子的个体量子态。玻色系统、费米系统的微观状态归结为确定每一个体量子态上的粒子数。玻色系统、费米系统的微观状态归结为确定每一个体量子态上的粒子数。上一页下一页目 录退 出系统系统 玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统（9 9种种不同的微观状态不同的微观状态) 玻色系统玻色系统（6 6种种不同的微观不同的微观状态）状态） 费米系统费米系统（3 3种种不同不同的微观状态）的微观状态）量子态量子态1 1A AB BA AA AB B B BA AA AA A A AA AA A量子态量子态2 2A AB BB BA AA AB BA AA AA AA AA AA A量子态量子态3 3A AB

40、 BB B B BA A A AA AA AA AA AA AA A例如：两个粒子占据例如：两个粒子占据3 3个量子态的方式个量子态的方式6.3 6.3 系统微观运动状态的描述系统微观运动状态的描述上一页下一页目 录退 出一、宏观状态与微观状态的区别：一、宏观状态与微观状态的区别：6.4 6.4 等概率原理等概率原理宏观状态：平衡态由一组宏观参量表示，例如，对于孤立系统可以用粒子数宏观状态：平衡态由一组宏观参量表示，例如，对于孤立系统可以用粒子数N N、能量能量E E和体积和体积V V来表征系统的平衡态。来表征系统的平衡态。微观状态：由广义坐标和广义动量（经典描述）或一组量子数表示（量子描述）

41、微观状态：由广义坐标和广义动量（经典描述）或一组量子数表示（量子描述）在统计物理学中，我们研究系统在给定宏观条件下的宏观性质。如果我们研究的是一个孤立系，给定的宏观条件是系统具有确定的粒子数N，体积V和能量E。由于自然界中实际上不存在与外界完全没有任何相互作用的严格的孤立系统，应当认为系统的能量是在经典热力学认为，处于平衡态的封闭体系的各热力学性质具有单值性且不随时经典热力学认为，处于平衡态的封闭体系的各热力学性质具有单值性且不随时间而变。但量子力学并不认同这一观点，从微观的角度，分子在不断地相互碰间而变。但量子力学并不认同这一观点，从微观的角度，分子在不断地相互碰撞和交换能量。撞和交换能量。

42、虽然总能量守恒，但虽然总能量守恒，但 N 个粒子分配总能量个粒子分配总能量 E则应有许多不同则应有许多不同方式，而能量的每一种分配方式就产生体系的一个微观态。方式，而能量的每一种分配方式就产生体系的一个微观态。因此不难想像，对因此不难想像，对于一个指定的宏观态，实际上包含着难以计数的微观态。于一个指定的宏观态，实际上包含着难以计数的微观态。1)EEE.(EE上一页下一页目 录退 出二、宏观状态与微观状态的联系：二、宏观状态与微观状态的联系：一个确定不变的宏观态包含大量不同的微观态。宏观量是相应微观物理量的一个确定不变的宏观态包含大量不同的微观态。宏观量是相应微观物理量的统计平均值，统计平均值，

43、统计物理的根本问题：确定各微观状态出现的概率。统计物理的根本问题：确定各微观状态出现的概率。6.4 6.4 等概率原理等概率原理概率（概率（probability）：）：指某一件事或某一种状态出现的机会大小。是数学指某一件事或某一种状态出现的机会大小。是数学上的概念，概率必须满足归一化原则。上的概念，概率必须满足归一化原则。热力学概率：热力学概率：体系在一定的宏观状态下，可能出现的微观状态总数，通常体系在一定的宏观状态下，可能出现的微观状态总数，通常用用 表示。表示。通常情况下，通常情况下， 是个远大于是个远大于 1 的大数。的大数。三、等概率原理：三、等概率原理：对于对于U, V 和和 N

44、确定的某一宏观体系，任何一个可能出现的微观状态，都确定的某一宏观体系，任何一个可能出现的微观状态，都有相同有相同的数学概率的数学概率，所以这假定又称为，所以这假定又称为等概率原理等概率原理。上一页下一页目 录退 出四、等概率原理的几点说明：四、等概率原理的几点说明：1 1、等概率原理是统计物理中一个基本假设，它的正确性由它的种种推论都、等概率原理是统计物理中一个基本假设，它的正确性由它的种种推论都与客观实际相符而得到肯定。与客观实际相符而得到肯定。3 3、既然这些微观状态都同样满足具有确定、既然这些微观状态都同样满足具有确定N N、E E、V V的宏观条件，没有理由认的宏观条件，没有理由认为哪

45、一个状态出现的概率应当更大一些。这些微观状态应当是平权的，因此，为哪一个状态出现的概率应当更大一些。这些微观状态应当是平权的，因此，认为各个可能的微观状态出现概率相等应当是一个合理的假设。认为各个可能的微观状态出现概率相等应当是一个合理的假设。2 2、等概率原理是平衡态统计物理的基础。、等概率原理是平衡态统计物理的基础。6.4 6.4 等概率原理等概率原理例如，某宏观体系的总微观态数为例如，某宏观体系的总微观态数为 ，则每一种微观状态出现的数学概，则每一种微观状态出现的数学概率率P都相等，即：都相等，即：1P上一页下一页目 录退 出6.4 6.4 等概率原理等概率原理例：例：试列出分子（可分辨

46、、玻色子）数为试列出分子（可分辨、玻色子）数为4，总能量为，总能量为3个单位的体系中各种分个单位的体系中各种分布方式和实现这类分布方式的热力学概率？设粒子分布在布方式和实现这类分布方式的热力学概率？设粒子分布在e0 00，e1 11，e3 32，e4 43，的四个非简并能级上，则满足两个守恒条件的分布方式有三种：，的四个非简并能级上，则满足两个守恒条件的分布方式有三种：0123I3001II2110III1300 i iN Ni i分布方式分布方式各分布方式所包含的微观态数：各分布方式所包含的微观态数：43!0!0!1!4!I122!1!1!0!4!II41!3!0!0!4!III20IIII

47、II总的微观状态数为：、每一种微观状态出现的数学每一种微观状态出现的数学概率概率0.052011P、各分布出现数学概率：、各分布出现数学概率：0.200.054PP0.600.0512PP0.200.054PPIIIIIIIIIIII上一页下一页目 录退 出6.4 6.4 等概率原理等概率原理从以上分析可见：从以上分析可见：每种分配的每种分配的 值各不相同，但其中有一项最大值值各不相同，但其中有一项最大值 (上例上例中为中为 )，在粒子数足够多的宏观体系中，在粒子数足够多的宏观体系中，可以近似用可以近似用 来代表所有的微观来代表所有的微观数数，这就是，这就是最概然分布最概然分布。maxiIIm

48、ax分布分布确定宏观条件下，各分布的微观状态数比较确定宏观条件下，各分布的微观状态数比较对于宏观上的平衡态，在微观上其实并非对于宏观上的平衡态，在微观上其实并非完全完全“均匀一致均匀一致”，这种偏离平衡态的现，这种偏离平衡态的现象称为象称为“涨落涨落”或或“起伏起伏”。但随着体系。但随着体系粒子数愈多，则粒子数愈多，则“涨落涨落”现象出现的机会现象出现的机会愈小。在极限情况下愈小。在极限情况下 ,“涨落涨落” 出出现的几率几乎为零。此时，可认为体系中现的几率几乎为零。此时，可认为体系中只存在一种微观状态数最大的分布只存在一种微观状态数最大的分布最最概然分布。概然分布。N可见用某一可见用某一微观

49、态数最大的分布微观态数最大的分布代表平衡态便是不足为奇了。代表平衡态便是不足为奇了。上一页下一页目 录退 出6.5 6.5 分布与微观状态数分布与微观状态数一、分布一、分布能级分布能级分布：即：即 N 个粒子分布在各个能级上的分布状态。个粒子分布在各个能级上的分布状态。状态分布状态分布：在某一简并能级上，粒子在各个量子态上的分布状态。：在某一简并能级上，粒子在各个量子态上的分布状态。说明：说明：(1)能量是量子化的能量是量子化的，但每一个能级上可能有若干个不同的量子状态，但每一个能级上可能有若干个不同的量子状态存在，反映在光谱上就是代表某一能级的谱线常常是由好几条非常接存在，反映在光谱上就是代

50、表某一能级的谱线常常是由好几条非常接近的精细谱线所构成。近的精细谱线所构成。量子力学中把能级可能有的微观状态数称为该量子力学中把能级可能有的微观状态数称为该能级的简并度。能级的简并度。(2) 对非简并能级，能级分布与状态分布相同；对非简并能级，能级分布与状态分布相同；(3) 对简并能级，同一能级分布可对应于多种不同的状态分布，即状对简并能级，同一能级分布可对应于多种不同的状态分布，即状态分布数大于能级分布数；态分布数大于能级分布数；(4) 一种状态分布数表示体系的一种微观态一种状态分布数表示体系的一种微观态。上一页下一页目 录退 出6.5 6.5 分布与微观状态数分布与微观状态数一、分布一、分

51、布满满足足：称称为为一一个个分分布布 ,la能级：能级：简并度：简并度：粒子数：粒子数：,21l,21l,21laaaEaNalllll ； 设有一个系统，由大量全同近独立的粒子组成，具有确定的设有一个系统，由大量全同近独立的粒子组成，具有确定的粒子数粒子数N N、能量、能量E E和体积和体积V V。个粒子的分布如下：表示能级上的粒子数，表示能级的简并度，表示能级，以Nalll123上一页下一页目 录退 出6.5 6.5 分布与微观状态数分布与微观状态数一、分布一、分布分布和微观状态是两个不同的概念。分布和微观状态是两个不同的概念。微观状态是粒子运动状态或称为量子态。它微观状态是粒子运动状态或

52、称为量子态。它反映的是粒子运动特征。反映的是粒子运动特征。、假如全同粒子可以分辨（或定域子），确定由全同近独立粒子组成的微假如全同粒子可以分辨（或定域子），确定由全同近独立粒子组成的微观运动状态归结为确定每一个粒子的个体量子态观运动状态归结为确定每一个粒子的个体量子态。即：当每个粒子的量子态。即：当每个粒子的量子态都确定了就对应于系统的一个微观状态。如果其中某一粒子的量子态变化了，都确定了就对应于系统的一个微观状态。如果其中某一粒子的量子态变化了，那么系统的微观状态也就发生了变化了。那么系统的微观状态也就发生了变化了。、对于不可分辨的全同粒子，确定由全同近独立粒子组成的系统的微观状对于不可分辨

53、的全同粒子，确定由全同近独立粒子组成的系统的微观状态归结为确定每一个体量子态上的粒子数。态归结为确定每一个体量子态上的粒子数。即：当每一个体量子态上的粒子即：当每一个体量子态上的粒子数确定了就对应于系统的一个微观状态。如果其中某一个体量子态上的粒子数确定了就对应于系统的一个微观状态。如果其中某一个体量子态上的粒子数变化了，那么系统的微观状态也就发生了变化了。数变化了，那么系统的微观状态也就发生了变化了。结论：由于一个能级往往对应若干个量子态（即简并的），因此结论：由于一个能级往往对应若干个量子态（即简并的），因此。上一页下一页目 录退 出二、给定分布的微观状态数二、给定分布的微观状态数1 1、

54、玻耳兹曼系统：、玻耳兹曼系统：种量子态的方式有个粒子数占据因此态能容纳任意个粒子，粒子可分辨，每个量子lallla种种上上的的各各量量子子态态共共有有级级个个编编号号的的粒粒子子数数占占据据能能lallllaa,11lllllaNaaNN！得因子：！个粒子交换数目但必须扣除同一能级上！；数为个粒子加以交换，交换因粒子可分辨，将/lallllBMa!N!.微观态数为：微观态数为：6.5 6.5 分布与微观状态数分布与微观状态数注意：一个粒子设为注意：一个粒子设为“无体积无体积”的的“质点质点”，一个，一个“盒子盒子”有粒子占据时，有粒子占据时，不排斥其它粒子进入（不排斥其它粒子进入（MB与与BE

55、都是不排斥，但都是不排斥，但FD则不行，是要排斥则不行，是要排斥的）的） 个粒子，放入个粒子，放入 个盒子中的可能组合个盒子中的可能组合lal12345上一页下一页目 录退 出二、给定分布的微观状态数二、给定分布的微观状态数6.5 6.5 分布与微观状态数分布与微观状态数lall)!1( !/)!1(llllaa用表示状态，表示粒子 llllEBaa)!1( !)!1(.上一页下一页目 录退 出二、给定分布的微观状态数二、给定分布的微观状态数6.5 6.5 分布与微观状态数分布与微观状态数3 费米系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。费米系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态

56、最多只能容纳一个粒子。 个个粒子占据能级粒子占据能级 上的个上的个 量子态，相当于从量子态，相当于从 个量子态中挑出个量子态中挑出 个来为粒个来为粒子所占据，有子所占据，有lalllla)!( !Cllllaaall种可能的方式。种可能的方式。llllDFaa)!( !.上一页下一页目 录退 出二、给定分布的微观状态数二、给定分布的微观状态数6.5 6.5 分布与微观状态数分布与微观状态数4、经典统计中的分布和微观状态数：、经典统计中的分布和微观状态数：对于经典系统对于经典系统，由于对坐标和动量，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设的测量总存在一定的误差，假设 ，这时经典系统的一个运动

57、状，这时经典系统的一个运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小0hpqrrrhppqq011表示经典系统的一个微观状态在表示经典系统的一个微观状态在 空间所占的体积，称为经典相格。这里空间所占的体积，称为经典相格。这里 由测量精度决定，最小值为普朗克常量。由测量精度决定，最小值为普朗克常量。0h 现将现将 空间划分为许多体积元空间划分为许多体积元 ，以，以 表示运动状态处在表示运动状态处在 内的粒子所内的粒子所具有的能量，具有的能量， 内粒子的运动状态数为内粒子的运动状态数为这样，这样， 个粒子处在各个粒子处在各

58、 的分布可表示为的分布可表示为lalrlh0Nllll上一页下一页目 录退 出二、给定分布的微观状态数二、给定分布的微观状态数6.5 6.5 分布与微观状态数分布与微观状态数能级：能级：简并度：简并度：粒子数：粒子数：,21l,21laaa,00201rlrrhhh体体 积积 元元: ,21l由于经典粒子可以分辨，处在一个相格内的粒子个数不受限制，所以经典由于经典粒子可以分辨，处在一个相格内的粒子个数不受限制，所以经典系统遵从玻耳兹曼系统的统计规律，所以与分布系统遵从玻耳兹曼系统的统计规律，所以与分布 相应的经典系统的相应的经典系统的微观状态数为：微观状态数为：lalalrlllclhaN)(

59、!0. qp上一页下一页目 录退 出2 2、玻色系统：、玻色系统：)!1( !)!1(. lllllEBaa)!( !.lllllDFaa 3 3、费米系统：、费米系统：larllllclhaN) ( ! ! 04 4、经典系统：、经典系统：6.5 6.5 分布与微观状态数分布与微观状态数二、给定分布的微观状态数二、给定分布的微观状态数1 1、玻耳兹曼系统：、玻耳兹曼系统：lallllBMaN ! .上一页下一页目 录退 出三、经典极限条件（非简并性条件）三、经典极限条件（非简并性条件） 对于玻色系统或费米系统，当任一能级上的粒子数都远小于该能对于玻色系统或费米系统，当任一能级上的粒子数都远小

60、于该能级的量子态时：级的量子态时：!)2)(1()!1( !)!1(,.NaaaaaaBMlallllllllllllllEBl 则则：!) 1)(1()!( !,.NaaaaaBMlallllllllllllllDFl 经典极限条件表示，在所有的能级粒子数都远小于量子态数。经典极限条件表示，在所有的能级粒子数都远小于量子态数。6.5 6.5 分布与微观状态数分布与微观状态数lla。 上一页下一页退 出目 录6.6 6.6 玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布 二、最概然分布二、最概然分布 大值的分布。使系统微观态数目取极时，满足：，即当分布、能量数当系统具有固定的粒子EaNaaENllllll,根据等概