统计学第四章

1、第四章 差异量教学目得：1理解全距、四分位距.百分位距、平均差、方差、标准差与差异系数等槪念；2、掌握各种差异量指标得计算方法。数据得分布特征不仅有集中越势，还有离中趁势。以动态得眼光，从不同得角度瞧，数据 就是向中间变动得，也就是向两端变动得。两组数扌居可能平均水平相同，但两纽数据得分布特 征并不完全相同。【如】：比较下列两组数据川组：88、 82、 73、 76、 813组:92、 86、 70、 72、 80两组平均数乂4 = 乂B =80,但胎88-73 = 15,届=92 70 = 22。即/!组较集中，B纽较分 散。因此，我们描述一组数据得分布特征，既要描述其集中趙势，也要描述其离

2、中趙势差异量：表示一组数据得离中趋势或变异程度得量称为差异董。常用得差异量指标有全距.四分位距、百分位距.平均差.方差、标准差与差异系数。第一节 全距、四分位距、百分位距一. 全距全距:就是一组数距中最大值与最小值之差。优点：意狡明确，计算方便。缺点：反应不灵敏，易受极端值影响。二. 四分位距（一）四分位距得得概念四分位距:就是指一组按大小顺序排列得数据中间部位50%个频数距离得一半。QD = -（4.1）2:表示四分位距；Q：表示第三四分位数；Q：表示第一四分位数。所以:四分位距得公式又为:(二) 四分位数得计算方法1原始数摇计算法(1) 将数据由小到大进行排列；(2) 分别求出三位四分位数

3、(点);(3) 代入公式计算。【例如】：有以下 16 个数据 25、22、29、12、40、15、14、39、37、31. 33. 19、17、20、35、30,其中四分位距得计算方法如下：(1) 先将原始数据从小到大排列好；12、14. 15、17、*19. 20、22、25、*29、30、31、33、*35 37、39、40=18Md=27(2) 求出 a. Md、Q;(3) a. Md、得得数代入公式(4. Do22、频数分布表计算法(4.2)利用频数分布表计算公式为：关键就是分别计算甩与甩，百分位数计算方法掌握了，这里得计算就不会有什么问题。(三) 优缺点优点：意狡明确，不受极端值影响

4、。缺点：及应不灵敏。三. 百分位距百分位距:就是指两个百分位数之差。常用得百分位距有两种：Ao-Ao与Pn-Pi优点：意狡明确，不受极值影响。缺点：反映不灵敏。第二节平均差一. 平均差得概念平均差：就是指毎个数据与本纽数据得平均数（或中位数）之差得绝对值得算术平均数 （用仙表示）。二、平均差得计算方法1原始数摇计算法公式为：yix-xiMD=_N（43）yx-Md翊d=N【如】：求88、82、73、76、81得平均差。_ 亍X解：X = =(88 + 82 + 73 + 76 + 81)4-5 = 80.MD=工* X =8一80| + | 82-801+ 173-801N+ 176-801

5、+ 181-801)4-5 = 4.42、频数分布表计算法公式为：(4.4)Xcz为各组组中值【例】：求表4、1中30数据得平均差。表4. 130个分数得频数分布表分数6070-80-90-频数512103组中值65758595解：（1）工5x65 + 12x75 + 10x85 + 3x95X = :- = 7&7N30Y f X X I(2) MD = = (5x I 65 一 78.7 1+12x175 -78.7 IN+ 10x185 -78.7 I +3x I 95 一 78.7 I) 4-30 = 7.5三. 平均差得优缺点优点：意狡明确，反应灵敏。缺点：不适合代数运算。第三节方差

6、与标准差一. 方差与标准差得概念定艾公式为:1方差：就是一组数据离差平方得弊术平均数(用表示)。(4.5)X-X：为离差；Z(X-X)2：为离差平方和。2、方差得方根即标准差(4.6)为(X_对N例:求72, 7& 80, 86得方差与标准差解：(1)求算术平均数为X _72 + 78 + 80+86 一 N 一4(2) 求方差,Y(X-X)2(72 79)2+(7879)2 +(80-79)2 +(86-79)2“b； = 25N4(3) 求标准差ax =2： = /25 = 5探:标准差得值越大，说明数据越分散。二、方差与标准差得计算方法1、原始数据计算法N(X = NX2 _(X戸)，_

7、X22工X 戸+工戸 _ NXX2-2NX-X+NXN为 X?_N壬=XV. _ (工 X 2 TV一1市所以得:(4.7)(4.8)【例】：计算80、78、84、80、72得方差与标准差。解：(8O2 +782 +842 +8O2 +722)一 (80 +78 +84 +80 - 72) 一 5= 15.36= J15.36 = 3.92、频数分布表计算法公式为:(4.9)(4.10)+込_（斗* NN 忆fX；正几、2F）Xc：为组中值；/:为组频数；fX；：为产个数据的平方和; fxc：为/个数据的和。例題：参瞧教材48。三. 方差与标准差得优缺点:优点：严密确定，反映灵敏，适合代数运算

8、。缺点：不太容易理解，易受两极端值影响。第四节相对差异量一.相对差异量得概念平均差、方差、标准差等都带有单位，就是绝对差异量。常常不能对不同纽得数据差异 直接比较。差.异系数：也叫相对差异量，就是指同一纽数据得标准差与算术平均数得百分比（用CV 表示）。公式为：(4.11)CV =X1OO% XCl/值越大，表明数据离散程度越大。二、差异系数得用途1、比较不同单位资料得差异程度。【例题】：菜班学生得平均身高为152cm,标准差为5、1cm;平均体重为47公斤，标准差为3、2公斤，问该班学生身高变异大还就是体重变异大？解：身高:CV =空35I叭丽能失去意义；即对各个数据的代甜差 当CV 皮尔逊

9、指数法(4.12)(4.13)邺K=(3國-2X) = 3(呦SK = U当SUO则分布就是对称形；当S/CX)时，分布为正偏；当SK 0时，分布为负倔。【例】:某校200名学生得英语平均分为80分，中位数为82分，标差为8分，其偏态厦为: 解:3(XMM)3x(80-82)A = ().756 8SK = -0.75 0时，分布就是正偏态；当30时，分布就是负偏态。计算3时，N应大于200、例題：参礁教材57页。二.峰态量峰态量:就是用于说明分布曲线高狭与低阔程厦得董。仁用两个百分位距来计算K = % 讥（4.16）讥-片。）当仙0、263吋，分布就是正态峰；当屜0、263时，分布低阔。表4

10、. 1小学二年级80个学生身高得四分位距计算表身髙频数累汁频数计算四分位距115 11118-3CJg4121-8120 = 126、40124 -106】22127 20II420 = 132、84130-1961QD=3. 22133-1273136-477139-279142180总与80【例题】：根据表4、1数据将计算出得马5=132. 84,Af126、40, Ao=135. 75件122、 5代入公式（4、17）,則峰态量为:=0.243K _ 13284-126.402(135.70 - 12250)由于Ku = 0.243 0吋，分布就是高狭峰；当aXO时，分布就是低阔峰。计算

11、时，应大于1000,峰态系数方比较可靠。表4. 4以平均数为原点四种动差得计算表XX-X(X-X)2(X-X)3(X-X)456-15、5240、 25-3 723、 8857 720、 1458-13、 50182. 25-2 460 3833 215、 1361-10、 50110. 25-1 157、 6312 155、 1263-8、5072、25-614、 135 220. 1170-1、502、25-3、385、077420、56、2515 6339、08797、5056、25421、 883 164、 108412、50156、 201 953、 1324 414. 138412、50156、 251