华农线性代数线性代数复习PPT学习教案

1、会计学1华农线性代数线性代数复习华农线性代数线性代数复习1111*,AE)|dAA 这这种种类类型型的的题题目目一一定定要要掌掌握握！挑挑三三个个类类似似的的题题目目做做。 矩矩阵阵的的逆逆，如如何何求求逆逆）（ ， ）初初等等行行变变换换（E,AE,A2 2） A A 1*AA|,AA 利利用用此此式式子子可可以以求求111113)AB),)(B AAA矩矩阵阵逆逆的的规规律律尤尤其其注注意意（第1页/共58页121 141 121 13.行行列列式式的的计计算算，普普通通的的二二阶阶，三三阶阶计计算算（尤尤其其是是），利利用用初初等等变变换换求求行行列列式式（行行列列式式的的性性质质）例例

2、范范德德蒙蒙行行列列式式，结结果果记记住住 很很多多行行列列式式的的计计算算都都可可以以转转换换为为范范德德蒙蒙行行列列式式求求解解第第一一章章和和题题，全全是是行行列列式式的的计计算算。全全做做，这这里里 不不在在给给出出例例题题。3，行行列列式式的的性性质质伴伴随随矩矩阵阵定定义义，及及其其运运用用1*|AA A A 1*AA|,AA 利利用用此此式式子子可可以以求求1*| |A|nA 第2页/共58页齐齐次次方方程程有有唯唯一一解解 对对应应的的系系数数矩矩阵阵|A|0|A|00|A|齐齐次次方方程程有有非非零零解解第3页/共58页解解15210013101034100115210002

3、1110011530115210002111001025115210001025102111010211255010251001511221rr313rr325rr23rr322rr125rr1152131,341AA 设求第4页/共58页10211255010251001511210013101025100151123( 1)r 132rr1131 2515112A102112550102510015112322rr125rr所以所以 第5页/共58页证证明明向向量量组组线线性性无无关关第第二二章章：向向量量线线性性相相，相相关关如如何何判判断断求求向向关关量量，线线性性无无关关组组的的极极

4、的的定定义义大大无无关关组组如如何何求求矩矩阵阵的的秩秩第6页/共58页方方阵阵的的秩秩 阶阶数数,|A|=0,|A|=02,2,矩矩阵阵的的秩秩小小于于行行向向量量的的个个数数，矩矩阵阵的的行行向向量量线线性性相相关关 矩矩阵阵的的秩秩小小于于列列向向量量的的个个数数，矩矩阵阵的的列列向向量量线线性性相相关关3 3，矩矩阵阵的的秩秩等等于于行行（列列）向向量量的的个个数数，矩矩阵阵的的行行（列列）向向量量线线性性无无关关会会用用上上面面的的一一些些性性质质做做题题向向量量等等价价的的定定义义，如如何何判判断断两两个个矩矩阵阵等等价价第7页/共58页证明证明例例2.3 已知向量组已知向量组 线

5、性无关，证明：向量组线性无关，证明：向量组 线性无关。线性无关。123，122331，1122233310kkk设设 1311222330kkkkkk（）（）（）则则 123，因为因为 线性无关线性无关 323000kkkkkk112所以有所以有 230kkk1解得解得 122331，所以向量组所以向量组 线性无关。线性无关。 第8页/共58页向量组的极大无关组向量组的极大无关组若矩阵若矩阵 A 经过有限次初等经过有限次初等行行变换变成矩阵变换变成矩阵 B ，则，则 A 的的行行向量组与向量组与 B 的的行行向量组等价，而向量组等价，而 A 的任意的任意 K 个个列列向量与向量与B 中对应的中

6、对应的 K 个个列列向量有相同的相关性；向量有相同的相关性；11111101011110110123rr无关无关无关无关相关相关相关相关第9页/共58页例例4 求下列向量组的一个极大无关组求下列向量组的一个极大无关组12341,2,0,1 ,0,1,0,1 ,1,3,0,2 ,1,2,1,1解法解法2：构造矩阵（将向量称为矩阵的列向量），做初等行变换：构造矩阵（将向量称为矩阵的列向量），做初等行变换1011213200011121A101101100001011021412rrrr101101100001000042rr因为因为 3R AR B（记作（记作 B）而而 B 中第一、二、四列的向量

7、是线性无关的，中第一、二、四列的向量是线性无关的，故故 A 中第一、二、四列的向量是线性无关的，中第一、二、四列的向量是线性无关的，所以所以124, 是一极大无关组。是一极大无关组。由于初等行变换不改变列向量组对应的相关性由于初等行变换不改变列向量组对应的相关性第10页/共58页1200RAn|A|RAn)|A|= 等等价价于于只只有有零零解解等等价价于于求求齐齐次次齐齐次次线线性性方方程程组组，求求解解齐齐次次线线性性方方程程组组系系数数矩矩阵阵 （ ）（未未知知数数的的个个数数）线线性性方方程程组组的的解解，写写出出解解的的基基础础解解系系（系系数数矩矩阵阵 （ ） （，齐齐次次方方程程解

8、解的的性性质质齐齐次次方方程程解解的的线线性性组组合合还还是是无无穷穷多多解解方方程程的的解解3，基基础础解解系系的的向向量量的的个个数数系系数数矩矩阵阵的的秩秩为为r, r,则则基基础础解解系系的的向向量量的的个个数数为为n-rn-r第11页/共58页例例2.8 求解齐次线性方程组，用基础解系表示通解。求解齐次线性方程组，用基础解系表示通解。 12341232341234032023054320 xxxxxxxxxxxxxx解解 将系数矩阵将系数矩阵A作作行初等变换行初等变换 1111321001235432A10120123000000001111012301230123方程组的一般解为方

9、程组的一般解为 134234223xxxxxx ()2R A 所以所以 12324221rrrrrrr 214135rrrr（其中（其中 为自由未知量）为自由未知量） 34,x x第12页/共58页3410,01xx 依次令依次令 121223,1001得得 即为方程组的基础解系即为方程组的基础解系 134234223xxxxxx 方程组的一般解为方程组的一般解为 1 122Xkk所以原方程组的解为所以原方程组的解为 第13页/共58页非非齐齐次次方方程程组组的的求求解解 如果如果 是非齐次线性方程组的特解，是非齐次线性方程组的特解， 是对应是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，则非齐次线性方

10、程组的通的齐次线性方程组的一个基础解系，则非齐次线性方程组的通解可表示为解可表示为 。12,n r 1 122n rn rkkkX一一个个特特解解（非非齐齐次次方方程程）+ +基基础础解解系系的的线线性性组组合合（齐齐次次方方程程）第14页/共58页非齐次线性方程组的解的性质非齐次线性方程组的解的性质 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 (1)AXb对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组 0 (2)AX 如果如果 是（是（1）的解，则）的解，则 是（是（2）的解。）的解。 12, 12如果如果 是（是（1）的解，）的解， 是（是（2）的解，则）的解，则 是（是（1）的解。）的解。性质性质2.4

11、性质性质2.512122,AXb 两两个个非非齐齐次次方方程程的的解解为为那那么么是是的的解解第15页/共58页RA),RA)R,RARARAA （ ） 未未知知数数的的个个数数，唯唯一一解解有有解解（ ） 未未知知数数系系数数矩矩阵阵A A的的非非齐齐次次方方程程解解的的判判断断（ ）（的的个个数数，多多解解自自由由未未知知量量个个数数对对应应于于基基础础解解系系的的个个数数无无解解解解（ ）（第16页/共58页例例 求解线性方程组求解线性方程组 23424538213496xyzxyzxyzxyz 解解 将增广矩阵作将增广矩阵作行初等变换行初等变换 23141245382134196A12

12、324212234rrrrrrrr12450771401414280771432422122172rrrrrrr1021011200000000第17页/共58页所以所以 ( )( )23R AR A方程组有无穷多解方程组有无穷多解 一般解为一般解为 1 22xzyz （其中（其中Z为自由未知量）为自由未知量） 令令Z=K，将一般解改写为向量形式，得，将一般解改写为向量形式，得 122101xykz其中其中 为基础解系为基础解系 211第18页/共58页例例 求解线性方程组，当求解线性方程组，当 K 为何值时，方程组有（为何值时，方程组有（1）唯一解？）唯一解？（2）无解？（）无解？（3）无穷

13、多解？并用基础解系表示通解。）无穷多解？并用基础解系表示通解。21kxyzxkyzkxykzk解解 方程组的系数行列式为方程组的系数行列式为 21111(2)(1)11kkkkk（1）当）当 且且 时，时，方程组有唯一解。方程组有唯一解。2k 1k （2）当）当 时，增广矩阵为时，增广矩阵为2k 211112121124A033903361124000303361124( )3( )2R AR A此时，方程组无解。此时，方程组无解。 13232rrrr12rr第19页/共58页（3）当）当 时，增广矩阵为时，增广矩阵为1k 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1A111100000000此

14、时方程组有无穷多解，一般解为此时方程组有无穷多解，一般解为 ( )( )13R AR An 1xyz （ 为自由未知量）为自由未知量） , y z1 0特特解解（， ，0 0）齐齐次次方方程程为为xyz 第20页/共58页343454511212355122 110.xxxxxiixaxaxaxaxaa ，证证明明方方程程组组有有解解的的充充要要条条件件是是第21页/共58页2.11 证明证明 方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为 123451100001100001100001110001aaAaaa第22页/共58页证明证明 方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为 1234511100001

15、100001100001100000iiaaaaa451iirrA当且仅当当且仅当 时时, 510iia 4R AR A所以方程组有解的充分必要条件是所以方程组有解的充分必要条件是 510iia第23页/共58页第三章：特征值第三章：特征值属于不同特征值的特征向量线性无关属于不同特征值的特征向量线性无关如如何何求求特特征征值值和和特特征征向向量量第24页/共58页特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质0A 121122nnnaaa（1） 0是方阵是方阵A的特征值的特征值 （3）如果）如果n阶方阵阶方阵A的全部特征值为的全部特征值为 ，12n， ， ，12nA则则 （4）如果）如果 是是

16、的特征值，则的特征值，则 是是 的特征值。的特征值。AkAk（5）如果）如果 是是 的特征值，则的特征值，则 是是 的特征值。的特征值。AkAk（6）如果）如果 是可逆矩阵是可逆矩阵 的特征值，则的特征值，则 是是 的特征值。的特征值。A1A1（2）A与与AT有相同的特征值有相同的特征值 tr(A)，方阵，方阵A的迹的迹 第25页/共58页定理定理3.4 设设 A 是是 n 阶方阵阶方阵, 01( ),mmAa Ea Aa A若若 为为 A A 的特征值，则的特征值，则01( )mmaaa 是是( )A的特征值的特征值11*AA|A|A|A A 的的特特是是 的的特特征征值值，是是征征值值第2

17、6页/共58页例例 已知已知 ，其中，其中 ，试求试求B的特征值和的特征值和 5432BAAAE2112AB解解 求解矩阵求解矩阵A的特征方程的特征方程 21012得特征值得特征值 121,3所以所以B的特征值为的特征值为 54113 12 1 11B 54233 32 3 15B 所以所以 5B 第27页/共58页例例 求矩阵的特征值和特征向量求矩阵的特征值和特征向量211020413A解解A的特征多项式为的特征多项式为211020413EA21(2)4322(2)(64)(2)(2)得方阵得方阵A的特征值为的特征值为2(1)(2)1231,2 第28页/共58页111030414AE314

18、rr23r 11101003012rr323rr101010000得得基础解系基础解系11 0 1 （， ）4112000411AE31rr41100000020113104 -0E Ax （）当当 时，解齐次线性方程组时，解齐次线性方程组 11 232对应于对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为 20EAx（）当当 时，解齐次线性方程组时，解齐次线性方程组 23211 10kk（）对应于对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为 23kk，（ 不同时为零）不同时为零）2233kk第29页/共58页相似矩阵的定义，性质相似矩阵的定义，性质 若若A和和B相似，则（相似，则（1） （2）( )(

19、)R AR B(.2AB见性质3 ） AEBE（特征多项式相同，（特征多项式相同，因而有相同的特征值）因而有相同的特征值） （3）若）若A和和B相似，则相似，则第30页/共58页矩阵的对角化矩阵的对角化n 阶矩阵阶矩阵A能相似于对角矩阵的充分必要条件能相似于对角矩阵的充分必要条件是是A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量如果矩阵如果矩阵A相似于一个对角行矩阵相似于一个对角行矩阵B，即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵P使得使得1P APB那么这个那么这个P等于？等于？PA从从上上面面的的证证明明可可以以知知道道 的的所所有有无无关关特特征征向向量量构构成成的的矩矩阵阵即即为为123P(,.)

20、n 12.nB 第31页/共58页460350361A 例例 用相似变换化矩阵为对角形用相似变换化矩阵为对角形解解A的特征方程为的特征方程为460350361AE 2(2)(1) 得特征值为得特征值为1232,1 对于对于12, 可求得特征向量可求得特征向量1( 1,1,1) 第32页/共58页123120110101P1120110121P 1200010001P AP对于对于231,可求得线性无关的特征向量可求得线性无关的特征向量23( 2,1,0) ,(0,0,1) 令令则则且且第33页/共58页121nP AP112mmmmnAPP利用对角化计算矩阵的乘幂利用对角化计算矩阵的乘幂第34

21、页/共58页3234A例例设设20A求解解 A的特征方程为的特征方程为3234AE(1)(6)特征值为特征值为121,611对应的特征向量对应的特征向量为为1(1, 1)26对应的特征向量为对应的特征向量为2(2,3)解齐次方程组解齐次方程组0AEX27660AE X解方程组解方程组第35页/共58页202011006APP2012103211306115121213P110,06P AP11006APP令令则有则有因此因此1 11.习习题题第36页/共58页设设312545求求 , 解解,9534152）（）（14)3(12222,arccos665)4(522266149arccos98)

22、53()41 ()52(222的夹角和距离与2222cos余弦定理余弦定理 第37页/共58页定理定理设设n维向量组维向量组12,m 线性无关线性无关,令令111112212, 121212313323, 112121112211,mmmmmmmmm Schmidt正交正交化方法化方法则得到则得到的的12,m 是正交向量组是正交向量组,且与且与12,m 等价等价(1,2,)iiiim12,m 12,m 等价的等价的标准正交向量组标准正交向量组.是与是与 第38页/共58页若若n维向量组维向量组12,r 是正交向量组是正交向量组,则则12,r 线性无关线性无关.那那么么线线性性无无关关的的向向量

23、量组组能能否否化化成成一一个个与与之之等等价价的的正正交交向向量量组组这这可可以以通通过过斯斯密密特特正正交交化化方方法法得得到到第39页/共58页例例把向量组把向量组S正交规范化正交规范化123(3, 5,1, 1)( 1,13, 1,3)(7, 3,5,5) 解解112112121, 72( 1,13, 1,3)(3, 5,1, 1)36 (5,3,1,1)331212123132, 3636(7, 3,5,5)(3, 5,1, 1)(5,3,1,1)3636( 1, 1,3,5) 将将 正交化，得正交化，得 123, 第40页/共58页111135116 （ ， ， ，- ）2221(5

24、,3,1,1)63331( 1, 1,3,5)6 123, 即为所求的标准正交向量组即为所求的标准正交向量组.将将 单位化：单位化：123,第41页/共58页解解2310,Tx，应满足方程即1230 xxx它的基础解系为它的基础解系为121,0, 1 ,0,1, 1TT211,0, 1T，已知已知 ，求一组非零向量，求一组非零向量 ，使，使两两正交。两两正交。11,1,1T23, 123, 2132111, ,110,1, 11,0, 11,2, 122TTT 令令 第42页/共58页正交矩阵定义正交矩阵定义及其的性质及其的性质 1、正交矩阵、正交矩阵P是可逆的，且是可逆的，且1TPP2、如果

25、矩阵、如果矩阵P是正交矩阵，则是正交矩阵，则 或或 1P 1P 3、P是正交矩阵是正交矩阵 矩阵矩阵P的行向量组及列向量组都是标准正交组的行向量组及列向量组都是标准正交组 正交变换不改变向量的内积，因而，正交变换不改变向量的内积，因而， 不改变向量的长度、夹角及距离。不改变向量的长度、夹角及距离。第43页/共58页定理定理 实实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。 实对称矩阵的性质实对称矩阵的性质求正交变换将实对称矩阵对角化的一般步骤：求正交变换将实对称矩阵对角化的一般步骤： 1、求矩阵、求矩阵A的特征值的特征值 2、求特征向量、求特征向量3、将

26、特征向量正交化、单位化、将特征向量正交化、单位化4、构造正交矩阵，写出对应的对角形矩阵、构造正交矩阵，写出对应的对角形矩阵 第44页/共58页求正交变换将实对称矩阵对角化的一般步骤：求正交变换将实对称矩阵对角化的一般步骤： 1、求矩阵、求矩阵A的特征值的特征值 2、求特征向量、求特征向量3、将特征向量正交化、单位化、将特征向量正交化、单位化4、构造正交矩阵，写出对应的对角形矩阵、构造正交矩阵，写出对应的对角形矩阵 第45页/共58页二次型二次型,的矩阵的矩阵称为二次型称为二次型fA.的二次型的二次型称为称为 Af).(,)(fRfARA记作记作的秩的秩称为称为的秩的秩 ,.TfAxAx 二二次

27、次型型可可记记作作其其为为对对称称矩矩阵阵中中给你一个二次型，你能写出它的矩阵表示给你一个二次型，你能写出它的矩阵表示2,( )R)/B(nTTBnxf xx BxABB 设设 为为 阶阶方方阵阵，二二次次型型的的矩矩注注意意 不不一一阵阵表表示示为为定定是是的的。第46页/共58页用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤:; . 1A求求出出二二次次型型的的矩矩阵阵;,. 221nA 的所有特征值的所有特征值求出求出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特

28、征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 第47页/共58页解解1 1写出二次型的矩阵，并求其特征值写出二次型的矩阵，并求其特征值 144241422217A1717 14141414 424 222AEE 9182 .,844141417 323121232221化成标准形化成标准形通过正交变换通过正交变换将二次型将二次型Pyxxxxxxxxxxf 例例4第48页/共58页从而得特征值从而得特征值.18, 9321 得基础解系得基础解系代入代入将将, 091 xEA 2 2求特征向量求特征向量 得得基基础础解解系系代代入入将将, 018

29、32 xEA ,)0 , 1 , 2(2 T .)1 , 0 , 2(3 T 3 3将特征向量正交化将特征向量正交化,11 取取.)1 , 1 , 21(1T ,22 ,2223233 得正交向量组得正交向量组.)1 , 54, 52(3 T ,)0 , 1 , 2(2 T ,)1 , 1 , 21(1T 第49页/共58页 ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231),( 321 P取取4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵P91 182 183 第50页/共58页于是所求正交变换为于是所求正交变换为,45503245451324525231321321 yyyPyxxx.181