论数学模型在数学解题中的应用

1、论数学模型在数学解题中的应用摘要在现代社会，随着数学和科学技术的飞速发展，以及电子计算机的广泛使用，科学技术数学化的进程正日益加速。任何科学技术要实现数学化，都必须首先把研究对象用数学语言和方法表述为具有一定结构的数学体系，也就是说建立有关研究对象的数学模型，这是科学技术数学化的关键。关键词：数学；数学模型；数学体系Abstract In modern society, with the rapid development of mathematics and science and technology, and extensive use of electronic computers,

2、science and technology of mathematical process is accelerated. Any scientific technology to realize the mathematics, must first take the object of study in mathematics language and methods expressed as mathematical system with a certain structure, that is to say the establishment of mathematical mod

3、el about the object of study, this is the key to the mathematics of science and technology.Keywords: mathematical; mathematical model; mathematical system1.引言1.1研究背景 目前，培养学生的数学问题解决能力已经受到世界各国教育界的重视。美国课程标准(1989年NCTM发表的中小学数学课程与评估标准)把“能够解决数学问题”列为学校数学要达到的五个目标之一；在其分项标准中，“数学用于问题解决”居于首位。日本数学教育界也十分重视“问题解决”，从

4、1994年开始全面实行新数学教学大纲，把“课题教学”列入大纲内容，而所谓“课题教学”就是以“问题解决”为特征的数学课。我国在2000年颁布的全日制义务教育数学课程标准(实验稿)首次将解决问题与数学思考、知识技能、情感与态度作为并列的培养目标。学生数学问题解决能力的培养已经成为一个公认的教育培养重点，如何培养学生的问题解决能力随之受到研究者的关注。1.2研究意义 把数学模型应用于数学解题中，第一，实际问题转化为一个数学问题，能够激发学习兴趣，把生硬抽象的学科理论具体化形象化，能够让学生对知识进行探索而不是死记硬背；第二，培养学生解决实际问题的能力，找到到适合自己的学习方法；第三，对不少复杂的问题

5、，如果有意识地引导学生从题目特点出发，恰当地构造代数，几何等数学模型，不仅能在解题时另辟蹊径，避繁就简，而且也能培养学生构建数学模型的能力，能够激励学生不断前进；第四，培养数学的创新思维能力，能够把一个问题采取不同的方式去解决，能够发现不一样的重点；第五，能够扩展知识面，通过数学知识了解其他的领域。可见，把数学模型应用于数学解题中的必要性。2.数学模型的概念及分类2.1数学模型的概念 数学模型是指运用数学符号和公式来表达来研究对象系统的结构或过程的模型。系统工程力求采用数学模型是因为数学模型是定量化的基础，是科学实验的补充手段，是预测和决策的重要工具，是推进科技发展的依据。数学的抽象化、公理化

6、的概念和方法，体系十分严谨。数学的丰富的想像力和思辨性，如弯曲的几何和非平直的空间结构，蕴含着普遍真理。数学模型既然是对所研究的实际对象的概括与简化，因此它不能等同于实际对象的本身，它必须舍弃实际对象的质的规定性，而是从量的关系上对实际对象作形式化的描述和刻画，在这一过程中常常略去实际对象的某些次要性质和因素，抓住其主要性质和因素，因此数学模型虽然能从某些数量关系上反映实际对象的原型，但这种反映仅仅是一种近似和模拟。2.2数学模型的分类 常见的数学模型分类有以下几种： 按数学模型的功能可分为定量的和定性的。 按数学模型的目的可分为理论研究的，预期结果的和优化的。 按数学模型变量之间的关系可分为

7、代数的，几何的和积分的。 按数学模型的结构可分为分析的，非分析的和图论的。 按数学模型所研究对象的特性可分为确定的和随机的，静态的和动态的，连续的和离散的，或线性的和非线性的。 按数学模型所用的数学方法可分为初等模型，微分方程模型，优化模型，控制论模型，逻辑模型，扩散模型， 按数学模型研究对象的实际领域可分为人口模型，交通模型，生态模型，生理模型，经济模型，社会模型，工程系统模型， 按数学模型研究对象的了解程度可分为白箱模型，灰箱模型和黑箱模型等。2.3数学模型的特点 第一，它是某事物为一种特殊目的而作的一个抽象化、简单化的数学结构，这意味着扬弃、筛选，是舍弃次要因素，突出主要因素的主要结果；

8、是事物的一种模拟，虽源于现实，但非实际的原型，而又高于现实。 第二，它是数学上的抽象，在数值上可以作为公式应用，可以推广到与原物相近的一类问题。 第三，可以作为某事物的数学语言，可以译成算法语言，编写程序进入计算机第三，可以作为某事物的数学语言，可以译成算法语言，编写程序进入计算机。通常所谓的处理事物和过程的模型化方法，往往就是为之建立数学模型来处理。3.数学模型方法的定义及基本步骤3.1数学模型方法的定义 数学模型方法(MathematicalModelingMethod)是利用数学模型解决问题的一般数学方法，简称MM方法。它是处理各种数学理论问题、解决各种实际问题的小可或缺的方法，无疑，数

9、学教师在日常教学中都应当注意让学生了解并掌握这种方法，最大可能地培养其构造数学模型的能力。这绝对小是一个轻松的过程。首先，学生必须先掌握一定的数学知识，让他们学“杂”一些，使得建立模型解题才有了可能性厂其次，要让学生多接触题目，多动脑。3.2数学建模方法的基本步骤 一般来说数学建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种机理分析是根据客观事物特征的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的数学模型常有明确的物理意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”(不考虑内部机理)，通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合得最好的模型。建模的步骤一般分为下列几步：3.2.1调查研究在建模前应对实际问题的历史背

10、景和内在机理要有深刻的了解，必须对该问题进行全面的、深入细微的调查和研究首先要明确所解决问题的目的要求和着手收集数据数据悬为建立模型而收集的因此，如果在调查研究时对建立什么样的模型有所考虑的话，那么我们就按模型的需要更有目的地，更合理地来收集有关数据收集数据时应注意精度的要求，在耐曩；际问题作深入了解时，应向有关专家或从事实际工作的人员请教。将使你对问题的了解更快和走捷径。3.2.2现实问题的理想化 现实问题错综复杂，涉及面非常之广因此要想建立一个数学模型来反映一小现实问题面面俱到、无所不包是不可能的，也是没有必要的一个模型，只要能反映我们所需要的某一个侧面就行了，或者在此基础之上进一步提高建

11、模前必须先将问题理想化，简单化，即首先抓住主要因素。暂不考虑次要因素在相对比较简单的情况下，理清变量之闻的：廷系，建立树应的模型(读者在三级火箭模型，人口模型和传染病传播模型中会有较深的体会)_勾此对昕给问题给予必要的假设，不同的假设会得到不同的模型。这一步是建立模型的关键如果假设合理，则模型与实际问题比较吻合；如果假设不合理或过于简单(即过爹地忽略了一些因素)，则模型与实际情况不吻合，或部分吻合，就要修改假设，修改模型。3.3.3建立模型 在已有假设的基础上，可以着手建立数学模型，建模时应注意以下几点： (1)分清变量类型恰当使用数学工具。如果实际问题中的变量是确定性变量，建模时数学工具多用

12、微积分、微分方程、线性规划、非线性规划、网络、投入产出、确定性存贮论等如果变量是随机变量，建模时数学工具多用概率、统计、随机性存贮论、排队论、对策论、决策论、随机微分方程等由于数学分支很多，又加之相互交叉渗透，派生出许多分支建模具体用什幺舒芝好，一是因问题而异，二是因人而异。应看自己对哪门学科比较熟悉精通，尽量发挥自己的特长。总之，对变量进行分析是建立模型的基础。 (2)抓住问题的本质，简化变量之间的关系。因为模型过于复杂，则无法求解或求解困难，就不能反映客观实际因此应尽可能瑚简单的模型如线性化，均匀化等来描述客观实际建模的原则是：模型尽可能简单、明了思路清晰，能不采用则尽量不用高深的数学知识

13、，不要追求模型技术的完美，侧重于实际应喇只要问题能解决，模型越简单越能被决策者所采用。 (3)建模要有严密推理在已定的假设下，建模过程中推理一定要严密，以保证模型的正确性，否则会造成模型错误，前功尽弃。(4)建模要有足够的精确度。由于实际问题常对精度有所要求，建模时和收集资料时要予以充分考虑但同时实际问题又非常复杂，作假设时又要去掉非本质的东西，把本质的东西和关系反映进去因而要掌握好这个尺度，有时要有一个反复摸索的过程。3.3.4模型求解不同的模型要用到不同的数学工具求解这就要求从事实际工作者对相应的数学分芰知识有一定的了解当然，由于计算机的广泛使用，利用已有的许多计算机软件为我们求解带来方便

14、因而尽可能地掌握已有的软件，使你解决问题省力不少3.3.5模型分析 对模型求出的解进行数学上的分析，有助于对实际问题的解决分析时，有时要根据问题的要求对变量间的依赖关系进行分析和对解的结果稳定惶进行分析。有时根据求出的解对实际问题的发展趋势进行预测，为决策者提供最优决策方案。除此之外，常常需要进行误差分析，模型对数据的稳定性分析和灵敏度分析等。3.3.6模型检验 一个模型是否反映了客观实际，可用已有的数据去验证如果由模型计算出来的理论数值与实际数值比较吻合，则模型是成功的(至少是在过去的一段时间内)如果理论数值与实际数值差别太大，则模型是失败的如果理论数值与实际数值部分吻合，则可找原因，发现问

15、题，修改模型如果模型用于预测，若模型计算的理论预测值与经验推算比较相差太大，也可推知模型存在问题，必须修改(如人E1问题中的Malthus模型用于预测几百年后的人口数显然差别太大)当然，并非所有的模型都要验证，如核武器竞赛模型等3.3.7模型的修改 实际问题比较复杂。但由于理想化后抛弃了一些次要因素，因此建立的模型与实际问题就不完全吻合了。此时，要分析假设的台理性，将合理部分保留，不合理部分去掉或修改，对实际问题中的主次因素再次分析如果某一因素因被忽略而使前面模型失败或部分失败，则再建立模型时把它考虑进去修改时可能去掉(或增加)一些变量，有时要改变一些变量的性质，如把变量看成常量，常量看成变量

16、，连续变量看成离散变量，离散变量看成连续变量，或改变变量之间的函数关系，如线性改为非线性或非线性改为线性修改模型时对约束条件也要重新考虑，增加、减少或修改约束条件。3.3.8模型应用 数学模型应用非常广泛，可以说已经应用到各个领域，而且越来越渗透到社会学科、生命学科、环境学科等由于建模是预测的基础，而预测又是决策与控制的前提。因此用数学模型对许多部门的实际工作进行指导，节省开支、减少浪费，增加收入。特别是对未来可以预测和估计，这对促进科学技术和工农业生产的发展具有更大的意义。建立数学模型的步骤用图表表示为4. 模型解题的应用4.1构造一次函数模型 例1某地区居民生活用电分为高峰和低谷2个时间段

17、进行分时计价该地区的电网销售电价如表1所示： 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，按这种计费方式该家庭本月应付的电费为多少元。 分析本题求解的关键是题意的正确理解和函数模型的构造以及快速的运算能力 设高峰用电千瓦时，低谷用电Y千瓦时，则当50X，Y200时，电费4.2构造不等式模型 例2已知不等式对于一切大于1的自然数n都成立，求实数n的取值范围。分析本题的难点在于不等式左边的式子很。难求和，注意到左式与有关，而右式与n无关从。函数的观点看，左式是关于n的函数，要使原不等。式成立，即求这个函数的最小值大于右式，即转化为求函数最值的模型。因此，(n)是

18、关于n的递增函数，即要使不等式成立，只需满足，解得实数口的取值范围是4.3方程组建模 “方程(组)”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型,它可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。诸如行程问题、增长率、储蓄、利息、税率、工程施工及劳动力分配、经营、销售、浓度问题等方面的应用题,都可以抽象成方程(组)模型,通过布列方程来解决。 例5:永强加工厂接到一批订单,为完成订单任务,需用a米长的材料440根,b米长的材料480根,可采购到的原材料有三种,一根甲种材料可截得a米长的材料4根,b米长的材料8根,成本为60元;一根乙种材料可截得a米长的材料6根,b米长的材料2

19、根,成本为50元;一根丙种材料可截得a米长的材料4根,b米长的材料4根,成本为40元。问怎样采购,可使材料成本最低? 分析:若直接设材料成本最低为x元,则根据已给条件不好列方程,所以我们不妨借助于辅助未知量;令甲种取x根,乙种取y根,丙种取z根,那么可得到再设总成本为p元,则求出p=60x+50y+40z的最小值即可。解:设甲种取x根,乙种取y根,丙种取z根,则x,y,z满足设总成本为元,则求的最小值由(1)、(2),得因x,y都是正数又x,y都是非负整数令z=5t,则0t20于是显然=20时,成本最低即当x=10,y=0,z=100时,取得材料的最低成本为4600元。4.4概率与统计模型的建

20、立 “概率与统计”知识现实生活中有着广泛的应用,要学会如何收集数据和分析数据,深刻理解用样本估计整体的基本统计思想,掌握相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划等基础知识,建立数学模型解决实际问题的能力。例3:有甲、乙两位射击运动员在相同条件下各射击10次,各次命中环数为:甲:8、8、6、8、6、5、9、10、7、4,乙:9、5、7、8、7、6、8、6、8、7。(1)分别计算他们环数的方差;(2)谁的射击情况比较稳定。分析:(1)本题由于两个样本平均数都不是整数,且各样本数据都不大,用计算,比较简捷。 (2)标准擦差与平均数结合起来可以反映该平均数的代表性。两组数据,当其算术平均数

21、相同时,为产生哪一组平均数代表性最好问题时,可用标准差来反映:标准差大,表明数据距其平均数分散。标准差小,表明数据距其平均数不那么分散。 据此,可以说标准差小的那个算术平均数代表那组数据的代表性更好。 (2)因,故乙射击情况比较稳定。 以上探讨了几类常见的数学模型,并对这些数学模型进行了解题策略分析,并找到一定的规律,构造了相应的解决问题的模型。在具体解决实际问题时,要注意认清问题的特征,灵活运用有效的方法,建立相关的数学模型,以便快速合理的解决问题,从而达到提高建立数学模型解决实际问题的能力。5.培养建模能力的方法 有人说，数学模型应用数学的艺术。要掌握一门艺术，必须见多识广，善于揣摸别人的

22、思想方法，多实践、多体会。从建模步骤和原则来看，一个人的建模能力包括以下几个方面： 一是理解实际问题的能力，包括有广博的知识面，搜集信息、资料和数据能力等。 二是抽象分析问题的能力，包括抓住主要矛盾、选择变量，进行归纳、联想、类比等创造能力。 三是运用工具知识的能力，包括自然科学、工程技术、计算机、尤其是数学知识等能力。 四是试验调试能力，包括物理的、化学的、力学的、工程的、计算机的等，还包括反复修改等动手能力。 应当特别指出的是，尤其应当注重培养自己的观察力和想象力。著名科学家爱因斯坦曾说过“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识的源泉”。

23、由此可见，为了培养建模能力，首先要广泛地学习自然科学、工程技术和社会科学等有关分支的知识，掌握这些领域的定律、法则、规律和公式，这样才能有助于提高建模的实际工作能力；其次在学习各门课程时，应多做应用题，这对于提高分析问题的能力和运用各种知识能力是不可缺少的基本训练；另外，还要多接触实际问题，有时还要深入工厂、企业等实际部门培养调查和提出问题的能力。 由于现代科技的分工越来越细，各门学科互相渗透，而数学模型的内容又极为广泛，因此解决实际问题往往不是一个人，一个部门所能承担和完成的，于是跨行业专家间的协作和联合攻关是十分必要的。结语 从历史上来看，一些传统的自然科学学科，如力学、物理学，是比较容易

24、建立数学模型的，原因是这些学科其对象的各因子之间的界限比较分明，对它们进行量的测定也较为简便但是在其他一些学科，如生物学、社会学科和人文科学，就不大容易建立数学模型不过这种情况，由于数学本身的充分发展，尤其是现代数学向高维、高次、多变量的推进，应用数学和模糊数学的建立，统计方法的广泛运用；计算工具的进步，特别是运算能力以数量级速度飞跃提高；再加上系统科学的发展以及各门科学技术自身的深入研究使得数学建模越出了自然科学、工程建设等传统领域，迅速地向经济、管理、社会等领域扩展，成为一种解决问题的强有力的数学方法，同时已引起高等教育和基础教育的注意。参考文献1顾怜沉，朱成杰数学思想方法M.北京:中央广播电视大学出版社，20042孙宏女.数学模型法的三个来源口.大连教育学院学报，19973高连成解决最值问题的6个小等式模型.第二课堂:高中版，20074刘美香构造多种模型证明一道竞赛题C1.上海中学数学，20085张禾瑞.高子代数.高等教育出版社.19836张双德.