第四章7高斯投影坐标正反算

1、第四章第四章 高斯投影坐标正反算高斯投影坐标正反算提前在黑板上写出四个提前在黑板上写出四个m2上一讲应掌握的内容上一讲应掌握的内容1 1、地图地图(数学数学)投影：投影：将椭球面上元素将椭球面上元素(包括坐标，方位和包括坐标，方位和距离距离)按一定的数学法则投影到可展平面上。按一定的数学法则投影到可展平面上。 坐标投影公式：坐标投影公式：2 2、地图投影变形地图投影变形几个概念：几个概念： 长度比，主方向，变形椭圆长度比，主方向，变形椭圆3 3、四种投影变形、四种投影变形： 长度变形，方向变形，角度变形，面积变形长度变形，方向变形，角度变形，面积变形4 4、地图投影的分类：、地图投影的分类：5

2、 5、高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念),(),(21blfyblfx上一讲应掌握的内容上一讲应掌握的内容1 1）几个概念：）几个概念： 长度比长度比m：投影面上无限小的微分线段：投影面上无限小的微分线段ds， 与椭球面上相应的微分线段与椭球面上相应的微分线段ds之比。之比。 主方向：主方向：投影后一点的长度比依方向不同而变化，其中最投影后一点的长度比依方向不同而变化，其中最大及最小长度比的方向称为主方向。大及最小长度比的方向称为主方向。 变形椭圆变形椭圆：以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成：以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个长度比的极值为长、短半轴的椭圆。以两个长度比的

3、极值为长、短半轴的椭圆。2 2）投影变形：）投影变形： 长度变形：长度变形： 方向变形：方向变形：dsmds 2222cossinmrab任意方向长度比：1 mv) sin() sin(babaarcsinabab最大方向变形：上一讲应掌握的内容上一讲应掌握的内容2 2）投影变形：）投影变形： 角度变形：角度变形：最大角度变形是最大方向变形的两倍。最大角度变形是最大方向变形的两倍。 面积变形：面积变形：22abuabarcsin abpab面积比：1pp地图投影的分类地图投影的分类 按投影变形性质分类: 等角投影 等距投影 等积投影 a=b a=1 or b=1 ab=1 按投影面分类 : 圆

4、锥面 圆柱(椭圆柱) 面 平面投影 按投影的中心轴线: 正轴投影 横轴投影 斜轴投影 按椭球面与投影面的切割情况分: 切投影 割投影高斯投影的基本概念高斯投影的基本概念 横切椭圆柱等角（分带）投影。横切椭圆柱等角（分带）投影。 高斯投影特性（三个）：高斯投影特性（三个）： 中央子午线投影后为一直线，且长度不变；其它经线为凹向中央子午线的曲线，且长度改变。 投影后，赤道为一直线，但长度改变，其它纬线呈凸向赤道的曲线。 投影后，中央子午线与赤道线正交，经线与纬度也互相垂直，即高斯投影为等角投影。 高斯投影分带：高斯投影分带： 6投影带；投影带； 3投影带。投影带。 对于6带： n=（l/6）的进整

5、数， l=n-3 对于3带： n=l/3(四舍五入) ， l=3n 高斯平面直角坐标系：高斯平面直角坐标系： 区分为：自然坐标；国家统一坐标。（掌握两者的换算）222()(cos)dsmdbnbdl222dsdxdy4.9.2 正形投影的一般条件正形投影的一般条件一、长度比的通用公式推导一、长度比的通用公式推导dmbcosdnb l222222()(cos)dsdxdymdsmdbnbdl 长度比平方为：长度比平方为：22222222222dsdxdymdsmdbnbdldxdy mdbnbdlnb()(cos)(cos)cos :co s令m d bd qnb 0bm d bqnbc o s

6、 222222()()dxdym rdqdl 一、长度比的通用公式推导（续）一、长度比的通用公式推导（续）长度比平方为：长度比平方为：长度比长度比m2的表达式简化为：的表达式简化为：q称它为称它为等量纬度等量纬度，它仅与纬度有关，它仅与纬度有关长度比的通用公式推导（续）长度比的通用公式推导（续）( , ),( , )xx l qyy l qxxdxdldqlqyydydldqlq 2222xyeqqxxyyfqlqlxygll 将上述两式代入将上述两式代入ds2式，整理，并令式，整理，并令2222222()()()()()()e dqf dqdlg dlmrdqdl 得长度比的通用公式：得长度

7、比的通用公式：231390p pmdbdqap prdldltan() dla dqtan 将长度比的通用公式中引入方向将长度比的通用公式中引入方向二、柯西二、柯西.黎曼条件黎曼条件0f eg 222222222222222222e dqfa dqga dqm rdqa dqefaga =raeafaaga =r()tan()tan()()tan()tantanseccossincossin 上式为与方向有关的长度比的通用公式。上式为与方向有关的长度比的通用公式。上式在什么条件下与方向无关？上式在什么条件下与方向无关？柯西柯西.黎曼条件（续）黎曼条件（续）0 xxyyqlql 2222xyxy

8、qqll正形条件：正形条件：m与与a无关，即满足：无关，即满足：0f eg222222yxyxylqqqqxq 22xyql ,xyxyqllq yyxqlxlq 22222xyqqem= rr 柯西柯西-黎曼条件（公式）是黎曼条件（公式）是椭球面与平面之间的正形投影的一般条件椭球面与平面之间的正形投影的一般条件考虑到考虑到f=0，e=g，长度比公式简化为，长度比公式简化为22222xygllm= rr 4.9.3 4.9.3 高斯投影坐标正反算公式高斯投影坐标正反算公式二、高斯投影必须满足以下三个条件二、高斯投影必须满足以下三个条件 (1)中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后为直线； (

9、2)中央子午线投影后长度不变；中央子午线投影后长度不变； (3)投影具有正形性质，即正形投影条件。投影具有正形性质，即正形投影条件。一、什么是高斯投影坐标正反算一、什么是高斯投影坐标正反算 已知椭球面上的大地坐标b、l，求高斯平面坐标x、y 的问题称高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算。函数式：（1）一般的 x=f1(b,l) ， y=f2(b,l) (2) 一带上， 令l =l-l0 ，x=f1(b,l) ， y=f2(b,l) 已知高斯平面坐标(x,y)，求椭球面上的大地坐标(b，l）的问题称高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算。函数式：),(),(21yxlyxbyxxy lqlq 和24024

10、35135xmmlmlymlmlml 三、高斯投影坐标正算公式推三、高斯投影坐标正算公式推导导1) 由由第一个条件第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午体，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。线。 x 为为 l 的偶函数，而的偶函数，而y 则为则为 l 的奇函数。的奇函数。2) 由由第三个条件第三个条件正形投影条件正形投影条件分别对l 和q求偏导数dmdmdmmm lm llldqdqdqdmdmdmm lm lllldqdqdq2424024135335351243524 l =3=0.052

11、由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的递推公式由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的递推公式dmdmdmmm lm llldqdqdqdmdmdmm lm lllldqdqdq2424024135335351243524 dmdmdmm m m = dqdqdq0121231123 高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算（2）mx0 m0=? ) 由由第二条件第二条件可知，位于中央子午线上的点，投影后的纵可知，位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标坐标 x 应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。即当即当 l=0 时时,68240sin2sin4si

12、n6sin82468aaaaxa bbbbb2sincos2nmbb nmbtbnmbbt nmbtt322332245245cos(1)sincos(59)24cos(518)120 高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算（3）子午线曲率半径子午线曲率半径等量纬度定义式等量纬度定义式01coscoscoscosdmdx dbnbc= m=nb , m = nb =b dqdb dqmv232445246sincossincos(5-94)224sincos(61-58)720nnxxbbl +bbtl +n bbttl 32235242225coscos(1)6cos(5181458)120nyn

13、blbtl +n btttl 高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算（4）将各系数代入，略去高次项，得高斯投影坐标正算公式将各系数代入，略去高次项，得高斯投影坐标正算公式精度为精度为0.001m),(),(21yxlyxb四、高斯投影坐标反算公式推导四、高斯投影坐标反算公式推导同正算一样，对投影函数提出三个条件同正算一样，对投影函数提出三个条件 (1) x 坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴； (2) x 轴上长度投影保持不变；轴上长度投影保持不变； (3) 正形投影条件。正形投影条件。2402435135bnnynyln ynyny 1) 由由第一个条件

14、第一个条件可知可知0123,是待定系数，它们都是纵坐标 的函数n n n n x分别对x和y求偏导数高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算（2）bnblxmybnblymxcoscos 和lqlq yxxy 2) 由由第三个条件第三个条件，正形条件，正形条件顾及到：顾及到：ddcoscosmbqnbm bqnb 2424024133335351243524dndndnnbyynn yn ydxdxdxmdndndnnbn yn yyyymdxdxdxcos()cos() 2424024133335351243524dndndnnbyynn yn ydxdxdxmdndndnnbn yn yyyymd

15、xdxdxcos()cos() 011223123dnmnnb dxdnnbnmdxdnmnnb dxcoscoscos 高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算（3）由恒等式两边对应系数相等，从而得待定系数的递推公式由恒等式两边对应系数相等，从而得待定系数的递推公式) 由由第二条件第二条件可知，可知， 当当y=0时，时，x=x（ 等于投影前从赤道等于投影前从赤道量至该点的量至该点的子午弧长子午弧长）；此时对应的点称为底点，其纬度）；此时对应的点称为底点，其纬度称为底点纬度，用称为底点纬度，用bf。n0=? 当 y=0时，x=xb=n0=bf ， 高斯投影坐标反高斯投影坐标反（4）1234,所有系数可

16、以看成底点纬度的函数。n n n nffdxm db ffdbdxm1 111coscosffffffmnnbmnb 234nnn, 依次求各系数依次求各系数因为因为所以所以222224324652233224225525392461904572011265286248120ffffffffffffffffffffffffffftnmntnttmntntt mnntnbtntttnb()*()()cos()cos 22222432465539224619045720()()ffffffffffffffffttbbyttym nm nt ttym n 2233224225511126152862

17、48120ffffffffffffflytynbnb tttynb()coscos()cos 高斯投影坐标反算公式高斯投影坐标反算公式b，l 的单位为弧度。当l3.5时，上式换算精度达0.0001bf为为x值对应的底点纬度，值对应的底点纬度，tf f mf nf 均为底点纬度均为底点纬度的函数。的函数。适用于电算的高斯坐标计算的实用公式适用于电算的高斯坐标计算的实用公式将75国际椭球参数代入前面推导的高斯计算公式，经过一些简单变化，可得高斯投影正、反算公式。高斯投影正算公式高斯投影正算公式:blnllaaybbnlllaaabxcos)(1 (sincos)(5 . 0(1328.636745

18、22253222640 高斯投影反算公式高斯投影反算公式:2224222350(1 (0.147)1 () , fbbbzzz blbb zzzlll3692.518828475 10sin23.701007 10sin4 7.447 10sin6 :/6367452133fbx式中.实用公式的系数实用公式的系数bbabbabbabbabbbabbbn2252232262242220222cos)cos20382. 01702. 0(00878. 01666667. 0cos)cos001123. 03333333. 0(cos)083. 0cos167. 0(04167. 0cos)cos00253. 025. 0(coscos)cos0041. 07034. 0(3646.1355189.32144coscos)cos603. 0996.108(045.21565652.639959622223224225cos(0.50.00336975cos)sincos0.333333(0.16666670.001123cos)cos0.25(0.1616120.005617cos)