统计与概率难点分析及教学建议

1、统计与概率难点分析及教学建议概率难点分析及教学建议河北师范大学数学与信息科学学院 程海奎统计与概率研究随机现象的规律性。 对新课标 教材中的统计与概率内容，就知识层面和方法 看，似乎不难。 但蕴涵的概率观点和统计思想却 不容易了解。 那么，概率的意义究竟是什么？概 率难在何处？统计推断有什么特点？如何评价 统计推断的结果？统计与概率的关系是什么？ 下面就这些问题作一简单分析。一、概率的难点分析1概率的抽象性。概率是随机事件发生的可 能性的度量。像长度和面积这些度量都比较直 观，对温度的高低在一定范围我们可以感知。 而 事件发生的可能性大小的度量， 直观看不见， 也 无法感知，太抽象了。2. 统

2、计规律的隐含性。随机现象有其偶然性 的一面， 也有其必然性的一面， 这种必然性表现 为大量实验时， 事件频率的稳定性。 这种规律称之为统计规律性频率的稳定性是概率论的理论基础， 它说明随 机事件发生的可能性大小是事件本身固有的、 不 随人们的意志而改变的客观属性， 它是可以度量 的。同时它也给出了度量的一种方法。现实中，只有个别特殊情形， 在合理的假设下 不需通过重复实验而直接计算概率， 而大量事件 的概率需要用频率去估计。 由于统计规律是通过 大量重复实验揭示的， 因此，只有深刻理解概率 与频率的关系、 概率与频率的本质区别， 才能正 确理解概率的意义，利用概率思想进行风险决 策。对概率与频

3、率的关系的认识可以分三个层次 进行教学。直观认识 。概率描述事件发生的可能性大小， 它是由事件本身唯一确定的一个常数； 频率反映 在 n 次实验中，事件发生的频繁程度。一般地， 如果一个事件的概率较大， 频率也较大， 概率较 小，频率也较小。反之也对。具体实验 。通过大量重复实验， 借助图形表示 频率的稳定性规律： 随着实验次数的增多， 频率 的波动越来越小， 逐渐稳定在一个常数附近。 但 应该认识到频率的不确定性， 即当实验次数较少 时，频率的波动可能比较大。精确刻画 。有些资料这样叙述： “实验次数越 多，用频率估计概率越准确”， 这样的叙述严密 吗？以掷硬币为例， 已知“正面向上”的概率

4、为 0.5 ，掷两次硬币，可能频率为是 0.5 ，用频率估 计概率的误差为 0；而掷100次硬币， 也可能频率 为0.2 ，误差为0.3 。显然上面的叙述不严密，太 绝对了。究竟如何精确地刻画频率的稳定性呢？ 提供如下案例供参考（不需要学生了解计算方 法）。案例1 分别掷 100次、200次、1000次硬币， 用“正面向上 ”的频率估计概率， 在给定误差范 围内，计算估计的可靠性。用 fn表示掷 n 次硬币“正面向上”的频率， fn的取值具有不确定性，用 EXCEL计算结果如下 表：比较严格的叙述为： “当实验次数较少时， 用 频率估计概率误差较小的可能性较小， 实验次数 越多，用频率估计概率

5、误差较小的可能性越 大”。3. 概率定义的复杂性。概率事件发生的可能 性大小的度量。 这是概率的描述性定义， 它虽然 揭示了概率的本质， 但对概率具有那些性质， 如 何计算或估计事件的概率都没有帮助。 概率是频 率的稳定值。 这是概率的统计定义。 它给出了估 计事件概率的一种方法， 而且明确了概率作为一 种度量，应该具有非负性、规范性和可加性。但 频率还有随机性的特征，特别当实验次数不大 时，很难知道这个稳定值是什么。为了能较好地理解概率的意义， 我们应该采用 由具体到抽象， 由简单到复杂， 由特殊到一般的 方式。先认识频率及其性质， 频率和概率的关系； 然后讨论古典概率， 几何概率这些具体简

6、单的模 型；从中归纳概率的本质特征， 最后给出概率的 公理化定义（高中阶段不作要求） 。案例2美国的一个电视游戏节目有三扇门， 其中一扇门后面是一辆轿车， 另两 扇门后面各有一只羊。 给你一次猜的机会。猜中 羊可以牵走羊，猜中车可以开走车。当然大家都 希望能开走汽车。 现在假如你猜 1号门后面是车， 然后主持人把无车的一扇门 （比如 2号门）打开。 现在再给你一次机会，请问你是否要换 3号门？这是一个概率决策问题，结论只有换与不换 两个。在当时引起了人们极大的兴趣， 众说纷纭， 各种各样的观点都有。 足以看出概率问题是有一 定难度的。观点一 一位数学博士说：美国公民的数学水 平也太差了，这三扇

7、门后面有车的可能性是一样 的，都是 1/3 ，所以不必换。观点二 假定主持人打开的是 2号门，既然 2号 门后面没有车，那么车要么在 1号门后面，要么 在3号门后面，概率各是 1/2 ，所以不必换。观点三车在1号门后面的概率是 1/3 ，于是在 2 号门或3号门后面的概率就是 2/3 ，现在既然 2 号门后面没有车，所以车在 3号门后面的概率为 2/3 ，因此应该换。哈佛大学概率教授( Diaconis )应电视台邀 请，进行了表演。以一张红桃扑克牌表示车，两 张黑桃扑克牌表示羊。按照规则要求，演示了 8 次，结果是有 6次显示应当换。Diaconis 教授说：概率的判断是依靠大量 试验才获得

8、的。 如果这个游戏允许多次重复， 那 一定是“ 换”为好。如果只给你一次机会， 那是 很难说的。分析由于随机性，如果1号门后面确实是车， 你猜对了，此时要换反而得不到车。如果 1号门 后面没有车， 此时换就得到车。 那么换与不换应 该依据什么为准则？在此问题中， 以得到车的概 率最大为准则 。三种观点在应用概率思想方面都 是正确的，造成不同结果的原因在于对概率大小 的判断上。首先注意的一点是，主持人是知道汽车在哪 扇门后的。 换的结果是将汽车换成羊， 或将羊换 成汽车。选择 1号门，得到汽车的概率为 1/3 ，得 到羊的概率为 2/3 。如果换 3号门，得到羊的概率 为1/3 ，得到汽车的概率

9、为 2/3 。从概率决策的角 度应该换，观点三是正确的。如果主持人也不知道那扇门后面是车， 而是 任意选择一扇门， 此时换与不换等价于抽签时是 先抽还是后抽。 我们知道抽签不分次序先后， 得 到车的概率都是 1/3 。但现在的问题是：主持人 打开的一定是无车的门，所以观点一是错误的。当主持人打开无车的 2号门时，如果让你在 1 号门和 3号门之间重新任选一扇门，得到车和羊 的概率都是 1/2 。现在不是让你重新任选一扇门，而是问你是否要换。 重新选择和交换结果是不同 的，所以观点二也是错误的。Diaconis 教授的观点是正确的。既然在概率 大小的判断上有分歧， 通过重复模拟实验， 借助 频率

10、的大小来判断最有说服力。 但遗憾的是重复 实验次数太少，频率的值很不稳定， 说服力不强， 当时并没有消除争议。二、统计的难点分析真实的数据能提供科学信息， 数据能帮助我们 了解世界，许多科学结论都是通过分析数据而得 到的，借助数据提供的信息作出的判断才比较可 信。因此，“运用数据进行推断”的思考方法已 成为现代社会普遍应用而且高效的思维模式， 而 “用样本推断总体”又是统计最核心的思想方 法。统计学已有 2000多年的历史，按其发展的历史 阶段和统计方法的构成看， 统计学可以描述统计 和推断统计。描述统计的内容包括统计数据收集 的方法、 数据的加工和整理方法、 用图表表示数 据的方法、数据分布

11、特征的概括与分析方法等。 推断统计研究如何依据样本数据推断总体的数 量特征的方法， 它以样本数据信息为依据， 以概 率论为理论基础， 对总体未知的数量特征作出以 概率形式表述 的推断。那么统计内容学习的难点在那里呢？1传统的数学思维模式对统计思维方法的影 响统计是以样本数据为基础，通过对数据的整 理、描述和分析，发现数据的特征或规律，从而 对总体的特征作出推断。它所采用的是归纳推 理，属于合情推理范畴。带有很强的实验性。确定性数学主要运用演绎推理的方式， 即从已 有的事实（包括定义、公理、定理）出发，按照 规定的法则证明结论， 或揭示数学规律。 研究确 定性数学，是不能用个别举例或验证代替一般

12、的 证明的。 比如可以通过测量或拼接的方法， 归纳 得出“三角形内角和等于 180”，但是，哪怕 你度量了 100次，只能说发现了这一结论，未经证明之前仍不能作为定理统计学习，这种思维方式的转变需要一个过 程。2. 统计方法的评价与统计结果的解释确定性数学在确定的条件下， 结论是完全确定 的。对其结果可以用“对”和“错”来评判。 用 样本推断总体，由于样本数据和总体的不一致 性，会产生代表性误差，由于样本的随机性，会 产生随机误差，从而造成估计的结论也具有不确 定性。因此，评价一种估计方法的好坏，不能仅 依一次估计的误差大小来衡量， 而应考虑所有可 能样本的情况下， 整体误差的大小。 对统计结

13、论 也不能用“对”和“错”来解释， 而应指出在多 大的置信度下，误差有多大。对某种统计方法，既让学生认识到方法的合 理性，又体会到结果的不确定性， 这是渗透统计 思想不可缺少的。 问题是， 在学生没有或具有很 少的概率知识背景下， 在教学中应该如何处理？ 这肯定是一个难点。3统计原理的理解与运用统计推断的依据是一些统计原理。例如，统 计估计依据的极大似然原理， 假设检验时依据小 概率原理， 回归分析依据最小二乘原理等。 它们 都是人们在长期的社会实践中归纳出来的一般 原理。它们不同于数学公理或定理， 公理是大家 公认的事实， 是绝对正确的； 定理是经过严密的 逻辑证明是正确的事实。 而统计原理

14、本身并不是 绝对正确的，利用这些原理进行推断肯定会犯错 误。如何理解这些原理， 并将其运用到统计推理 中，这是又一个难点。案例 3 目前流行的甲型 H1N1流感传染性很 强，假设在人群中的感染率为 20%。现有 ， 两种疫苗，疫苗 对8个健康的人进行注射，最 后结果为无一人感染。 疫苗 对25个健康的人进 行注射，最后结果为有一人感染。你认为这两种 疫苗哪个更有效？直观分析 ：如果不考虑概率， 注射疫苗后感 染率为 0，注射疫苗后感染率为 4%，似乎疫苗 更有效些。而实际上感染率只有 20%，并非 100%。假设疫苗完全无效，“ 8人注射无一人 感染”仍有较大的可能性。 假设疫苗无效的条 件下

15、，“ 25人注射有 1人感染”的可能性要小的 多。依据小概率原理， 判断疫苗比疫苗可能 更有效些。推理过程：设事件 A=“ 8人注射无一人感染”， B=“25人注射有 1人感染”，假设疫苗无效，A 发生的可能性较大，没有充足的证据说明苗有效。假设疫苗无效，B 是一个小概率事件， 依据小概率原理， 认为 B 在一次 实验中是不会发生的， 但现在竟然发生了， 和统 计原理相违背，从而否定假设，认为疫苗有效。这种推理称为假设检验。 所运用的推理方式类 似于数学反证法。 应用数学反证法， 当推出和已 知事实矛盾的结果时， 否定假设。 假设检验是一 旦小概率事件发生， 就否定假设。 但小概率原理 不是绝

16、对正确的事实，所以推理有可能犯错误。 我们追求的是使犯错误的概率尽可能小。三、对统计与概率教学的几点建议1突出核心思想，把握重点和难点。对概率 意义和统计思想的理解， 是教学的重点， 也是难 点。不要把概率教学变成复杂的概率计算； 把统 计教学变成单纯的数据处理和计算技巧； 不要纠 缠一些无关紧要的细节而干扰主题。现在的情况是，许多学生（包括数学专业的 大学生），可以计算很复杂的概率，但面对需要 用概率和统计思想解决实际问题时， 显的束手无 策。这说明在教学中， 过多的关注了知识技能的 学习，忽视思想方法的理解。2. 恰当的类比很有效。概率与频率的关系、 总体的数字特征与样本的数字特征之间的关

17、系， 都比较抽象。可以用某物体长度真值和测量值来 类比。黑板的长度 a 是客观存在的，但未知。可以通过测量来了解； 而测量结果总会有误差， 为减 少误差，可以用多次测量值的平均数估计 a。事件的概率 p 是客观存在的， 但未知，可以用 频率估计； 频率具有不确定性， 估计的误差不可 避免，为减少误差，可以增加重复实验的次数。总体指标 X的平均值（数学期望） 是一个确定 的数值， 可以用样本的平均值去估计； 随机抽取 的样本具有随机性， 所以样本的平均值也具有随 机性，要想估计的更准确些， 可以适当增大样本 容量。又比如， 如果样本的代表性好， 用样本的特征 推断总体的特征就比较准确。 可以用“

18、要想知道 一锅汤是否够咸， 在充分搅匀时， 只需尝一小勺 即可”类比。3必要的操作实验不可省。概率的统计规律 性本身就是通过实验发现的， 用样本推断总体的 方法，可以认为是实验科学。在高中阶段，由于 课时以及学生认知水平的限制， 我们不可能也没 有必要用严密的方法揭示一些稳定性规律， 评价 统计方法的优劣。 设计恰当的实验， 直观认识随 机性规律、 树立概率观点、 理解统计思想是必要 的，也是可行的。在一些具体问题中，可以通过 实验纠正对概率判断上错误观点， 统一认识， 消 除争议。4. 重视反例和极端特例的作用。在揭示数学 概念的本质、 探索数学定理成立的条件时， 反例 具有重要的作用。同样

19、，在统计与概率的教学中， 一些极端的特例有时会发挥意想不到的作用。例 用频率估计概率，有人认为“实验次 数越大，估计的就越准确”。极端特例：掷两枚硬币，有 50%的可能得到频 率为1/2 ，而掷 1000次硬币，理论上仍有可能得 到频率为 1。说明“实验次数越大，估计的就越 准确”，这样的表述不严密。例 从包含 100个学生的总体中，随机抽取 10名学生作为样本，估计全体学生的平均身高。 分别采用不放回抽样和有放回抽样， 哪种抽样方 式下估计的更准确些？大多数人认为有放回抽样下估计的更准确， 实际上恰恰相反。 要想说服他们， 我们不可能用 数理统计的一套理论， 通过计算概率或期望和方 差，作出判断。以下两个极端特例都能说明问题。特例1：采用有放回抽样，有可能