3.差分与等距节点的插值公式

1、1/58定义定义 设函数设函数y=f(x)在等距节点在等距节点xi=x0+ih(i=0,1,.,n)上上的函数值为的函数值为f(xi)=fi，其中，其中h为常数，称为步长。为常数，称为步长。称称fi=fi+1 -fi为为f(x)在在xi处以处以h为步长的一阶为步长的一阶向前差分向前差分fi=fi fi-1为为f(x)在在xi处以处以h为步长的一阶为步长的一阶向后差分向后差分2121)2()2(iiiiiffhxfhxff为为f(x)在在xi处以处以h为步长的一阶为步长的一阶中心差分中心差分、分别称为向前、后、中心差分算子分别称为向前、后、中心差分算子Ifi=fi，称，称I为不变算子，为不变算子

2、， Efi=fi+1 ，称，称 E为移位算子。为移位算子。2/58由一阶差分可以定义二阶差分：由一阶差分可以定义二阶差分：,2,2,2112121221121212iiiiiiiiiiiiiiiiiiffffffffffffffffff一般地，可定义一般地，可定义n阶差分为阶差分为 k阶差分阶差分,211211111111inininininininininfffffffff,111ikikikfff(k=1,2,n)二阶向前差分二阶向前差分二阶向后差分二阶向后差分二阶中心差分二阶中心差分3/58xy一阶差分一阶差分二阶差分二阶差分.n阶差分阶差分x0f(x0)fi=fi+1 -fix1f(x

3、1)f(x0)x2f(x2)f(x1)2f(x0)x3f(x3)f(x2)2f(x1).xnf(xn) f(xn-1)2f(xn-2).nf(x0)向前差分表向前差分表fi=fi+1 -fi4/58xy一阶差分一阶差分二阶差分二阶差分.n阶差分阶差分x0f(x0)x1f(x1)f(x1)fi=fi fi-1x2f(x2) f(x2) 2f(x2)x3f(x3) f(x3) 2f(x3).xnf(xn) f(xn) 2f(xn). nf(xn)向向后后差分表差分表fi=fi fi-15/58xy一阶差分一阶差分二阶差分二阶差分0.40.389420.50.47943 0.090010.60.56

4、464 0.08521-0.00480建立差分表建立差分表例例3:解解:已知函数已知函数y=sinx的如下函数表，的如下函数表，xi0.40.50.6sin(xi)0.389420.479430.56464f(0.4)2f(0.4)向前差分表向前差分表向后差分表向后差分表f(0.6) 2f(0.6)f(0.6)f(0.4)f(0.5) 2f(0.6)6/58例例4 证明当节点证明当节点xi是等距离是等距离(xi=x0+ih,yi=f(xi)时，差分与差商存在如下关系：时，差分与差商存在如下关系：nnnhnyxxxf!,010证：用数学归纳法证明证：用数学归纳法证明.当当n=1时，有时，有010

5、110)()(,xxxfxfxxfhyhyy001假设对假设对n=m-1(m个节点个节点)时结论成立，即时结论成立，即101110)!1(,mmmhmyxxxf等式成立等式成立.7/5811121)!1(,mmmhmyxxxf101110)!1(,mmmhmyxxxf01102110,xxxxxfxxxfxxxfmmmmmhhmyhmymmmm101111)!1()!1(于是于是n=m时时8/58mmmmmhmyyyhm!100111故对一切故对一切n，有，有nnnhnyxxxf!,010nnnnhnyxxxf!,10同理可证同理可证kkkhkyxxxf!,010由此可得牛顿向由此可得牛顿向前

6、插值公式。前插值公式。9/58例例4 证明当节点证明当节点xi是等距离是等距离(xi=x0+ih,yi=f(xi)时，差分与差商存在如下关系：时，差分与差商存在如下关系：nnnhnyxxxf!,010nnnnhnyxxxf!,10同理可证同理可证由此可得牛顿向前插值公式。由此可得牛顿向前插值公式。Nn(x)=f(x0)+fx0,x1(x-x0)+ .+fxo,x1,.,xn,(x-x0) (x-x1). (x-xn-1 ) (*)令令x=x0+th，10/58令令x=x0+th，则有：，则有：10010)(,.,)(kjjnkknxxxxxfxN100000)()(!kjnkkkjhxthxh

7、ky1000)(!kjnkkjtky其中其中0000,yyhxxt(t与与x有关有关) 1() 1(!.) 1(! 200200 ntttnyttytyyn11/58) 1(! 2)(02002ttytyyxN如：如：tyyxN001)() 1() 1(!.) 1(! 2)(00200 ntttnyttytyyxNnn)2)(1(! 3) 1(! 2)(0302003tttyttytyyxN0000,yyhxxt一次牛顿向前插值公式一次牛顿向前插值公式二次二次公式公式n次牛顿向前插值公式次牛顿向前插值公式12/58例例5 已知函数已知函数y=sinx的如下函数表，利用插的如下函数表，利用插值法

8、计算值法计算sin(0.42351)的近似值。的近似值。xi0.40.50.6sin(xi)0.389420.479430.56464解：考虑到节点是等距分布的，可以使用牛顿向前插解：考虑到节点是等距分布的，可以使用牛顿向前插值公式。取值公式。取x0=0.4，h=0.1，2351. 01 . 04 . 042351. 00hxxt建立向前差分表建立向前差分表) 1(! 2)(02002ttytyyxN13/58xy一阶差分二阶差分0.40.389420.50.47943 0.090010.60.56464 0.08521-0.00480) 1(! 2)(02002ttytyyxNSin(0.4

9、2351)N2(0.42351) 12351. 0(2351. 0200480. 02351. 009001. 038942. 0t=0.2351=0.4110114/58作业：作业：P1086习题习题1 已知函数表已知函数表xi00.511.522.5f(xi)-1-0.7501.2535.25试证明由此表构造的拉格朗日插值多项式是一个二次试证明由此表构造的拉格朗日插值多项式是一个二次多项式多项式.15/58xi00.511.522.5f(xi)-1-0.7501.2535.25分析分析:6个节点个节点,可以构造出不超出可以构造出不超出5次的多项式次的多项式.由于要由于要证明所得为一个二次多

10、项式证明所得为一个二次多项式,所以先选其中所以先选其中3个节点构个节点构造一个二次多项式造一个二次多项式L2(x),再证明其余再证明其余3个节点满足个节点满足L2(xi)=yi 即可即可.解解:取节点取节点012-103yxxxxxxyxxxxxxxxxxxxLxxxxxxx2120210121012002010212)()()()()()()(y12 xL2(0.5)=-0.75 L2(1.5)=1.25 L2(2.5)=5.251)(22 xxL由唯一性定理知由唯一性定理知:就是所构造的多项式就是所构造的多项式.选整数节点选整数节点计算简单计算简单16/58习题习题2 已知函数表已知函数表

11、xi0.400.550.650.800.901.05f(xi)0.410750.578150.696750.888111.026521.25386作插值多项式计算作插值多项式计算f(0.596)的近似值的近似值.解解:作差商表作差商表xif(xi)一阶均差一阶均差 二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差 四阶均差四阶均差 五阶五阶0.400.410750.550.578151.116000.650.696751.186000.280000.800.888111.275700.358800.197000.901.026521.384100.433600.214000.034001.051.253861

12、.515600.526000.213000.03400017/58N4(x)=0.41075+1.11600(x-0.40)+0.28000(x-0.40)(x-0.55)+0.19700(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)+0.03400(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.80)f(0.596) N4(0.596)=0.63205注注:若用后若用后5个节点的数据计算个节点的数据计算N4(x),其各阶均差分别为其各阶均差分别为: 0.57815, 1.18600, 0.35880, 0.24100, 0.03400.18/58习题习题3 已知函数表已知函数表xi0

13、0.20.40.60.8f(xi)0.1995 0.3965 0.5881 0.7721 0.9461试求方程试求方程f(x)=0.4500的近似根的近似根.分析分析: 由已知数据点由已知数据点(xi , f(xi),求求x处的处的f(x)的近似值的近似值是插值问题是插值问题,而利用函数值确定自变量而利用函数值确定自变量x属于反插属于反插值问题值问题,其做法：将函数值其做法：将函数值f(x)看作自变量看作自变量,将将x看看作函数值作函数值,进行插值进行插值.f(xi)0.1995 0.3965 0.5881 0.7721 0.9461xi00.20.40.60.819/58yi=f(xi)xi

14、一阶均差一阶均差二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差四阶均差四阶均差0.199500.39650.20.01552280.58810.41.0438410.0736310.77210.61.0869570.1147920.0718840.94610.81.1494250.1744920.1086240.049209x0+0.015228(0.45-0.1995)+0.073631(0.45-0.1995)(0.45-0.3963)+0.071884 (0.45-0.1995)(0.45-0.3963)(0.45-0.5881)+0.049209(0.45-0.1995)(0.45-0.3963)

15、(0.45-0.5881)(0.45-0.7721)=0.255405即即f(0.255405) 0.4500解解:采用牛顿插值采用牛顿插值,作差商表作差商表20/58注：求反插值问题要注意反插值条件，注：求反插值问题要注意反插值条件， 即要求原函即要求原函数数f(x)的反函数存在，也即的反函数存在，也即f(x)必须为单调函数。必须为单调函数。xi00.20.40.60.8f(xi)0.1995 0.3965 0.5881 0.7721 0.9461由此数据表由此数据表,可知可知f(x) 为单调增函数。为单调增函数。21/58 实验实验4.1（观察龙格（观察龙格(Runge)现象实验）现象实验

16、）实验目的：观察拉格朗日插值的龙格实验目的：观察拉格朗日插值的龙格(Runge)现象现象.实验内容：实验内容：1、给出拉格朗日插值多项式的算法流程和相关程序；、给出拉格朗日插值多项式的算法流程和相关程序；2、对于函数、对于函数 进行拉格朗日插值，取不同的节点数，在进行拉格朗日插值，取不同的节点数，在区间区间-5,5上取等距间隔的节点为插值点，把上取等距间隔的节点为插值点，把f(x)和插值多项式的曲和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。线画在同一张图上进行比较。（a可以取任意值）具体步骤：可以取任意值）具体步骤：1） a=1时，时， i）n=4，作出，作出f(x)和插值多项式的曲线图；和插值

17、多项式的曲线图； ii）n=10，作出，作出f(x)和插值多项式的曲线图；和插值多项式的曲线图；2）a=0.5时，时，i）n=4，作出，作出f(x)和插值多项式的曲线图；和插值多项式的曲线图； ii）n=10，作出，作出f(x)和插值多项式的曲线图；和插值多项式的曲线图；3、分析上述曲线图，你可以得出什么结论？、分析上述曲线图，你可以得出什么结论？225)(xaxf22/58实验实验2目的：目的：观察对于非光滑函数进行多项式插值观察对于非光滑函数进行多项式插值的可能性。的可能性。内容内容：在：在0，1上取上取f(x)=|sinkx|，选择不同的，选择不同的k和和n，用等距节点做拉格朗日多插值项

18、式，观察，用等距节点做拉格朗日多插值项式，观察误差大小和收敛情况。误差大小和收敛情况。23/58开始开始输入输入xi ,yii =0,1,2,.,nL=0,k=0T=1T=T(x-xj)/(xk-xj)j=0,1,2,.,k-1, k+1,.,nL=L+T*ykk=nk=k+1输出输出L结束结束NYT=100 xxxxTTk如如:k=1220022xxxxxxxxxxxxTTkkk内层循环内层循环外层循环外层循环L=T*y0(k)+LL=0用用for循环语句循环语句(对对j)用用for循环语句循环语句(对对k)24/58function y=lagrange(x0,y0,x)n=length(

19、x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); L=0.0; for k=1:n T=1.0; for j=1:n if j=k T=T*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end L=T*y0(k)+L; end y(i)=L;endMatLab实现实现% x0为全部插值节点为全部插值节点(向量向量)% y0为插值节点处的函数值为插值节点处的函数值(向量向量)% x为被估计函数自变量为被估计函数自变量(可为向量可为向量)% y为被估计函数为被估计函数x处的值处的值(可为向量可为向量)% 输出被估计函数在输出被估计函数在x(i)处的值处的值220022xx

20、xxxxxxxxxxTTkkkT=100 xxxxTTk25/58x0=0.4: 0.1: 0.8;y0=-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144;lagrange(x0,y0,0.54)在在MatLab命令窗口输入：命令窗口输入：例例 给出给出f(x)=lnx的数值表，用的数值表，用Lagrange插值计算插值计算ln(0.54)的近似值。的近似值。x0.40.50.60.70.8Lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144输出结果输出结果: -0.616143精确解精确解: -0.

21、616186( -0.6161)26/58x0=0.4: 0.1: 0.8;y0=-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144;lagrange(x0,y0,0.54,0.65) ans = -0.6161 -0.4308 lagrange(x0,y0,0.54,0.65,0.78)ans = -0.6161 -0.4308 -0.248427/58实验实验1 目的目的：观察拉格朗日插值的龙格：观察拉格朗日插值的龙格(Runge)现象现象.内容内容：对于函数：对于函数 进行拉格朗日插值，进行拉格朗日插值，取不同的节点数，在区间取不同的节点数

22、，在区间-5,5上取等距间隔的节点为上取等距间隔的节点为插值点，把插值点，把f(x)和插值多项式的曲线画在同一张图上进和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。（行比较。（a可以取任意值）可以取任意值）具体步骤：具体步骤：225)(xaxf1、a=1时时,1)取取n=4，作出，作出f(x)和插值多项式的曲线图和插值多项式的曲线图; 2)取取n=10，作出，作出f(x)和插值多项式的曲线图和插值多项式的曲线图;2、a=0.5时时,1)取取n=4，作出，作出f(x)和插值多项式的曲线图和插值多项式的曲线图; 2）取）取n=10，作出，作出f(x)和插值多项式的曲线图和插值多项式的曲线图;3、分析上

23、述曲线图，你可以得出什么结论？、分析上述曲线图，你可以得出什么结论？28/5829/58牛顿插值公式牛顿插值公式由差商定义知：由差商定义知： f(x)=f(x0)+f(x0,x)(x-x0), f(x0,x)=f(x0,x1)+f(xo,x1,x)(x-x1), f(x0, x1,x)=f(x0,x1,x2)+f(xo,x1,x2,x)(x-x2), . . f(x0, x1,.,xn-1,x)=f(x0,x1,.,xn)+f(xo,x1,.,xn,x)(x-xn)依次回代，可得：依次回代，可得：30/58f(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+ +f(xo,x1,x2 )(x-x

24、0),(x-x1)+ .+f(xo,x1,.,xn,)(x-x0) (x-x1). (x-xn-1 ) +f(xo,x1,.,xn,x)(x-x0) (x-x1). (x-xn-1 ) (x-xn )记：记： Nn(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+ .+f(xo,x1,.,xn,)(x-x0) (x-x1). (x-xn-1 ) (*)Rn(x)=f(xo,x1,.,xn,x)(x-x0) (x-x1). (x-xn )则则 f(x)=Nn(x)+Rn(x)由于由于Rn(xi)=0 (i=0,1,2,.,n)，故有：，故有：Nn(xi)=f(xi) 所以所以(*)为为n次牛顿插

25、值多项式。次牛顿插值多项式。31/58也即牛顿插值多项式也即牛顿插值多项式Nn(x)的系数的系数 ci为为:),(),()(1010100nnxxxfcxxfcxfc)()()(,()(,()()(,110001001nnnnoxxxxxxxxfxxxxfxfxNccc 代入得将)()()(,()()()(,()()(,()()()()(1010101000100100kkkkxxxxxxxxfxNxNxxxxfxNxxxxfxfxNxfxN 因此，每增加一个结点，因此，每增加一个结点，Newton插值多项式只增加插值多项式只增加一项，克服了一项，克服了 Lagrange插值的缺点。插值的缺点

26、。 32/58插商表插商表xyf(xi,xj)f(xi,xj,xk).f(x0,x1,.xn)x0f(x0)x1y1f(x0,x1)x2y2f(x1,x2)f(x0,x1,x2)x3y3f(x2,x3)f(x1,x2,x3).xnynf(xn-1,xn)f(xn-2,xn-1,xn).f(x0,x1,.xn)带下划线的数值是牛顿插值多项式中的各项系数带下划线的数值是牛顿插值多项式中的各项系数33/58xy一阶差分二阶差分.n阶差分x0f(x0) x1f(x1)f(x0)x2f(x2)f(x1)2f(x0) x3f(x3)f(x2)2f(x1). . xnf(xn)f(xn-1)2f(xn-2)

27、.nf(x0)差分表差分表34/58只要求出所有系数，就可以得到插值函数只要求出所有系数，就可以得到插值函数具有下列形式：具有下列形式：式中式中称为称为Newton插值基函数。为求出插值基函数。为求出Nn(x),利利用插值条件用插值条件,引出差商概念引出差商概念.)()()()()(1010201221100nnonnnxxxxxxcxxxxcxxccccccxN)1 ()(1)()(, 1)(10nixixxxxii35/58由差商定义，知；由差商定义，知；,)()(),(01110010 xxxfxxxfxxf021021210),(),(),(xxxxfxxfxxxf.).()().()

28、(),.,(011010njnjjjjjjjnxxxxxxxxxfxxxf一般地一般地)()()()()()(120222101120100 xxxxxfxxxxxfxxxxxf36/58一般地，一般地，可定义可定义n阶差分为阶差分为,211211111111inininininininininfffffffff令令Ifi=fi，Efi=fi+1 ， 则称则称I为不变算子，为不变算子，E为移位算子。为移位算子。于是于是,)(1iiiiiifIEIfEffff故有：故有： =E-I同理可得同理可得.2/12/11EEEI37/58例例 证明函数值与差分可互相线性表示。证明函数值与差分可互相线性表示。证：证：由由 Ifi=fi，Efi=fi+1 得得fi+n=Enfi=(I+)nfi=ijnjnjf )(0ijnjnjf)(0